专题05 函数综合题-备战2022年上海高考数学模拟题分类汇编

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专题05 函数综合题-备战2022年上海高考数学模拟题分类汇编
1．（2021年•黄浦区一模）已知实数、是常数，函数．
（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，，设，记的取值组成的集合为，则函数的值域与函数的值域相同．试解决下列问题：
（ⅰ）求集合；
（ⅱ）研究函数在定义域上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由．并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值．
【答案】（1）偶函数；（2）（ⅰ）（ⅱ）
【详解】（1）实数、是常数，函数，
由，解得，函数的定义域是，；
对于任意，，有，，
且，
即对，都成立．（又不恒为零）
所以，函数是偶函数；
（2），，，
设，则，
，，即，
；
的定义域为，
对于任意的、，且，
有


，
又，，，且，（这里二者的等号不能同时成立），
，
即，，
函数在上是减函数，
，
又函数的值域与函数的值域相同，
函数的最小值为．
2．（2021年•静安区一模）设，其中常数．
（1）设，，求函数的反函数；
（2）求证：当且仅当时，函数为奇函数．
【答案】（1），；（2）奇函数
【详解】（1）由已知，设，
得．
又，
所以，函数单调递增．
故，，；
证明：（2）函数的定义域为，，．
若，，对于任意的，，，
有．
所以，是奇函数．
方法1：由是奇函数，有（1），
解得．
方法2：若，则，，（1）（否则，
不是奇函数．
方法3：若为奇函数，则，对于任意的，，，有．
即，．
即．
．
3．（2021年•金山区一模）已知定义域为的函数．
（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上递减（2）
【详解】（1）函数即在上递减，
理由：设，，
由，可得，即，又，，
则，所以，即，
故在上递减；
（2）由，可得为奇函数，
即为，
由在上递减，可得，
对于任意，不等式恒成立，
恒成立，
，当时，取得最小值，
则，即的取值范围是．
4．（2021年•松江区一模）某网店有（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品（万件），经市场调查测算，花费（万元）进行促销后，商品的剩余量与促销费之间的关系为（其中为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品．
（1）要使促销后商品的利余量不大于0.1（万件），促销费至少为多少（万元）？
（2）已知商品的进价为32（元件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平均成本为（元，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？
【答案】（1）19（2）当促销费为7（万元）时，该网店售出商品的总利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25（万件）
【详解】（1）由，当，时，得，
，由，得，
故要使促销后商品的剩余量不大于0.1（万件），促销费至少为19（万元）；
（2）设网店的利润为（万元），由题意可得，

．
当且仅当，即时取等号，此时．
当促销费为7（万元）时，该网店售出商品的总利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25（万件）．
5．（2021年•闵行区一模）大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式，比如，，2，，是平面直角坐标系上的一系列点，其中是不小于2的正整数，用函数来拟合该组数据，尽可能使得函数图象与点列，比较接近，其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数的拟合误差为：△．
已知在平面直角坐标系上，有5个点的坐标数据如表所示：

1
2
3
4
5

2.2
1
2
4.6
7
（1）若用函数来拟合上述表格中的数据，求△；
（2）若用函数来拟合上述表格中的数据，
①求该函数的拟合误差△的最小值，并求出此时的函数解析式；
②指出用、中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？
【答案】（1）△；（2）
【详解】（1）由可得，（1），（2），（3），（4），（5），
所以△；
（2）①，
（1），（2），（3），（4），（5），
△，
，
当时，取最小值，；
②，
选．
6．（2021年•杨浦区一模）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离，（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，表示飞行高度（单位：米）．其中当，时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为、，当，时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点．
（1）求关于的函数解析式；
（2）在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值．（精确到

【答案】（1）；（2）
【详解】（1），时，设：，
代入得，
，
，时，
、，
，
．
（2）如图，设仰角为，俯角为，
，，仰角最小为，
，


，，
俯角最小为，
最小为．

7．（2021年•浦东新区一模）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前，2，3，，个月对某种食材的需求总量（公斤）近似地满足．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前个月的进货总量须不低于前个月的需求总量．
（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？
（2）若每月初等量进货（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求的最小值．
【答案】（1）够；（2）652.2公斤
【详解】（1）当时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，
当时，因为，第7个月该食材够用，
所以，前7个月每月该食材都够用．
（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式对，2，，12恒成立，
①当时，恒成立，可得，
②当时，恒成立，即恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
又因为，且，所以当时，的最大值为652.2，
综上所述，，
所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量的最小值为652.2公斤．

8．（2021年•普陀区一模）已知函数．
（1）解不等式；
（2）设、均为实数，当，时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数及的值，使得关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（3）设为实数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根、且，试将表示为关于的函数，并写出此函数的定义域．
【答案】（1），；（2），；（3），
【详解】（1）等价为或，
即为或，
则原不等式的解集为，；
（2）当，时，的最大值为1，故．
要使不等式恒成立，需要，
即对任意，都成立．
，，
由，，得，
当且仅当时等号成立，，
即的取值范围是，；
（3）由函数，得，
①若，则方程变为，即，且；
②若，则方程变为，即，且．
于是，分别是方程、的两个根且，
，，
故，此函数的定义域为，．
9．（2021年•虹口区一模）已知函数，其中．
（1）当是奇函数时，求实数的值；
（2）当函数在，上单调递增时，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由函数为奇函数可得，
则，
所以，解得．
（2）当时，，为减函数，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，
因为函数在，上单调递增，
所以，解得．
综上，实数的取值范围是．
10．（2021年•奉贤区一模）在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度（单位：和燃料的质量（单位：，火箭（除燃料外）的质量（单位：满足为自然对数的底）．
（1）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：结果精确到；
（2）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（结果精确到．
【答案】（1）；（2）当燃料质量为火箭质量的53.6倍时，火箭最大速度可以达到
【详解】（Ⅰ），
，
当燃料质量为火箭（除燃料外）质量两倍时，即，
；
答：当燃料质量为火箭质量两倍时，火箭的最大速度为．
（Ⅱ），
，
，
答：当燃料质量为火箭质量的53.6倍时，火箭最大速度可以达到．
11．（2021年•湛江一模）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米小时）和车流密度（单位：辆千米）满足关系式：．
研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时．
（1）若车流速度不小于40千米小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆千米）．
【答案】（1）；（2）隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米
【详解】（1）由题意，当（辆千米）时，（千米小时），
代入，得，解得．
，
当时，，符合题意；
当时，令，解得，
．
综上，．
故车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；
（2）由题意得，，
当时，为增函数，
，等号当且仅当时成立；
当时，


．
当且仅当，即，时成立，
综上，的最大值约为3250，此时约为87．
故隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．
12．（2021年•青浦区一模）设函数，为常数．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）设，，，为减函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由已知，．分
即，分
解得分
（2）当，时，，分
设，，，且，于是，．

，，且，所以，
所以，因此实数 的取值范围是，分
13．（2021年•宝山区一模）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设，，且函数存在零点，求实数的取值范围．
【答案】（1），，；（2），
【详解】（1）当时，，
由，得，
即，解得或．
不等式的解集为，，；
（2）函数在，上存在零点方程在，上有解，
即方程在，上有解，
即在，上有解，函数在，上是减函数
则，，
从而，实数的取值范围是，．
14．（2021年•长宁区一模）设，其中常数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若不等式在区间，上有解，求实数的取值范围；
（3）已知：若对函数定义域内的任意，都有，则函数的图象有对称中心．利用以上结论探究：对于任意的实数，函数是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用表示）；若不是，证明你的结论．
【答案】（1）故既不是奇函数也不是偶函数（2），（3），
【详解】（1）当时，，显然，函数是奇函数，
当，（1），，
（1），故既不是奇函数也不是偶函数；
（2）原问题转化为在区间，上有解，
由对勾函数的单调性可得在区间，上单调递减，
故，
故的取值范围是，；
（3）假设存在对称中心，
则恒成立，
得恒成立，
故，
故，，
故函数的对称中心是，．
15．（2021年•徐汇区一模）设表示不小于的最小整数，例如：，．
（1）解方程：；
（2）设，，试分别求出在区间，、，以及，上的值域，若在区间，上的值域为，求集合中的元素的个数；
（3）设实数，，，若对于任意，，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1），（2）；（3）
【详解】（1）由题意可得，解得，．
（2）①当，时，，，值域为，
②当，时，，，，，
当，，时，；
当，，时，；
值域为，；
③当，时，，，，，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
值域为，8，；
可知当，时，，，，，
这一区间上，值域中共有元素个．
所以在区间，上的值域的元素有个．
（3）依题意可知当，时，有，
令，，时，且，
所以．
所以在，时恒成立，
因为，所以在，时恒成立，令，
①当，时，，，二次函数对称轴为，所以（3）；
②当，时，，，二次函数对称轴为，
所以函数此时在，上单调递减，
所以（3），所以（3），
所以，即实数的取值范围是．
15．（2021年•崇明区一模）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当，时，曲线是二次函数图象的一部分；当，时，曲线是函数图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．
（1）求函数的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）

【答案】（1）（2）14分钟
【详解】（1）当，时，设，
，，
．
当，时，，
由，解得，
．
综上，；
（2）当，时，令，得，，
当，时，令，得，
，，
故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟．

17．（2021•虹口区二模）设且，，已知函数，．
（1）当时，求不等式的解；
（2）若函数在区间，上有零点，求的取值范围．
【答案】（1）当时，不等式的解集为；
当时，所以不等式的解集为．
（2）或
【详解】（1）当时，不等式可化为，
当时，则有，解得，
所以不等式的解集为；
当时，则有，解得，
所以不等式的解集为．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，所以不等式的解集为．
（2）函数，
令，即，
因为，，所以，，
所以，，
故，
设，，则有，
故或，
解得或，
故的取值范围为或．
18．（2021•杨浦区二模）已知，为实常数）
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数在中有零点，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）当时，不等式，化简可得，
所以，解得，
所以不等式的解集为；
（2）因为函数在中有零点，
所以，有解，
则，
因为的取值范围是，，
故的取值范围是．
19．（2021•浦东新区二模）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．
（1）求的值；
（2）求年利润的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．
【答案】（1）（2）当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.5万元
【详解】（1）当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元，
利润为，解得；
（2）当，时，，
对称轴方程为，则函数在，上为增函数，
当时，万元；
当，时，
．
当且仅当，即时取等号．
即当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.5万元．
20．（2021•金山区二模）设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则
称函数为“函数”．
（1）若函数为“（2）函数”，求实数的值；
（2）若函数，为“（1）函数”，求实数的取值范围；
（3）已知为“函数”，设．若对任意的，，，当时，都有成立，求实数的最大值．
【答案】（1）（2），（3）1
【详解】（1）由为“（2）函数”，得（2），
即，解得，故实数的值为；
（2）函数，为“（1）函数”可知，存在实数，使得（1）成立，
，即，
由，得，整理得．
①当时，，符合题意；
②当时，由△，即，
解得且，
综上，实数的取值范围是，；
（3）由为“函数”，得成立，
即，从而，则，
不妨设，则由成立，即，
得，
令，则在，上单调递增，
又，
作出函数图象如图：

由图可知，，故实数的最大值为1．
21．（2021•闵行区二模）已知函数．
（1）证明：在区间上是增函数；
（2）若函数在区间，上存在零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2），
【详解】证明：（1）在上任取，，且，
则，
，，
，，
，在上为增函数．
（2）在区间，上存在零点，
在，上有解，
由（1）知在，上为减函数，
当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，
，
的取值范围为，．
22．（2021•普陀区二模）设函数的反函数为．
（1）解方程：；
（2）设是定义在上且以2为周期的奇函数，当时，，试求的值．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为函数，
故方程即为，
所以，则有，解得，
故的解为；
（2）当时，，
因为，且是定义在上且以2为周期的奇函数，
故．
23．（2021•徐汇区二模）已知函数．
（1）若，求函数的零点；
（2）针对实数的不同取值，讨论函数的奇偶性．
【答案】（1）（2）当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数
【详解】（1）根据题意，函数，则有，解可得，
即函数的定义域为，，
由，得，
化简得，即，，
所以，函数的零点为；
（2）函数的定义域为，，若函数为奇函数，则必有（1）；
代入得于是无解，所以函数不能为奇函数，
若函数为偶函数，由（1）得解得；
又当时，，则；
对任意，都成立，
综上，当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数．
24．（2021•长宁区二模）某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：（其中为自然对数的底，该生物出生时．
（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到；
（2）该生物出生年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到．
【答案】（1）6.8年（2）1.24
【详解】（1）由得：，
解得：，
，
，
，
，
又，
，
即约需要6.8年．
（2），
令，，，
则，
，当且仅当即时，等号成立，
，
的最大值为1.24．
25．（2021•黄浦区二模）某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益．企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元．
（1）请你为该企业构建一个关于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；（答案不唯一）
（2）若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【详解】（1）答案不唯一．构造出一个函数，说明是单调增函数且函数的取值满足要求，
如，，就是符合企业奖励的一个函数模型，
理由：
根据一次函数的性质，易知，随增大而增大，即为增函数，
当时，，
当时，，
即奖金金额且不超过20万元，
故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型．
（2）当时，易知是增函数，
且当时，；当时，，即满足奖金且不超过20万的要求，
故当时，符合企业奖励要求，
当时，函数是增函数，
即对任意、，，且时，成立，
故当且仅当，即时，此时函数在，上是增函数，
由，得，
进一步可知，，故成立，
即当时，函数符合奖金且金额不超过20万的要求，
依据函数模型是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，
于是，有，
解得．
综上，所求实数的取值范围是．
26．（2021•宝山区二模）将关于的函数的图像向右平移2个单位后得到的函数图象记为，并设所对应的函数为．
（1）当时，试直接写出函数的单调递减区间；
（2）设（4），若函数对于任意，，总存在，，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1），和，（2），
【详解】（1）法一：由题意知，，
定义域为，
，
由对勾函数的性质知，当或，即且时，单调递减，
故函数的单调递减区间为，和，．
法二：由题意知，，定义域为，
，
令，
，且，
函数的单调递减区间为，和，．
（2）（4），，解得，，
由（1）知，在，上单调递减，
，（1），
的对称轴为，且开口向上，
在，上单调递减，
，（1），
对于任意，，总存在，，使得成立，
，且，
即，且，
，
故的取值范围为，．
27．（2021•奉贤区二模）设函数，，．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）设，解关于的不等式．
【答案】（1）函数是非奇非偶函数（2），且，
【详解】（1），
由可得，关于原点对称，
因为，
当时，，，
所以函数是偶函数；
当时，，，
，
所以，
函数是非奇非偶函数．
（2）因为，
，
因为，
所以，
即，
整理得，
所以，且，
所以，且，，
解得，且，，
故不等式的解集，且，．
28．（2021•松江区二模）已知函数为常数，．
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在，上有实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【详解】（1）函数的定义域为，
又
①当时，即时，可得
即当时，函数为偶函数；
②当时，即时，可得
即当时，函数为奇函数．
（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，
即时，
由题可得，
令，则有
，

又，当且仅当时，等号成立
根据对勾函数的性质可知，，即
①

此时的取值不存在；
②

此时，可得的取值为
综上可得
29．（2021•嘉定区二模）设常数，函数．
（1）若函数是奇函数，求实数的值；
（2）若函数在，时有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）函数定义域，
由为奇函数得，
所以，，，
所以为奇函数，
（2）由在，时有零点，
设，
由，得，，
当时显然不成立，
故，方程等价于在，时有解，
结合二次函数的性质可知的值域，，
所以，
解得．
故的范围．
30．（2021•崇明区二模）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产件，需另投入成本为当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（件的函数解析式：
（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】（1）（2）当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元
【详解】（1）①当时，根据年利润销售收入成本，
；
②当时，根据年利润销售收入成本，
．
综合①②可得，．
（2）①当时，，
当时，取得最大值万元；
②当时，，
当且仅当，即时，取得最大值万元．
综合①②，由于，
当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元