专题03 解三角形综合题-备战2022年天津高考数学真题模拟题分类汇编

专题03 解三角形综合题-备战2022年天津高考数学真题模拟题分类汇编

1．（2021•天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】（1）中，，，

，，．

（2）中，由余弦定理可得．

（3）由（2）可得，

，，

．

2．（2020•天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【详解】（Ⅰ）由余弦定理以及，，，

则，

，

；

（Ⅱ）由正弦定理，以及，，，可得；

（Ⅲ） 由，及，可得，

则，

，

．

3．（2021•河东区一模）已知锐角三角形的三个角，，所对的边为，，，在①，②，③，三个条件中任选一个完成下列问题（如果使用多个条件按第一个解法计分）．

（1）求；

（2），三角形的面积为，求，．

【答案】见解析

【详解】若选①：（1），

由正弦定理得，

，

，

，，，

，．

（2），，

由余弦定理得，，

解得．

若选②：，

由正弦定理得，，，

，．

下面步骤同①．

若选③：，

由正弦定理得，，

，，．下面步骤同①．

4．（2021•和平区一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）；

（Ⅲ）

【详解】（Ⅰ）因为，，，

由余弦定理，可得，可得，

解得，或（舍去），即的值为6．

（Ⅱ）由正弦定理，可得．

（Ⅲ）因为，

所以，，

．

5．（2021•南开区一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）因为，

整理可得，

利用正弦定理可得，

由余弦定理可得，

因为，

所以．

（2）因为，，，

所以由正弦定理，可得，

因为，可得为锐角，可得，

可得，

可得．

6．（2021•红桥区一模）已知的内角，，的对边分别为，，，满足．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，求的值；

（Ⅲ）若，，求边的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【详解】（Ⅰ）因为，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以．

（Ⅱ）因为，，可得，

所以．

（Ⅲ）因为，，，

由余弦定理，可得，解得．

7．（2021•河北区一模）已知的内角，，的对边分别为，，，满足．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ），

由正弦定理可得：，即，

，

，

．

（Ⅱ）由，可得，

，，

．

8．（2021•天津模拟）在中，内角，，所对的边分别为，，，．

（1）求角的大小；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）因为，

即，

由正弦定理得，，

由余弦定理得，

由为三角形内角得；

（2）由（1）得，

因为，

所以，

故，

由为三角形内角得，

故，，

所以．

9．（2021•天津一模）在中，内角，，的对边分别为，，．已知．

（1）求角的大小；

（2）若角为钝角，且，，求和的值．

【答案】（1），或；（2）

【详解】（1）因为，

所以由正弦定理可得，

因为，

所以，

由，可得，或．

（2）由（1），若角为钝角，可得，

因为，，

所以由余弦定理，可得，整理解得，

可得，

所以，可得，

可得．

10．（2021•河西区一模）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【详解】（Ⅰ）在中，，故由，可得．

由余弦定理有，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理，得．

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，得，，．

故．

11．（2021•南开区二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求边的长；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【详解】（Ⅰ）因为，

由正弦定理得，，

因为，

所以，即，

由为三角形内角得，；

（Ⅱ）因为，，，

由余弦定理得，，

所以；

（Ⅲ）由余弦定理得，，

所以，，，

所以．

12．（2021•红桥区二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，．

（Ⅰ）求边及角的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ）由余弦定理，可得，

，

由正弦定理，

可得．，所以．

（Ⅱ）由于，，

所以，，

所以．

13．（2021•和平区二模）已知中，角，，的对边分别为，，，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）求的长．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【详解】（Ⅰ）因为，，，

所以由，可得，

所以由正弦定理，可得．

（Ⅱ）因为，，可得为锐角，

所以，可得，，

所以．

（Ⅲ）因为，

所以由，可得．

14．（2021•天津二模）中，角，，所对边分别为，，，且，，．

（Ⅰ）求边及的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ）因为，，可得，

由，可得，

由，得，，

由余弦定理，可得，

由正弦定理，可得．

（Ⅱ）在中，，由（Ⅰ）可知：，

由于，，

所以，，

所以．

15．（2021•河北区二模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，满足．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的值；

（Ⅲ）若，，求的面积．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【详解】（Ⅰ）因为，

由正弦定理，得，

即，

因为，

所以，

由为锐角，得；

（Ⅱ）若，则，，，

；

（Ⅲ），，

由余弦定理，得，

所以，

的面积．

16．（2021•天津模拟）如图，在平面四边形中，，，，，．

（1）求边的长；

（2）设，求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）在中，，，，，

由余弦定理，得，

即，

所以．

（2）在中，，，，，

由正弦定理，得，

所以，

所以，

所以．

17．（2021•天津二模）在中，角，，的对边分别为，，，若且的面积为，．

（Ⅰ）求角的大小及；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ），

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

．

（Ⅱ）由正弦定理可知，

，

，

，

，

．

18．（2021•天津模拟）在中，，，．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ），，．

由余弦定理，得

，

，；

（Ⅱ）在中，，，

由正弦定理有：，

，

，，为锐角，

，

．

19．（2021•宝坻区校级二模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．

（1）求角的大小；

（2）求的值；

（3）求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】（1）因为在中，，，，

所以可得，

又，

所以．

（2）因为在中，，，，

所以由，可得．

（3）因为，，可得，

所以，，

所以．

20．（2021•滨海新区校级三模）函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期并求当，时，函数的最大值和最小值．

（Ⅱ）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且，求的面积．

【答案】（Ⅰ）最大值3，最小值；（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ），

，

当，时，，，

所以，，

故当，即时，函数取得最大值3，当，即时，函数取得最小值；

（Ⅱ），即，

由为三角形内角，得，

由及正弦定理得，

由余弦定理，得，

所以，

故，

的面积．

21．（2019•河西区三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，，求和的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ）．由正弦定理可得：，

化为：，

化为：，即，

，．

，．

（Ⅱ）由余弦定理可得：，解得．

又，解得：．

为钝角，为锐角．

．

．

由为锐角，．

，．

．

．

22．（2021•河西区三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）设，，

（ⅰ）求，

（ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）

【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，

又由，得，即，

又因为，可得．

（Ⅱ）（ⅰ）在中，由余弦定理及，，，

有，

故．

（ⅱ）由，可得，

因为，故．

因此，，

所以．

23．（2021•天津三模）在中，内角、、的对边分别为，，，．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，．求：

（ⅰ）边长；

（ⅱ）的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）

【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得

，，

，

（Ⅱ）（ⅰ）因为，，

由余弦定理得，

（ⅱ）由，

因为为锐角，所以

，

24．（2021•南开区校级模拟）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，．

（1）求和的值；

（2）求的值．

【答案】（1），；（2）

【详解】（1）在三角形中，由，可得，

的面积为，可得：，

可得，又，解得，，

由，可得，

由，解得；

（2）

．

25．（2021•天津模拟）已知中，角的对边分别为，，，．

（1）求角；

（2）若，，求的值．

（3）若，，求．

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】（1）由正弦定理及得．

因为，

所以，即，

解得或（舍，

由为三角形内角得；

（2）因为，

所以，

因为，

由余弦定理得，即，

所以；

（3）由正弦定理得，

所以，，

故，，

所以．

26．（2021•天津模拟）设的内角，，所对边分别为，，，且，，．

（1）求，的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）①，，，

由余弦定理得：，

整理得：②，

联立①②解得：；

（2），为三角形的内角，

，

，，，

由正弦定理得：，

，即，为锐角，

，

则．

27．（2021•天津校级模拟）在中，角，，的对边分别是，，，且．

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】（Ⅰ）由正弦定理可得，，

从而可得，，即，

又为三角形的内角，所以，于是，

又亦为三角形内角，因此，．

（Ⅱ），

，

，

由可知，，所以，从而，

因此，，

故的取值范围为．

28．（2021•北辰区模拟）在中，角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求的值；

（2）若，

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求的值．

【答案】（1）；（2）（ⅰ），（ⅱ）

【详解】（1）由正弦定理知，，

，

，化简得，，

由余弦定理知，．

（2）（ⅰ）由（1）知，，

，，

由正弦定理知，，

，，且，即，

，，，

．

（ⅱ）由（ⅰ）知，，，

，，

．

29．（2021•和平区模拟）已知中，角，，的对边分别为，，，若，且，．

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【详解】（Ⅰ）由正弦定理，及，可得，即．

由余弦定理，，

解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．由余弦定理，可得．因为，

且，所以．

于是，．

（Ⅲ）由知，且，因此．

所以．