专题05 解析几何综合题-备战2022年天津高考数学真题模拟题分类汇编

专题05 解析几何综合题-备战2022年天津高考数学真题模拟题分类汇编

1．（2021•天津）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．

2．（2020•天津）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．

3．（2021•宝坻区一模）已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，下焦点为，若．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为椭圆上的动点，且在第一象限运动，直线的斜率为，且与轴交于点，过点与垂直的直线交轴于点，若直线的斜率为，求值．

4．（2021•河东区一模）已知椭圆的离心率为，且左顶点到右焦点的距离为5．

（1）求椭圆方程；

（2）椭圆上有两点，，为坐标原点，且，证明存在定点，使得到直线的距离为定值，并求出定值．

5．（2021•和平区一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，，且线段的中点为，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的方程．

6．（2021•南开区一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点的坐标为，延长线段交椭圆于点，轴．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线交椭圆于，两点，若，求椭圆的标准方程．

7．（2021•红桥区一模）如图，椭圆经过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

8．（2021•河北区一模）已知椭圆的长轴长为4，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，右顶点为，过点的直线与轴正半轴交于点，与椭圆交于点，且轴，过点的另一直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．

9．（2021•天津模拟）已知椭圆的左焦点为，离心率，长轴长为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．

10．（2021•天津一模）已知椭圆的短半轴长为1，离心率为．

（1）求的方程；

（2）设的上、下顶点分别为，，动点（横坐标不为在直线上，直线交于点，记直线，的斜率分别为，，求的值．

11．（2021•河西区一模）已知椭圆左、右焦点分别为，，且满足离心率，，过原点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点，求面积的最大值．

12．（2021•南开区二模）已知抛物线与离心率为的椭圆的一个交点为，点到抛物线的焦点的距离为2．

（Ⅰ）求与的方程；

（Ⅱ）设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于点，直线交轴于点，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2021•天津二模）已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过的直线交椭圆于另一点，过作轴的垂线交椭圆于异于点），连接交轴于点．如果时，求直线的方程．

14．（2021•和平区二模）已知椭圆的右焦点为，点与点是椭圆的顶点，．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设以离心率为斜率的直线经过点，与椭圆相交于点（点不在坐标轴上）

（ⅰ）证明：点在以线段为直径的圆上；

（ⅱ），求椭圆的方程．

15．（2021•河北区二模）已知椭圆的离心率为，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，若直线与椭圆交于不同两点，，都在轴上方）．且为坐标原点）．

（ⅰ）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；

（ⅱ）对于直线是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2021•天津模拟）设椭圆的左、右焦点分别为，已知的离心率为，过焦点的直线交于，两点，当焦点到直线的距离最大时，恰有．

（1）求的方程；

（2）过点且斜率为的直线交于，两点，在第一象限，点在上．若线段的中点为，线段的中点为，求的取值范围．

17．（2021•天津二模）已知点为椭圆的焦点，且点在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线与椭圆交于，两点，且坐标原点到直线的距离为，的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

18．（2021•天津高考考前模拟）已知椭圆的右焦点为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点．若，求证：直线经过定点．

19．（2021•天津校级模拟）设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，且点，均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．

20．（2021•滨海新区校级三模）椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点，若直线与椭圆相交于两点，且直线，的斜率之和为，求实数的值．

（Ⅲ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围．

21．（2021•天津校级模拟）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，点到直线的距离为，椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线过点，且与轴垂直，，为直线上关于轴对称的两点，直线与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当△与的面积之差取得最大值时，求直线的方程．

22．（2021•河西区三模）已知椭圆长轴的两个端点分别为，，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆上异于，的动点，直线，分别交直线于，两点，连接并延长交椭圆于点．

（ⅰ）求证：直线，的斜率之积为定值；

（ⅱ）判断，，三点是否共线，并说明理由．

23．（2021•天津三模）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；

（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．

24．（2021•宝坻区校级二模）已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点是椭圆与轴正半轴的交点，点，在椭圆上且不同于点，若直线、的斜率分别是、，且，试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．

25．（2021•南开区校级模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，的周长为8，当直线垂直于轴时，．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设椭圆的右顶点为，直线，分别交直线于，两点，当的面积是面积的5倍时，求直线的方程．

26．（2021•天津模拟）已知椭圆的离心率为，以椭圆中心为圆心，长半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆的左顶点为，右顶点为，右焦点，是椭圆位于轴上方部分的一个动点，以点为圆心，过点的圆与轴相交，交点在右边，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线，交直线于点，判断是否为定值，并给出证明．

27．（2021•南开区校级模拟）已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；

（3）若弦，的斜率均存在，求面积的最大值．

28．（2019•南开区一模）已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设与圆相切的直线交椭圆于，两点为坐标原点），求的最大值．

29．（2021•北辰区模拟）已知椭圆过点，其右顶点为，下顶点为，且，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于、两点，直线、分别与轴交于，两点．

（1）求椭圆的方程：

（2）当点、的横坐标的乘积是时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．

30．（2021•和平区模拟）已知椭圆的离心率，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点和点，过点的动直线交椭圆于，两点在左侧），试讨论与的大小关系，并说明理由．

31．（2021•河西区三模）已知椭圆长轴的两个端点分别为，，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆上异于，的动点，直线，分别交直线于，两点，连接并延长交椭圆于点．

（ⅰ）求证：直线，的斜率之积为定值；

（ⅱ）判断，，三点是否共线，并说明理由．