专题02 不等关系与基本不等式-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

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专题02 不等关系与基本不等式
一、单选题
1．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用特殊值判断ABD，根据不等式的性质判断C；
【详解】
解：对于A：若，，显然满足，但是，故A错误；
对于B：若，，显然满足，无意义，故B错误；
对于C：因为，，所以，故C正确；
对于D：若，，显然满足，但是无意义，故D错误；
故选：C
2．已知，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知得，由此可判断得选项.
【详解】
解：因为，，所以一定有，b的符号不能确定，所以，的符号不能确定,，一定成立的是，
故选：D.
3．若，，则一定有（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质可判断.
【详解】
解：根据，有，由于，两式相乘有，
故选：A.
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.
【详解】
由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.
故选：A
5．设x，y＞1，z＞0，z为x与y的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用等比数列的性质和对数的运算法则化简求解即可.
【详解】
，且z为x和y的等比中项，则，

，(当且仅当即时取等号)
故选：A
6．对任意实数，在以下命题中，正确的个数有（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由不等式性质可判断出①③；通过反例可知②错误；根据对数运算法则知④错误.
【详解】
对于①，若，则，，①正确；
对于②，当，时，，②错误；
对于③，由得：，，又，，③正确；
对于④，，④错误.
故选：B.
7．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
根据已知结合基本不等式可得，解关于的不等式，即可得出结论.
【详解】
，
又，所以，
当且仅当时，等号成立，
，
所以.
故选：D.
8．设a，b为正数，若圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．10
【答案】A
【分析】
求出圆的圆心坐标，得到的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．
【详解】
解：圆，即，所以圆心为，
所以，即，因为、，
则，
当且仅当时，取等号．
故选：．
9．若实数，满足，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据实数的性质以及不等式的基本性质，结合作差比较，即可求解.
【详解】
因为，所以，所以A正确；
由，可得，则，所以，所以B不正确；
由，可得，则，所以，所以C正确；
由，可得，则，
所以，所以D正确；
故选：B．
10．设，，且，则当取最小值时，（ ）
A．8 B．12 C．16 D．
【答案】B
【分析】
首先利用基本不等式的性质得到时，取最小值，再计算即可.
【详解】
，，
当取最小值时，取最小值，
，，
，
，
，当且仅当即时取等号，
.
故选：
11．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
【答案】C
【分析】
举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.
【详解】
当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a20，a>b，由不等式性质得，C正确；
当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，
故选：C
12．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设，得到，，在直角中，利用勾股定理，求得，结合，即可求解.
【详解】
设，可得圆的半径为，
又由，
在直角中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
13．设，则下列不等式中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用基本不等式和不等式的传递性即可选出答案.
【详解】
∵，由基本不等式得，∴
故选：B.
14．若，，，则的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
【答案】A
【分析】
利用基本不等式由2x+2y=1可得，从而可求出x+y的取值范围.
【详解】
因为，
所以，
即，当且仅当，即时取“”，
所以的取值范围是，.
故选：A.
15．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】
根据不等式的基本性质分别判断选项ABD即可，对于选项C可以举例说明.
【详解】
对于A：当时，若，则，故选项A错误；
对于B：若，，则，故选项B正确；
对于C：当，时，满足，但是，故选出C错误；
对于D：若，则，选项D错误.
故选：B.
16．已知均为正实数，且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，结合基本不等式求得，再利用对数的运算，即可求解.
【详解】
由均为正实数，且满足，
可得，当且仅当时，等号成立，
则，即的最大值为.
故选：C
17．对于下列命题：
①若则；
②若，则.
关于上述命题描述正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【答案】C
【分析】
根据不等式的性质可以判断①，再根据指数式的运算可以判断②，最后得到答案.
【详解】
对①，由，得，则，又因为所以，于是.①为真命题；
对②，令，则，即.②为假命题.
故选：C.
18．设，，下列各式中最小值为2的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】
A，，当且仅当时取等号，故A不选；
B，，
此时等号成立的条件不存在，故B不选；
C，,
令，即，
原式
，
当且仅当时，即时取等号，此时，故C可选；
D，，又
所以，
当且仅当时，取等号，故D不选.
故选：C
19．已知，为锐角，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
表达出，进而利用基本不等式求解最大值.
【详解】
因为为锐角，所以，由题可得，，当且仅当时取等号，故的最大值为.
故选：C.
20．已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件取特殊值或者作差法比较大小，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
令，则，即.所以A选项错误；
令，则，即，所以B选项错误；
令，则，所以C选项错误；
因为，由得，所以D选项正确.
故选:D.
21．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用不等式及不等式的性质逐项判断即可.
【详解】
解：对A，由，令，，则，，，故A错误；
对B，当时，，故B错误；
对C，当时，，故C错误；
对D，，
因为，所以，
所以
即
所以，故D正确.
故选：D.
22．设集合则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
解出集合中的不等式，然后可得答案.
【详解】
，
所以
故选：D
23．已知，，且，则当取得最小值时，（ ）
A．16 B．6 C．18 D．12
【答案】B
【分析】
根据已知条件可得，将展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，，
所以
所以．
当且仅当即时取等号，
所以当取得最小值时，
故选：B.
24．下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由得的范围可判断A；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B；作差比较与的大小可判断C；作差比较与的大小可判断D.
【详解】
因为，所以，所以，故A错误；
只有在时才成立，故B错误；
因为，所以，
所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：D.
25．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用基本不等式可求得，从而再次利用基本不等式求得，由此可得结果.
【详解】
（当且仅当，即时等号成立），
（当且仅当，即时等号成立）.
两个等号可以同时成立，的最小值为.
故选：C.
26．已知正实数a，b满足：，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．无最小值
【答案】B
【分析】
对去分母得，代换中的，再结合“1”的妙用即可求解
【详解】
由，则，
，当且仅当时取到等号，故的最小值为.
故选：B
27．对任意正实数不等式恒成立，则（ ）
A．实数有最小值1 B．实数有最大值1
C．实数有最小值 D．实数有最大值
【答案】C
【分析】
化简得到，考虑和两种情况得到，根据均值不等式得到最值得到答案.
【详解】
，故，，
当时，不等式恒成立；
当时，，
，时等号成立，，故，故.
故选：C.
28．已知P是面积为1的△ABC内的一点（不含边界），若△PAB，△PAC，△PBC的面积分别为x，y，z，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】
由题意得出，原式可化为，利用基本不等式求出最小值．
【详解】
解：因为三角形的面积为，且，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，即最小值为3．
故选：D．
29．若，，均为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
将式子变形得到：，再由均值不等式得到.
【详解】
，，均为正数，且，
将式子变形得到
根据均值不等式得到：
等号成立的条件为：
故选：C.
30．已知，且，则（ ）
A．的最大值为1 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】D
【分析】
由题设等量关系，结合各选项的目标式，应用基本不等式、指对数的运算性质判断各式的最值.
【详解】
A，当且仅当时等号成立，则最小值为1，故不正确；
B，由A知：，故，又 且时等号成立，故不正确；
C，由，易知：，又，故不正确；
D，由B知：，即，则，正确．
故选：D.
31．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】
根据条件,变形后，利用均值不等式求最值.
【详解】
因为，
所以.
因为，，
所以，当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为4.
故选：C
32．已知实数满足，则三个数中，大于1的个数最多是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
先利用基本不等式求出的最大值为3，进而判断出三个数不可能全大于1，进而通过特值法验证即可得到答案.
【详解】
由基本不等式可知，，当且仅当且仅当时取“=”.
于是三个数中，大于1的个数最多是2个，现通过特殊值验证：当，时，，有2个大于1.
综上：三个数中，大于1的个数最多是2个.
故选：C.
33．设，，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】
分子分母同除以，然后令分母为换元后化简，利用基本不等式可得结论．
【详解】
因为，，
，设，，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
34．已知，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
结合对数运算以及基本不等式对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】
由，得，，所以，
整理得，故A正确；
由，得，又，所以，故B正确.
因为，，所以，故C正确；
因为，所以，，
当且仅当时，等号成立，又，
所以，D错误．
故选：D
35．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可得，将展开利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】
由可得，所以，
因为，，
则，
当且仅当 即时等号成立，所以的最小值为，
故选：A.
36．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)