专题03平面向量与复数-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

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专题03平面向量与复数
一、单选题
1．已知向量，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】
根据向量数量积的坐标运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】
由题意，向量，可得，
所以.
故选：A.
2．已知向量，，若，则t的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．1或2
【答案】A
【分析】
先求出，因为，所以，进而列出方程，求出t的值.
【详解】
因为向量，，所以，因为，所以，解得：，
故选：A.
3．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由向量的坐标公式表示出，再利用模长公式代入计算.
【详解】
因为，，则，所以
故选：B.
4．已知、，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.
【详解】
因为，所以，解得，故.
故选：A.
5．已知复平面内向量（O为坐标原点）的坐标为（-2，1），则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
复数对应的点为（-2，1），即得解.
【详解】
解：复数对应的点为（-2，1），
又向量（O为坐标原点）的坐标为（-2，1），
故选：.
6．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
应用复数的除法、乘方运算化简复数，即可知其虚部.
【详解】
，
∴虚部为.
故选：C.
7．已知复数，则（ ）
A．340 B． C．169 D．13
【答案】D
【分析】
根据复数的乘法运算求出，再根据复数的模的运算即可得出答案.
【详解】
解：因为，所以，
所以.
故选：D.
8．已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出共轭复数，从而可求出其虚部
【详解】
由，得，
所以的虚部是，
故选：B
9．已知x，y∈R，i为虚数单位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，则x，y的值为（ ）
A．3，0 B．2，1 C．1，2 D．1，-1
【答案】A
【分析】
根据复数相等的定义即可求解.
【详解】
解：因为（x-1）+（y+1）i=2+i，
所以，解得，
故选：A.
10．已知i为虚数单位，复数，则z的虚部为（ ）
A．0 B．－1 C．－i D．1
【答案】B
【分析】
化简复数， z的虚部为前面的系数，即可得到答案.
【详解】
.则z的虚部为－1.
故选：B.
11．已知复数，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】
根据复数的模的定义即可求得答案.
【详解】
由题意，.
故选：D.
12．已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先由求出复数，从而可求出其共轭复数
【详解】
.
故选：D.
13．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据复数得除法运算求出复数，再根据虚部的定义即可得出答案.
【详解】
解：由，得，
所以虚部为.
故选：A．
14．已知i为虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
运用复数的运算法则即可.
【详解】
.
故选:A.
15．复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先设复数，然后根据复数相等建立方程，运用复数的四则运算即可
【详解】
不妨设复数，则有：
则有：
故有：
解得：
故选：B
16．若复数（为虚数单位）的共轭复数记作，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
求出共轭复数可得答案.
【详解】
复数的共轭复数记作，则的虚部为
故选：C.
17．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量夹角公式求，由此可得.
【详解】
∵
∴ ，
∴，
∵，，
∴．
故选：D.
18．已知A，B，C，D在同一平面上，其中，若点B，C，D均在面积为的圆上，则（ ）
A．4 B．2 C．－4 D．－2
【答案】A
【分析】
根据圆的面积得到圆的半径，结合，的长度求出，所成角为60°，进而利用向量的减法及数量积公式进行求解.
【详解】
依题意，圆的半径为2，设圆心为O，因为，所以BD为圆的直径，，因为，则是等边三角形，所以，所成角为60°，所以
故选：A．
19．回旋镖（Boomerang）曾是澳大利亚土著人的传统狩猎工具，今在澳大利亚回旋镖是相当受欢迎的运动项目.四叶回旋镖可看作是由如图所示的四个相同的直角梯形围成，其中，若点H满足，则向量与的夹角为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
观察直角梯形的特征，求出角A的大小，然后由得到点H为GF的中点，最后结合，即可得结果.
【详解】
解：如图：过作，交于点，在直角梯形ABCD中，，所以为正方形，所以为等腰直角三角形，即，同理可得.



因为四叶回旋镖是由四个相同的直角梯形围成，所以B，D，E三点共线.
因为，所以点H为线段FG的中点，又，所以向量与的夹角即与的夹角，为，


故选：C.
20．如图，在直角梯形中，，点为的中点，设，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，，从而即可求解.
【详解】
解：连接，因为为的中点，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，所以.
故选：A.
21．在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
由题意可知是线段的中垂线，从而可得结果.
【详解】
由得是的中点，
又由得，所以.

故选：B.
22．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据已知条件求出的坐标，再由模长的坐标表示即可求解.
【详解】
因为，，则，
所以，
故选：A.
23．中，，，，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用余弦定理求出的长，再利用平面向量数量积的几何意义可求得结果.
【详解】
由余弦定理可得，即，解得，
因此，则在方向上的投影为.
故选：A.
24．在平面直角坐标系中，设，向量，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
根据平面向量的坐标运算求得向量，再根据，将用表示，再根据平面向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：，
则，
由，得，则，
所以，
则，
当时，.
故选：D.
25．已知，均为单位向量，2a→+b→·a→-2b→=-332，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．150°
【答案】A
【分析】
设单位向量，的夹角为，利用平面向量的数量积的定义及运算法则进行求解.
【详解】
设单位向量，的夹角为，0≤θ≤π，
则，||=1，a→·b→=cosθ；
因为2a→+b→·a→-2b→=-332，
所以2a→2-3a→·b→-2b→2=-332，
即-3cosθ=-332，即，
所以，即与的夹角为30°.
故选：A.
26．在中，是边上一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可.
【详解】

故选：A
27．已知复数在复平面上对应的点在直线上，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】
由复数的四则运算得出复数在复平面上对应的点的坐标，再代入直线方程得出.
【详解】
因为
所以其对应点的坐标为
由题意知，解得
故选：D.
28．设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，则，，根据题意求得，再根据复数的除法运算即可得解.
【详解】
解：设，则，，
依题意得，解得，
∴，.
故选：B.
29．若是纯虚数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据纯虚数的定义可得，，即可求出，再根据诱导公式即可求出.
【详解】
是纯虚数，
，且，
即且，即，
则，则.
故选：C.
30．若（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用复数的乘方运算及三角函数二倍角公式进行化简，得到结果.
【详解】


故选：B
31．已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】
根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可；
【详解】
解：是纯虚数，则，解得，
故选：C.
32．i是虚数单位，若，则等于（ ）
A．-5 B．-1 C．1 D．5
【答案】C
【分析】
将等式右面化简，再结合对应关系可求.
【详解】
由，所以，，则.
故选：C
33．若复数，则的实部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先利用复数的除法化简复数z，再利用复数的乘法结合复数的概念求解.
【详解】
因为，
所以，
所以的实部为，
故选：A
34．已知（为虚数单位），则复数的模为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】C
【分析】
结合复数除法运算和对应关系先求，再由模长定义求的模.
【详解】
，所以，故，.
故选：C
35．已知复数z=2+ai1+i（其中i为虚数单位，）在复平面内对应的点为，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】
先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解.
【详解】
因为z=2+ai1+i=2-a+(a+2)i，
又因为复数在复平面内对应的点为，
所以2-a=1a+2=3，
解得
故选：A
36．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据复数模的计算公式，以及复数的运算法则和共轭复数的定义可求解.
【详解】
由复数模的运算公式，可得，
得，
所以，则.
故选：B．
37．计算复数：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简可得结论.
【详解】
．
故选：D.
38．已知复数（为虚数单位），则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出复数，进而可得其共轭复数.
【详解】
，
则
故选：D.
39．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
对复数进行计算化简，根据复数的实部代表横坐标，虚部代表纵坐标，判断复数对应的点所在的象限
【详解】
，对应的点位于第一象限
故选：A
40．复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（ ）
A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆
【答案】A
【分析】
设出动点Z坐标为，根据题意列出方程，求出结果.
【详解】
设动点Z坐标为，则，所以，即，化简得：，故动点Z的轨迹为直线.
故选：A
41．已知复数，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】
根据向量模的计算公式计算可得；
【详解】
解：因为，所以
故选：D
42．若（，是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
由题意知是纯虚数，解关于的方程组得到.再代入进行化简为，进而可以求出模长.
【详解】
因为是纯虚数，所以且，解得，所以.
因为，所以.
故选：B.
43．设复数满足 ，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】
利用复数的运算法则及模的定义求解即可.
【详解】
，
则.
故选：.
44．已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意，则，代入题干数据，结合二次函数的性质，即得解
【详解】
由题意，向量与共线，
故存在实数，使得




当且仅当时等号成立
故选：D
45．已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
可设，，根据，可得的关系式，并得出的范围，，将用表示，再根据函数的最值即可得解.
【详解】
解：可设，，
则，
即，则，，
，
当时，取得最大值为6，
即的最大值为6.
故选：C
46．在平面直角坐标系中，已知点．若动点M满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，求出动点轨迹方程，然后用三角换元法表示出，计算，并由两角和的正弦公式变形，由正弦函数性质求得范围．
【详解】
设，则由，得M的方程为，设，
则．
故选：D．
47．已知单位向量，满足，则（ ）
A． B．5 C．2 D．
【答案】D
【分析】
结合已知条件，对两边同时平方求出，然后求出，进而即可得到答案.
【详解】
由题意，，，
对两边同时平方可得，，
解得，
故，得.
故选：D.
48．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，是△（不含边界）内的动点，满足，则的值可以是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别取、的中点、，连接交于，分析可知在线段（不含端点）上，求出、关于、的表达式，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】
如图，分别取、的中点、，连接交于，

、分别是、的中点，则，
，则，
所以，在线段（不含端点）上．
，，则，
则，
同理，，．
故选：C.
49．设点是双曲线的左､右两焦点，点是的右支上的任意一点，若，则的值可能是（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】
设由题可得，进而得，利用双曲线的定义可得，即得
【详解】
设则，由题可知，
∴，又，
∴，可得，
∴，即，
∴，
∴，又.
故选：B.
50．在△ABC中，，O为△ABC的重心，若，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由所给条件变形可得，即三角形为正三角，由数量积的运算可求出三角形边长，再由正弦定理求外接圆半径即可.
【详解】
因为，
所以，即.
因为O为△ABC的重心，且，
所以△ABC为等边三角形.
因为，
所以.
因为，
所以△ABC外接圆的半径为.
故选：B
51．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，则（ ）

A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
法一：构建以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴的直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求x、y即可求值；
法二：过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，利用向量加法的平行四边形法则可得求x、y，进而求值；
法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律、及已知条件构建方程求x、y即可.
【详解】
法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则，由，，则且，
又，，即，
∴，
由，有，解得，故.

法二：如图，过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，
∴.
由，及，易知：B是线段AE的中点，于是.
由，，得，易知，，
∴，则，故，于是，又，
∴，即.

法三：设，由，，得，，
由，得，又，则.
又，
，
∴，于是，故.
故选：B.
52．将单位向量向右平移得到向量，点在线段上，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由求出，从而得，在中，由大边对大角求得，从而得，再由余弦定理得，然后由数量积的定义计算．
【详解】
因为，所以，
所以，则．又，所以，
从而，，且，
所以．
故选：A．
53．如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，，则（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】
连接，根据正六边形的特征可得，从而可得，再根据当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，即可求得，，从而得出答案.
【详解】
解：连接，在正六边形中，，
∴，
∵正六边形的边长为2，∴，
因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，
所以当在上运动时，取得最大值，为，
当移动到点时，取得最小值，为0．
∴，，∴．
故选：D.

54．已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解.
【详解】
设与的夹角为，因为，，所以．
故选：B
55．若，则与夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
通过已知条件，展开利用线性运算计算出与夹角的余弦值，从而完成求解.
【详解】
由已知，所以，设与的夹角为，因为所以，所以，所以与夹角为.
故选：C.
56．已知在平行四边形中，点满足则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量加减法的几何意义可得，再应用向量数量积的运算律求即可.
【详解】
由则
∴.
故选：B.
57．已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意结合向量共线的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】
因为与共线，所以，，
所以.
因为向量，是两个不共线的向量，
所以，解得.
故选：C.
58．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.
【详解】
，，
由，P，M共线，存在，使①，
由N，P，B共线，存在，使得②，
由①② ，故.
故选：B.
59．四边形为梯形，且，，，点是四边形内及其边界上的点.若，则点的轨迹的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由向量投影定义得，向量在向量上的投影为2，即动点在过点且垂直于的直线上. 证明后，可得点的轨迹为线段，即可得到答案；
【详解】

，即.
设向量与的夹角为，则，
因为，所以，
由向量投影定义得，向量在向量上的投影为2，
即动点在过点且垂直于的直线上.
在中，，，，
由余弦定理得，所以；
则，所以.
因为是四边形内及其边界上的点，所以点的轨迹为线段.
所以点的轨迹的长度为.
故选：B.

60．已知复数，则复数的共轭复数的模为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
根据复数的除法运算得，再根据共轭复数的概念与模的公式计算即可.
【详解】
解：因为，
所以，
所以复数的共轭复数为，其模为.
故选：D
61．若，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上
【答案】D
【分析】
根据复数的乘法法则和共轭复数的概念计算得，再根据几何意义求解即可.
【详解】
解：，
所以复数在复平面内对应的点为，
显然点在直线上.
故选:D
62．在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意先确定点A和点B的坐标，再根据题中的向量等式确定点C的坐标，进而确定点C所对应的复数，最后根据共轭复数的概念得出结果.
【详解】
由题意知，复平面内点A和点B的坐标分别为，，设点C的坐标为

所以，根据得，
计算得

所以点C对应的复数为，其共轭复数为，选项C正确.
故选：C.
63．已知复数（，为虚数单位）为实数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由复数的乘方，除法法则化简复数后，由复数的定义可得．
【详解】
，
故选：C.
64．如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值.
【详解】
连接，，

三点共线，可设，则，
；
三点共线，可设，则，
；
，解得：，，即.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.
65．在正三棱柱中，，点满足，则（ ）
A．存在点使得
B．存在点使得
C．存在点使得
D．存在点使得
【答案】A
【分析】
通过题干条件可得：P点一定在线段上运动，即一定在平面上，所以找到选项中的目标线段的特点，只有A选项中A1C中含有的A1点能够使得 A1D（D为B1C1的中点）垂直平面BCC1B1.
【详解】

因为，由平面向量基本定理可得：P点一定在线段上，所以取的中点D，连接，过B作交CD于点H，交于点P，因为⊥，⊥，，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，所以⊥平面，因为平面，所以，其余均不可能．故选：A
66．已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量的数量积求得，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.
【详解】，，
，，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，设
又，知，解得，
又E为的外心，，
，为等边三角形，，
∴，∴．
故选A

二、多选题
67．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
根据复数相等的定义得解.
【详解】
，，
，，，
故选：AD.
68．在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
化简复数，再由复数所在象限列不等式组，即可求解.
【详解】
因为复数在第二象限，所以
故选：CD.
69．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
【答案】BC
【分析】
利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.
【详解】
对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；
对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；
对于C，，最大值为，故C正确；
对于D，的共轭复数为，故D错误.
故选：BC.
70．已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（ ）
A．复数的虚部为
B．
C．的最大值
D．的最小值为
【答案】BC
【分析】
根据复数的概念和几何意义即可求解.
【详解】
对于A，由得，虚部为1，故A错误，
对于B，因为，，在复平面内对应的点为，则，
所以，故B正确，
对于C，由题意知，点B在以为圆心，半径为2的圆周上，
根据复数的几何意义，，
所以，，故C正确，
对于D，表示点B与定点的距离，易知点在圆内，所以，故D错误.
故选：BC.
71．已知，分别为直线的斜率与纵截距，复数，则（ ）
A． B．
C． D．复数在复平面上对应的点在第四象限
【答案】BC
【分析】
由直线方程得，然后由复数的乘除法运算求得，判断各选项．
【详解】
∵，分别为直线的斜率与纵截距，∴，
∴，∴，复数在复平面上对应的点为，在轴的负半轴上．
故选：BC．
72．已知i是虚数单位，复数（z的共轭复数为），则下列说法中正确的是（ ）
A．的虚部为
B．
C．的实部为1
D．z在复平面内对应的点在第三象限
【答案】BD
【分析】
应用复数的除法求z，进而写出，结合各选项的描述判断正误.
【详解】
，故，
A：的虚部为2，故不正确；
B：，故正确；
C：的实部为，故不正确；
D：对应的点为在第三象限，故正确.
故选：BD
73．已知为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是（ ）
A．的模为 B．的虚部为
C．对应的点位于复平面第一象限 D．的共轭复数为
【答案】ABC
【分析】
根据复数的相关概念依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，的模为，故正确；
对于B选项，的虚部为，故正确；
对于C选项，，对应的点的坐标为，在第一象限，故正确；
对于D选项，的共轭复数为，故错误.
故选：ABC
74．复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可．
【详解】
解：因为，
所以，
对于A： ，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，，
所以，即选项C正确；
对于D：，，，，所以，故D错误．
故选：ABC．
75．已知复数满足（其中为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数为
C．复数在复平面表示的点位于第一象限
D．复数的虚部为2
【答案】CD
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算求出复数，然后逐一核对四个选项即可得出答案.
【详解】
解：因为，所以，
所以，故A错误；
复数的共轭复数为，故B错误；
复数在复平面表示的点的坐标为，位于第一象限，故C正确；
复数的虚部为2，故D正确.
故选：CD.
76．对任意复数，，为虚数单位，是的共轭复数，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】
利用复数的运算性质分析求解即可
【详解】
对于A，由，得，所以，所以A错误，
对于B，因为，，所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以C正确，
对于D，因为 ，所以D正确，
故选：CD
77．已知与互为共轭复数，下面四个命题一定是正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
根据复数的运算，可判断A、B，根据，可判断C,根据复数的除法运算，可得D不一定正确，即可求解.
【详解】
由题意，复数与是共轭虚数，设，
由，所以A正确；
由，所以B不正确；
由，，所以，所以C正确；
由，不一定是实数，所以D不一定正确.
故选：AC．
78．已知复数（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数在复平面上对应的点可能落在第四象限
B．
C．
D．为实数
【答案】ACD
【分析】
根据复数的几何意义，结合三角函数值的范围判断A，复数的模的计算公式判断B，复数的乘法判断C；复数的加法法与除法，判断D．
【详解】
对于A，因为，所以只能为正数，可能为正数或负数或零
所以，复数在复平面上对应的点可能落在第四象限，所以正确；
对于B，，所以B不正确；
对于C，．所以C正确；
对于D，为实数，所以D正确；
故选：ACD.
79．已知复数在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．满足的点表示的轨迹为直线
D．满足的点表示的轨迹为椭圆
【答案】AD
【分析】
根据复数模值的定义以及复数的几何意义逐项验证即可.
【详解】
对于A选项：表示以为邻边的平行四边形对角线相等，则四边形为矩形，，故A选项正确；
对于B选项：在复平面中，设，，，
又，，
，，
，若，则，故B选项不正确
对于C选项：在复平面中，表示以为圆心，为半径的圆，故C选项不正确；
对于D选项：在复平面中，点到间距离为，设，
,
点的轨迹表示以、为焦点的椭圆，故D选项正确；
故选：AD
80．若复数满足，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点在直线上 D．的虚部为
【答案】BCD
【分析】
根据复数的基本概念和复数的运算逐项判断即可.
【详解】
设，则，由， 得，
整理得，
所以，解得，.
所以，所以，故选项A错误；
因为，所以，所以，B正确；在复平面内对应的点为，显然在直线上，C正确；
因为，所以的虚部为，D正确.
故选：BCD.
81．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数为
C．复数模为 D．复数在复平面内对应的点在第二象限.
【答案】CD
【分析】
根据复数的运算得，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：因为，
所以，
所以复数的虚部为,复数的共轭复数为,故A，B选项错误；
复数模为,复数在复平面内对应的点在第二象限，故CD选项正确.
故选：CD
82．已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【分析】
若 ，则， ，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.
【详解】
对于A：
若 ，则，故，
所以A正确；
对于B：
若，则，
所以B正确；
对于C：
设 ，
则 ，故 ，
所以C正确；
对于D：
如下图所示，若 ，，则，，故 ，
所以D错误.

故选：ABC
83．在菱形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据题意和菱形的性质可得、、、，依次判断选项即可.
【详解】
在菱形中，即，所以，
又，所以与不共线，故A正确，B错误；
因为E、F分别是AB、AD的中点，所以，
又，所以，所以，故C正确，D错误.

故选：AC
84．已知平面内两个给定的向量，满足，，则使得的可能有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】ABC
【分析】
由给定条件用坐标表示、，利用向量模的坐标表示列出方程，再借助直线与圆的公共点个数即可判断作答.
【详解】
因平面向量，满足，，在平面直角坐标系中，令，设，
由可得：，表示以点为圆心，1为半径的圆，
由得：，
整理得：，表示一条直线l，
依题意，同时满足直线l的方程和圆C的方程，因此直线l与圆C的公共点个数，即是向量的个数，
点C到直线l的距离
，
显然，当时，，直线l与圆C相交，有两个公共点，向量有2个，C满足；
当时，，直线l与圆C相切，有1个公共点，向量有1个，B满足；
当时，，直线l与圆C相离，没有公共点，不存在向量满足条件，即有0个，A满足.
故选：ABC
【点睛】
思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.
85．已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】ABC
【分析】
对于A，根据两向量垂直时其数量积为可求得的值；对于B，根据向量相等建立方程组可求得、的值，即可得的值；对于C，由模的计算公式求出，然后利用二次函数的性质求解即可；对于D，由两向量的夹角为锐角时其数量积大于且两向量不共线即可求出的范围．
【详解】
对于A，因为，，，
所以，解得，所以A正确；
对于B，由，得，
则，解得，故，所以B正确；
对于C，因为，
所以，
则当时，取得最小值为，所以C正确；
对于D，因为，，因为向量与向量的夹角为锐角，
所以，解得；
由题意知向量与向量不共线，，解得．
所以的取值范围是，所以D不正确．
综上可知，选ABC．
故选：ABC.
86．如图，在中，，D，E是BC的三等分点，且，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
由向量的线性运算即可判断A，B,取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，计算可得，进而得出，计算可判断选项C,由C可知，两边平方，化简计算可判断选项D.
【详解】
对于A，，故选项A不正确；
对于B，由题意得D为BE的中点，所以，故选项B正确；
对于C，取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且，所以
，
所以，，故选项C正确；
对于D，由G是BC的中点得，两边平方得，所以，故选项D正确.
故选：BCD.

87．已知D，E分别是的边BC，AB的中点，且AD，CE交于点O，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据平面向量的线性运算、向量的模的知识，依据题意，逐项分析即可.
【详解】
由题知，点O是的重心．如图，连接BO．
对于A，当且仅当是等边三角形时，的重心与外心重合，此时满足，故A不一定成立；
对于B，因为E为边AB的中点，且，
所以，故B成立；
对于C，，故C成立；
对于D，，故D成立．
故选：BCD．

88．已知，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为5 D．若向量与向量的夹角为钝角，则
【答案】BC
【分析】
A：两向量平行，成数乘关系，坐标成比例；
B：两向量垂直，数量积为零；
C：当两向量同向时，它们差的模最小；
D：两向量夹角为钝角时，数量积为负且夹角不能为18°.
【详解】
由，得，A不正确；
由，得，，B正确；
，当时，取得最小值5，C正确；
当时，即，得，当与反向时，，故若向量与向量的夹角为钝角，则，或，D不正确.
故选：BC.
89．如图，已知点为正十边形的中心，且，则下列结论正确的有（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
运用正十边形的性质，结合平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】
连接EH，由正十边形的性质知，则，所以A正确；
取AB的中点M，连接OM，则，，，所以，所以，B正确；
由向量加法的几何意义，得，所以C不正确；
连接，，由题意可知，，，
所以，所以D正确．
故选：ABD．

90．已知向量，满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．或 D．与的夹角为45°
【答案】ABC
【分析】
对于A，由，两边平方求解判断；对于B，由平方求解；对于C，设，由求解判断；对于D，利用夹角公式求解判断.
【详解】
对于A，由，得，因为，所以，又，所以，，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，设，则，，解得，从而或，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABC
91．在中，有如下四个命题正确的有（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则的形状为直角三角形
C．内一点G满足，则G是的重心
D．若，则点P必为的外心
【答案】BC
【分析】
对于A，由可得角为锐角，从而可判断，对于B，对两边平方化简，再结合余弦定理可得结论，对于C，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断
【详解】
解：对于A，由，得，所以，所以角为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以A错误，
对于B，因为，所以，即，所以,得，因为，所以，所以三角形为直角三角形，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以（为的中点），所以三点共线，所以点在边的中线上，同理，可得点在其它两边的中线上，所以G是的重心，所以C正确，
对于D，因为，所以，,所以，所以点在边的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点为的垂心，所以D错误，
故选：BC.
92．已知平面向量，，且，的夹角是钝角，则可以是（ ）
A．-1 B． C． D．2
【答案】BD
【分析】
根据题意得出且与不共线，运算即可.
【详解】
因为与的夹角为钝角，
所以且与不共线，
即且，
所以且
故选：BD
93．已知向量，，满足，，，设，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
由已知求解方程组可得与，求模判断A；由判断B；由数量积求夹角判断C；由数量积不为0判断D．
【详解】
解：∵，，
∴，，得，，故A错误；
又，则，则，故B正确；
，又，∴，故C正确；
∵，∴与不垂直，故D错误.
故选：BC．
94．在直角梯形中，，，，，E为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
利用向量的线性运算证明选项A，B正确；利用向量的线性运算和数量积计算选项C，D，即得解.
【详解】

A项，，故A正确；
B项，，，故B正确；
C项，因为与反向共线，，所以，故C不正确；
D项，
，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】
方法点睛：平面向量的数量积的计算，常用的方法有：（1）定义法；（2）坐标法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
95．已知菱形边长为1，，E是中点，F是中点，M是中点，延长交于N(如图所示)，设，，则下列结论正确的是（ ）

A．. B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据向量的线性运算及数量积的运算性质分别验证即可求解.
【详解】
由F是中点可得，
，故A正确；
因为E是中点，M是中点，所以,又,
所以错误，故B错误；
因为，，
所以，故C正确;
若，则，即,
即,由图形可知显然不成立，故D错误.
故选：AC
96．已知向量，，则（ ）
A． B．向量在向量上的投影为
C．与的夹角余弦值为 D．若，则
【答案】BCD
【分析】
利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误；由向量在向量上的投影公式可判断B选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，，所以，与不共线，A选项错误；
对于B选项，向量在向量上的投影为， B选项正确；
对于C选项，，，C选项正确；
对于D选项，若，则，所以，，D选项正确.
故选：BCD.
97．已知是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
根据平面向量的数量积的定义以及运算律，可判断出A不正确；故B正确；D不正确；根据三角形重心的性质，结合向量的线性运算可知C正确.
【详解】
因为是边长为2的正三角形，
所以，故A不正确；
，故B正确；
根据重心的性质可得，
所以，
所以，故C正确；
因为，
，
故D不正确.
故选：BC
98．已知向量，，均为单位向量，且满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．若的中点为，则 B．为钝角
C． D．
【答案】ABD
【分析】
由已知及向量的线性运算易判断A选项的正误；
将化为，两边平方，即可得的值，从而判断选项B，C的正误；
分别表示出，即可判断是否成立，进而确定选项D是否正确．
【详解】
由于的中点为，所以，于是，
即，而为单位向量，所以，故A正确；
由得，于是，
因此，则，所以为钝角，故B正确；
，故C错误；
由得，
所以，
，
于是，则，故D正确．
故选：ABD
99．如图，已知半圆上有一个动点，是上靠近点的三等分点，且与交于点，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据圆的几何性质，结合平面向量线性运算法则逐一判断即可.
【详解】
如图，对于选项，取的中点，连接，因为是的中点，所以在中，，所以.因为是靠近的三等分点，所以是的中点，从而是的中点，所以，A正确.
对于B选项，，B正确；
对于C选项，，C错误；
对于D选项，，D正确.
故选：ABD


100．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数__________．
【答案】
【分析】
利用复数的除法化简复数，利用该复数为纯虚数可求得实数的值.
【详解】
为纯虚数，
则，解得.
故答案为：.
101．复数，，若为实数，则______．
【答案】
【分析】
利用复数的四则运算化简复数，根据已知条件可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.
【详解】
，由已知条件可得，解得．
故答案为：.
102．已知为虚数单位，若复数，为的共轭复数，则等于___________．
【答案】
【分析】
根据共轭复数求出，再根据复数的运算性质即可得出答案.
【详解】
解：，．
故答案为：.
103．设为虚数单位，若复数，则的实部与虚部的和为___________.
【答案】
【分析】
利用复数的乘法化简复数，即可求得结果.
【详解】
因为，因此，复数的实部与虚部之和为.
故答案为：.
104．若复数（，，i为虚数单位）满足，写出一个满足条件的复数__________．
【答案】(答案不唯一)
【分析】
先写，再利用列式化简，即得（可为任意实数）均满足题意，写出其中一个即可.
【详解】
，故.
由知，，化简得，
故只要，即（可为任意实数）均满足题意，可取.
故答案为：(答案不唯一).
105．设、为实数，若复数，则___________.
【答案】
【分析】
利用复数的除法和复数相等可得出、的值，进而可求得的值.
【详解】
因为，则，
所以，，，因此，.
故答案为：.
106．已知复数满足为虚数单位，则的最大值是__________．
【答案】
【分析】
由复数模的几何意义可得点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，再结合圆的性质求解即可.
【详解】
由复数满足，
则复数所对应的点到点的距离为1，
即点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
则的最大值是，
故答案为：.
107．已知，则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为__________________．
【答案】
【分析】
设复数在复平面内所对应点，根据条件建立方程化简,根据椭圆上的定义即可求出.
【详解】
∵复数在复平面内所对应点，
又，
∴，
即点到点，和的距离之和为6，且两定点的距离为，
故点的运动轨迹是以点为焦点的椭圆，且，
故，
∴复数在复平面内所对应点的轨迹方程为：，
故答案为：．
108．已知复数满足，则的最小值为_________ .
【答案】
【分析】
首先求出复数的轨迹，再根据复数的几何意义计算可得；
【详解】
解：设，因为，所以，所以或，因为，所以的轨迹为，根据复数的几何意义可知表示复平面内点到与的距离和；
显然当，即时，
故答案为：

109．若复数在复平面内所对应的点的坐标为，则______．
【答案】
【分析】
由已知得出，利用复数的乘法、共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故答案为：.
110．复数（是虚数单位）是方程的一个根，则实数___________.
【答案】
【分析】
利用复数的除法化简复数，代入方程化简可求得实数的值.
【详解】
，由题意可得，解得.
故答案为：.
111．已知复数满足，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】
设，由可得圆的方程，再由的几何意义即原点到圆上的最短距离，即可得解.
【详解】
设，，
由可得，
故对应点的轨迹为圆心,半径为的圆C，
表示原点到圆C上的最短距离，
而原点在圆内，由原点到圆心的距离，
所以原点到圆C上的最短距离为，
故答案为：.
112．已知为纯虚数，若在复平面内对应的点在直线上，则________．
【答案】
【分析】
根据为纯虚数设，由此计算出并将其对应的点的坐标代入，由此求解出的值，则可知.
【详解】
设，则．
因为对应的点为，所以，
解得，故．
故答案为：.
113．设、，且（为虚数单位），则_________．
【答案】
【分析】
利用复数相等可求得实数、的值，再利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】
由已知可得，得，解得，
故.
故答案为：.
114．已知复数z的虚部为1，且，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为___________.
【答案】
【分析】
由题意设对应点为且，结合已知可得，即知z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离.
【详解】
由题意，设对应点为，则，
∴，则.
∴z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为.
故答案为：.
115．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________.
【答案】
【分析】
根据复数的乘法运算求解即可.
【详解】
由题意知，，
则，
故答案为：
116．已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数______．
【答案】
【分析】
应用复数的除法化简，再根据其为纯虚数可得，即可求参数.
【详解】
由题设，为纯虚数，
∴，可得.
故答案为：.
117．在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）
【答案】（2）（3）
【分析】
结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案.
【详解】
，所以（1）错误.
，，所以（4）错误.
设，

.
，所以（2）正确.
，所以（3）正确.
故答案为：（2）（3）
118．若向量与向量共线，则___________.
【答案】
【分析】
先由向量共线求出，然后计算.
【详解】
因为，
所以，解得
所以
故答案为：.
119．已知向量，若，，则___________.
【答案】
【分析】
根据题干条件得到方程组，求得，得到结果.
【详解】
由得：①，由得②，由①②联立，解得:，则.
故答案为：
120．已知平面向量，满足，则___________.
【答案】1
【分析】
利用向量垂直关系等价于数量积为0及向量模的平方等于向量的平方即可求解.
【详解】
解：由，得，即.
因为，所以，
所以，故.
故答案为：1.
121．已知平面向量满足： ，则的最小值为____________.
【答案】
【分析】
对向量进行坐标处理，解析法求解最值.
【详解】
设，
，所以或，
当时，，
，
即圆上的点到的距离最小值的倍，
即，
当时，，
，
即圆上的点到的距离最小值的倍，
即
故答案为：
122．已知向量与的夹角为，，，向量的夹角为，，则的最大值是___________.
【答案】25
【分析】
根据题意作出图形，根据正弦定理可求出.记线段的中点为M，的中点，在中，可求出，从而可求出，然后在中，根据余弦定理求出，从而可求出.
【详解】
如图，作圆P，使得，
且点O在优弧上，点C满足，
则，符合题意.
记线段的中点为M，
在中，由正弦定理，得，
取的中点，连接，在中，，，
所以，
所以，
在中，由余弦定理，得，
且，
因为，，所以，
所以
，当且仅当点P在线段上时，等号成立

所以的最大值是.
故答案为：.
123．已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为________．
【答案】
【分析】
根据向量数量积公式的变形公式代入计算在方向上的投影向量的模长.
【详解】
在方向上的投影向量的模为．
故答案为：
124．已知平面向量，，若向量，则________．（其中用坐标形式表示）
【答案】
【分析】
利用平面向量数量积与平面向量的坐标运算可求得结果.
【详解】
由已知可得，故.
故答案为：.
125．在平面直角坐标系中，已知点､，E､F为圆上两个动点，且，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】
依题意、为直径的两个端点，设，则，即可表示出，，再根据平面向量数量积的坐标运算及辅助角公式计算可得；
【详解】
解：因为、为圆上两个动点，且，所以、为直径的两个端点，设，则，因为､，所以，，所以
，其中；
所以当时
故答案为：
126．已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是___________.
【答案】##
【分析】
将圆转化成参数方程，等价于，结合数量积公式和辅助角公式即可求解.
【详解】
因为点是圆上的动点，可设为，又因为、、，则，
，
，
因为，所以，
所以.
故答案为：
127．已知向量满足，则的夹角为___________.
【答案】
【分析】
根据，两边平方求得，从而可求得夹角的余弦值，即可得解.
【详解】
解：由，得，
又，
所以，
所以，
即，所以，
又因，
所以.
即的夹角为.
故答案为：.
128．已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.
【答案】
【分析】
设，，，根据已知条件可得，，整理可得，求得的范围即可求解.
【详解】
设，，，，，，
则，，
整理得：，所以，
则，解得：，
所以，
故答案为：.
129．已知等边的边长为1，是线段上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】
由向量的线性上，数量积的定义判断出只要求得最大值即可得．
【详解】
，
，
是在方向上的投影．∴当在点时，最大，
取得最小值，最小值为．
故答案为：．
130．在中，，点P在的平分线上，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】
设，由题意可得，从而表示出，,由数量积的定义可得答案.
【详解】
设方向上的单位向量，设方向上的单位向量
如图，设，则点在在的平分线上，
所以
由余弦定理得
所以
则

故



故答案为：


131．如图，矩形中，，，以为直径的半圆上有一点，若，则的最大值为___________.


【答案】
【分析】
以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M的方程，设，由，得出，再设（为参数），代入中，根据三角函数的值域，可求得最大值.
【详解】
以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，

因为在矩形中，，，所以圆M的半径为，
所以，，，， ，圆M的方程为，
设，又，
所以，解得，
又点P是圆M上的点，所以（为参数），
所以，其中，
所以，当时，取得最大值，
故答案为：.
132．非零向量满足，则的取值范围是________________．
【答案】
【分析】
利用数量积与模求出，再由，利用绝对值三角不等式即可求解.
【详解】
解析：因为，
所以，所以，
所以，
．
所以．
故答案为：
133．如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的最小值为_________．

【答案】
【分析】
设，根据条件找出，，且与的夹角为，与的夹角为，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.
【详解】
延长交于点，因为，所以，，
在中，，，所以，
在中，，，所以，
所以，不妨设，则，且与的夹角为，与的夹角为，
则


，
所以时，取最小值.

故答案为：.
134．如图，在等腰梯形中，，，，则______．

【答案】-2
【分析】
建立平面直角坐标系，利用坐标法求得.
【详解】
取的中点，连接，．∵，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，．以为坐标原点建立平面直角坐标系如图．设，，
∵，.
∴点，，∴，∴．
故答案为：

135．如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记，则______．

【答案】
【分析】
以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可得，，，求出直线的方程，可设，，可得，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．
【详解】
解：以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
可得，，，，
直线的方程为，
可设，，可得，所以，，
即有，
则．
故答案为：．

136．如图是某自行车的平面结构示意图，已知圆(前轮)、圆(后轮)的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形；设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为______.

【答案】
【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．
【详解】
解：据题意：圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．点为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：
则，，，，．
圆的方程为，
可设，，，
所以，，．
故
，当且仅当时，取得最大值36．
故答案为：36．

137．在四边形中，，单位向量与平行，是的中点，，若在､､､中选两个作为基本向量，来表示向量，则___________.
【答案】
【分析】
根据向量的线性运算即可得解.
【详解】
；
故答案为：