专题04 函数性质的综合应用-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

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专题04 函数性质的综合应用
一、单选题
1．下列函数的图象关于y轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，其定义域为，不是偶函数，不符合题意；
对于B，，其定义域为，有，是偶函数，符合题意；
对于C，，其定义域为R，有，是奇函数，不符合题意；
对于D，，其定义域为R，有，是奇函数，不符合题意；
故选：B.
2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.
【详解】
对于选项A，为非奇非偶函数，不符合题意；
对于选项B，在上不单调，不符合题意；
对于选项C，为偶函数，且在上单调递增，符合题意；
对于选项D，为非奇非偶函数，不符合题意.
故选：C.
3．设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有（ ）
①； ②；③； ④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
由是奇函数得到的图象关于点对称，可判定②正确；由是偶函数，得到的图象关于对称，可判定③正确；在中，分别将用替换，将用替换，再将用替换，可判定①正确.
【详解】
由题意，函数是奇函数，可得的图象关于点对称，
所以，所以②正确；
令，则，
又由是偶函数，所以的图象关于对称，
所以的图象关于对称，则有，令，
则，所以③正确.
在中，将用替换，则，
在中，将用替换，则，
所以，再将用替换，则，
所以，所以①正确；
对于④中，由，无法推出其一定相等.
故选：B.
4．若函数的定义域为，且，，，，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件可知为定义在上的增函数，依次判断各个选项中的函数的定义域和单调性即可得到结果.
【详解】
由题意可知：为定义在上的增函数，
对于A，的定义域为，A错误；
对于B，在上单调递减，B错误；
对于C，与均为上的增函数，则为上的减函数，C错误；
对于D，为上的增函数，为上的减函数，则为上的增函数，D正确.
故选：D.
5．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．没有零点
C．在上是单调递减函数 D．在上是单调递增函数
【答案】D
【分析】
利用奇函数的定义可判断A；令，求出可判断B；利用复合函数的单调性可判断C D.
【详解】
因为，，所以是奇函数，故A错误；
令，得，即，所以有零点，故B错误；
因为与都为上的增函数，所以在上是单调递增函数，故C错误，D正确.
故选：D.
6．已知定义在上的偶函数满足，且当，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数的奇偶性、单调性和周期性来求解即可.
【详解】
由，知是周期函数，且周期为6，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
易知在内单调递增，
所以.
故选：A．
7．已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】
由奇函数定义域的对称性得，然后可得函数解析式，计算函数值．
【详解】
因为幂函数在上是奇函数，所以，所以，所以，
故选：A．
8．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件求出函数在上的单调性，然后根据函数是偶函数，利用单调性即可判定出、、的大小．
【详解】
当时，恒成立，
当时，，
即，
函数在上为单调增函数，
，
函数关于对称，
，
又函数在上为单调增函数，
（2）（3），
即（2）（3），
，，的大小关系为．
故选：．
9．已知函数，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由对数型复合函数的单调性判断即可得出结果.
【详解】
作出函数，的图象如图所示：
则的单调递增区间为：，单调递减区间为：.
，，
.
,
.


故选：A

10．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
要使函数有意义，必须满足，解出的范围即可.
【详解】
要使函数有意义必须满足，
解得且，
则函数的定义域为.
故选：.
11．已知函数，则图像为如图的函数可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据图像判断出函数的对称性，利用排除法进行判断即可.
【详解】
由函数的图象可知该函数是关于原点对称，因此是奇函数，
选项C：设，
，
因此该函数不是奇函数，不符合题意；
选项D：设，
，
因此该函数不是奇函数，不符合题意；
选项B：，显然，由图像可知当时，函数有意义，不符合题意；
选项A：设，
因为，
所以该函数是奇函数，因此函数的图像可能是本选项函数，
故选：A
12．设是R上的偶函数，且在上单调递减，若且，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不确定
【答案】A
【分析】
由已知结合函数的单调性得到，再结合函数的奇偶性可求解.
【详解】
由，，得，又∵在上递减，
∴，是偶函数，，
∴.
故选：A.
13．已知定义域为的函数满足，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C．函数是奇函数 D．
【答案】B
【分析】
推导出可判断A选项的正误；推导出可判断B选项的正误；分析得出可判断C选项的正误；推导出可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为，且，
则，即，A错；
对于B选项，因为，则，
因为，则，
即，即，
故函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，因为，故函数是偶函数，C错；
对于D选项，因为，则，即，D错.
故选：B.
14．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据可知在上单调递增，再将不等式转化为，最后利用在上单调递增列不等式求解..
【详解】
由得，.
令，则在上单调递增，
因为的定义域为，所以
不等式满足，，
不等式两边同时乘以得，，
即，
又因为在上单调递增，所以
，解得，
故选：B.
15．设是定义域为的偶函数，若，都有，则大小关系正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知在上单调递增，结合题意知，进而比较的大小即可求出结果.
【详解】
因为若，都有，所以在上单调递增；因为是定义域为的偶函数，所以，
因为，所以，而在上单调递增，所以，
故，即
故选：D.
16．已知函数是奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
令，可得函数为偶函数，当时，由，得，解不等式组即可得时所求，再根据函数是偶函数即可得出答案.
【详解】
解：令，
因为函数，是奇函数，
所以是偶函数，
当时，，
则，解得，
因为是偶函数，
则当时，，的解为，
综上所述，不等式的解集为.
故选：B.
17．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分，两种情况，分别根据函数的单调性求解不等式可得答案.
【详解】
解：当时，.∵为偶函数，在区间上单调递增，
∴，即，∴.
当时，.
∵为偶函数，在区间上单调递增，
∴，即或，∴.
故选：D.
18．定义在上的偶函数存在导数，且当时，有恒成立，若，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．
C． D．，，
【答案】D
【分析】
首先构造函数，并判断函数的单调性，结合条件，构造为，解抽象不等式.
【详解】
解：是上的偶函数，
令，则，
为偶函数，
当时，，
在上单调递增，①
，
，
，
即，
由①得，展开得，
解得，或，
故选：D．
19．已知函数的定义域为，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据和对称轴和单调性可得的图象关于直线对称，且在上递增，在上递减，根据定义域以及离对称轴近列不等式组即可求解.
【详解】
，
函数和的图象在上都关于直线对称，
且它们都在上递增，在上递减，
所以函数的图象在上关于直线对称，且在上递增，在上递减，
由，得，即，
所以，解得，
实数的取值范围是，
故选C.
20．已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，由题意有三个不同的实数根，，，利用导数得出其单调区间，得出其函数图像，数形结合得出的范围，由可得出答案.
【详解】
方程，显然不为该方程的实数根.
设
所以方程有三个不同的实数根，，，即有三个不同的实数根，，
当时，，则
由，可得，，可得，
所以在 上单调递增，在上单调递减，且当时，
当时，
从而作出的大致图像.

由图可知当时，直线与函数的图像有3个交点，
即方程有三个不同的实数根.
由，得，由，得
所以
所以．
故选：．
21．已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数分析函数的单调性，奇偶性，再结合函数简图，即得解
【详解】
构造函数
当时,，则函数在上单调递减，
由于为奇函数，故
所以为偶函数，故函数在上单调递增
且画出函数草图如图所示，

当时，若，；
当时，若，；
故使得成立的的取值范围是.
故选：B
22．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，若函数的所有零点为，当时，（ ）
A．20 B．24 C．28 D．36
【答案】C
【分析】
根据题意可得函数是周期为4，关于点中心对称的函数，再将函数的所有零点转化为与的交点的横坐标，又函数经过定点，且关于中心对称，在坐标系中作出草图，根据数形结合即可求出结果.
【详解】
∵定义在上的奇函数满足，故图象关于对称，
∴，故，
∴，即周期为，
又定义在上的奇函数，所以是函数一个对称中心，
又因为当时，，作出函数的草图，如下：

函数的所有零点即为与的交点的横坐标，
易知函数经过定点，且关于中心对称，
又，分别作出函数和的图象，则函数的图象在函数和的图象之间，如下图所示：

则与交点关于中心对称，
由图像可知关于对称的点共有3对，同时还经过点，
所以.
故选：C.
23．已知定义在上的奇函数，满足，且当时，，若方程在区间上有四个不同的根、、、，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
分析可知函数的图象关于直线对称，函数是周期为的周期函数，作出函数和在上的图象，利用对称性可求得的值.
【详解】
因为函数为上的奇函数，
所以，
故函数的图象关于直线对称，
因为，
故函数是周期为的周期函数，
当时，，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上也为增函数，、
作出函数和在上的图象如下图所示：


设，由图可知，点与点关于直线对称，
点与点关于直线对称，
因此，.
故选：A.
24．设函数，则使成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
判断函数为偶函数，求导得到当时函数单调递增，题目转化为，解得答案.
【详解】
，故函数为偶函数，
当时，，，函数单调递减.
，即，解得.
故选：B.
25．已知定义域为的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】
根据已知条件求出的对称轴，作出函数与在区间上的图象，由图象与图象对称轴相同，数形结合即可求解.
【详解】
因为满足，所以，
所以的图象关于直线对称，
令，则的图象关于直线对称，
作出函数与在上的图象，
由图知：与的图象在区间上共有个交点，
且两两关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，
故选：A．

26．已知函数在上单调递减，且为奇函数，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
函数图象的对称性，借助奇函数的概念得出图象的对称中心，再用翻折得出图象的对称轴，得出的单调性，从而利用单调性解函数不等式．
【详解】
由为奇函数可知，函数的图象关于点对称，
所以函数的图象关于直线对称.因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又，所以，则.由可知，，解得，
故选：A.
27．已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，（且）.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知条件可得的对称中心，对称轴，可得为的一个周期，由、以及列关于的方程组，进而可得时，的解析式，再利用周期性即可求解.
【详解】
因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称.
根据条件可知，则，
即为的一个周期，则，
又因为，，
所以，解得或 （舍），
所以当时，，
所以，
故选：B.
28．设函数是定义域为的偶函数，，则（ ）
A．4 B．2 C． D．0
【答案】C
【分析】
先证明函数的周期是8，再求出即得解.
【详解】
解：由题得，，
所以，
所以，
所以函数的周期是8.
所以.
因为，所以,
所以.
故选：C
29．已知函数是定义域为的奇函数，且是偶函数.当时，，则（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】B
【分析】
由对称性和奇偶性求得周期，则，再结合即可求解.
【详解】
由是偶函数可知对称轴为，故，又函数为奇函数，故，即，，，令得，所以，函数最小正周期为，所以.
故选：B
30．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意构造，结合已知条件，讨论其单调性，再将不等式转化为的不等式，即可利用单调性求解.
【详解】
根据题意，构造，则，
且，故在上单调递减；
又为上的奇函数，故可得，
即，则.
则不等式等价于，
又因为是上的单调减函数，故解得.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数的单调性以及利用函数单调性求解不等式；本题中，根据以及题意，构造是解决问题的关键，属中等偏上题.
31．已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，为偶函数，为奇函数，，当时，，则当时，的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
推导函数的对称轴和对称中心得到周期，画出图像得解集
【详解】
因为为偶函数，所以的图像关于直线对称，即，即，
因为函数为奇函数，则，所以，即的图像关于点对称，所以，
所以，所以，即，所以是以4为周期的周期函数．于是可知，
又当时，，根据为定义在上且图像不间断的函数，可作出的草图如下图所示：

所以当时，的解集为．
故选:D．
32．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意表示出与，令，，，结合题目所给条件列式求解，再由两式化简可推导出的周期为，从而代入计算.
【详解】
因为为奇函数，所以①；又为偶函数，
所以②；令，由②得：，又，
所以，得，
令，由①得：；
令，由②得：，所以.得时，，
结合①②得，，
所以函数的周期为，所以.
故选：C
【点睛】
本题的关键是，根据题目给出的奇函数与偶函数条件进行转化，求解出函数的周期，利用函数周期性将所给值转化到已知范围中求解.
33．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】
由题意表示出与，令，，，结合题目所给条件列式求解，再由两式化简可推导出的周期为，从而代入计算.
【详解】
因为为奇函数，所以①；又为偶函数，
所以②；令，由②得：，又，
所以，得，
令，由①得：；
令，由②得：，所以.得时，，
结合①②得，，
所以函数的周期为，所以.
故选：C
【点睛】
本题的关键是，根据题目给出的奇函数与偶函数条件进行转化，求解出函数的周期，利用函数周期性将所给值转化到已知范围中求解.
34．已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．6
【答案】D
【分析】
先将函数变形为，再根据奇函数的性质求出即可得解.
【详解】
定义域为的函数有最大值和最小值，所以．则，令，则是奇函数，故，故，又，故．
所以.
故选：D
35．函数的图象与直线关于x轴对称的点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
根据对称性转化为求函数的零点个数→导函数导函数的零点区间函数的单调性函数零点个数→结果
【详解】
直线关于x轴对称的直线为，
即求函数的图象与直线的交点个数，
即求方程，
即方程的根的个数，
即求函数的零点个数．
设，则，
易得函数在上单调递增，
又，，
所以存在唯一的使得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，
所以在内存在唯一根，
则．
由，得．又，
故是在上的唯一零点．综上，函数有且仅有两个零点，
故选：C．
【点睛】
在求解导数问题时，会遇到导函数具有零点，但是求解困难甚至无法求解的情形，此时可以利用零点存在定理将这个零点只设出来而不必求解具体数值，然后利用这个零点作为过渡的桥梁，对问题进行转化．
36．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
结合导函数研究函数的单调性，通过单调性排除不满足的图像，选出答案.
【详解】
因为，所以， 因为，所以，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，由此可排除选项，
故选：A.
37．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
推导出函数为偶函数，结合已知条件可得出，，，利用导数可知函数在上为减函数，由此可得出、、的大小关系.
【详解】
因为函数的图象关于轴对称，则，
故，
，
又因为，都有，所以，，
所以，，
，，
因为当时，，，
当且仅当时，等号成立，且不恒为零，故函数在上为减函数，
因为，则，故.
故选：A.
38．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先利用奇偶性排除部分选项，再由函数值的符号判断排除可得选项.
【详解】
解：因为函数的定义域为R，且，
所以函数是奇函数，故排除C、D，
又，故排除B选项.
故选：A.
39．已知函数.若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用函数的单调性与奇偶性结合指数函数与对数函数的单调性即可求解.
【详解】
解：，

所以为偶函数，且时，单调递增，单调递增，
所以时，单调递增.
所以，
由于，，
则
故选：C.
40．已知函数，，则如图所示的函数为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由图象判断函数的奇偶性，根据解析式判断、的奇偶性，再由各选项的函数表达式，应用奇偶性定义判断奇偶性即可.
【详解】
由图象的对称性知：函数关于原点对称，即为奇函数，
根据解析式易知：为偶函数，为奇函数，
∴，
A：，不合要求；
B：，不合要求；
C：，不合要求；
D：为奇函数，符合要求.
故选：D.
41．已知函数，则函数在区间上的最小值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，即可得到的解析式，作出函数图象，结合函数图象求出的最小值的函数关系式，从而得到的取值范围，即可得到的最小值的取值范围；
【详解】
解：因为，
令，所以，
所以的图象如下所示：

因为，
所以时，，
当时，所以，当时，所以，因为，即，又在定义域上单调递增，所以，即
故选：D
42．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数是奇函数，且满足，推出函数的周期性，然后判断方程在一个周期内实根的个数并求和，进而求出方程在区间，上所有实根之和．
【详解】
解：由知函数的图象关于直线对称，
由是上的奇函数知，
在中，以代得：
即，
所以
即，
所以是以4为周期的周期函数．
考虑的一个周期，例如，，
由在，上是减函数知在，上是增函数，
在，上是减函数，在，上是增函数．
对于奇函数有，（2），
故当时，，当时，（2），
当时，，当时，（2），
方程在，上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，
则由于，故方程在上有唯一实数．
在和上，
则方程在和上没有实数根．
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根．
当，，方程的两实数根之和为，
当，，方程的所有四个实数根之和为．
故选：C
43．已知定义在上的函数满足，为偶函数，若在内单调递增.记，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由为偶函数，可知函数关于对称，由可知函数的周期性，且在内单调递增，故，最后利用函数的单调性判断，，的大小即可.
【详解】
∵，
∴函数的周期,即，
∵为偶函数，
∴，即函数关于对称，
又∵在内单调递增，∴在内单调递减，即，
又∵在内单调递增，且，
∴.
故选: .
44．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由解析式确定定义域，奇偶性定义判断奇偶性并结合，确定函数的大致图象即可.
【详解】
由解析式知：定义域为，
，故为偶函数，排除D；
又，，排除A、C；
故选：B.
45．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由偶函数将转化到上，由指对数的性质判断自变量的大小关系，再由单调性判断函数值的大小关系.
【详解】
∵是定义在R上的偶函数，
∴且，，且，
∵在上单调递减，
∴在上单调递增，则.
故选：D

二、多选题
46．已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．是周期为的周期函数
C．的图象关于直线轴对称 D．为偶函数
【答案】AD
【分析】
由，可知的图象关于点中心对称；结合函数为偶函数可得是周期为以及关于直线轴对称，结合周期，对称中心和对称轴可判断出为偶函数
【详解】
因为，
所以的图象关于点中心对称，
又因为函数为偶函数，
所以是周期为的周期函数，且它的图象关于点中心对称和关于直线轴对称，所以为偶函数.
故选：AD.
47．对于函数，下列结论中错误的是（ ）
A．为奇函数 B．在定义域上是单调递减函数
C．的图象关于点对称 D．在区间上存在零点
【答案】ABD
【分析】
画出函数图象即可判断.
【详解】
，由图象可知，图象关于点对称，
因此不是奇函数，在定义域内函数为增函数，在上没有零点.
故选：ABD.

48．已知函数，则（ ）
A．函数与的图象关于直线对称
B．函数与都为增函数，且都为偶函数
C．函数与都为增函数，且都为奇函数
D．为奇函数，既不是奇函数也不是偶函数
【答案】AC
【分析】
利用奇偶性的定义判断、的奇偶性，根据反函数的性质判断、是否关于对称，由函数解析式直接判断、的单调性.
【详解】
，且，故为奇函数，排除B、D；
，且，故为奇函数，
∵、单调递增，故单调递增；、单调递增，故单调递增，
∴C正确，
若，即，则，
∴，且与的定义域、值域均为R，即它们互为反函数，关于对称，即A正确.
故选：AC
49．已知函数(即，)则（ ）
A．当时，是偶函数 B．在区间上是增函数
C．设最小值为，则 D．方程可能有2个解
【答案】ABD
【分析】
结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.
【详解】
：当时，，即，
所以，所以是偶函数，故正确；
：当时，，的对称轴为，开口向上，
此时在上是增函数，
当时，，的对称轴为，开口向上，
此时在上是增函数，
综上，在上是增函数，故正确；
：当时，，
当时，，
因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；
：令，
当时，，有2个解，故正确.
故选：ABD
50．达芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，双曲余弦函数则以下正确的是（ ）

A．是奇函数 B．在上单调递减
C．， D．，
【答案】BCD
【分析】
根据题意写出函数的解析式，由函数奇偶性的定义，即可判断选项A是否正确；根据导数在函数单调性中的应用以及复合函数的单调性，即可判断选项B是否正确；由基本不等式，即可判断选项C是否正确；再根据选项C，结合特称命题的特点，即可判断选项D是否正确.
【详解】
由题意可知，，定义域为
所以，所以是偶函数；故选项A错误；
函数的导数为，
所以当时，，当时，，
所以函数，单调递减区间为 ，单调递增区间为，
又，所以函数在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，在上单调递减，故选项B正确；
由基本不等式可知，，当且仅当时取等号；故选项C正确；
由C可知，，，所以，使得成立，故选项D正确；
故选：BCD.
51．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则实数a的值可为（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】BC
【分析】
根据条件分、两种情况求解即可.
【详解】
因为函数是定义在上的偶函数，当时，，
所以当时，，解得
当时，，解得
所以
故选：BC
52．已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．的值域为 B．在区间上单调递增
C． D．若，则的最小值为-3
【答案】BCD
【分析】
将函数转化为，再逐项判断.
【详解】
函数，
A. 的值域为，故错误；
B. 在区间上单调递增，故正确；
C. ，故正确；
D. 因为，则的最小值为，故正确；
故选：BCD
53．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则 B．若函数是偶函数，则
C．若，函数存在最小值 D．若函数存在极值，则实数a的取值范围是
【答案】ACD
【分析】
根据函数的奇偶性可判定A正确，B不正确；当时，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，可判定C正确，求出函数的导数，根据，以及对数函数的性质，得到关于的不等式，求得的范围，可判定D正确.
【详解】
对于A、B中，函数的定义域为，且，
则，则，
则，故恒成立，故，故A正确，B错误；
对于C中，当时，，可得，
令，即，解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以C正确；
对于D中：，
因为存在极值，则有零点，令，即，
所以，则，即，解得，所以D正确.
故选：ACD
【点睛】
解答有关函数的极值问题的方法与策略：
1、求得函数的导数，不要忘记定义域，求得方程的根；
2、判定的根的左右两侧的符号，确定函数的极值点或函数的极值；
3、注意的根不是函数极值点的充要条件，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
54．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则
B．曲线与直线相切
C．若为增函数，则的取值范围为
D．在上最多有个零点
【答案】ACD
【分析】
由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.
【详解】
因为对于任意，都有，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确.
又，令，得(*)，
因为，，所以方程(*)无实数解，
即曲线的所有切线的斜率都不可能为，故B错误.
若为增函数，则大于等于0，
即，，
当且仅当时等号成立，所以，故C正确.
令，得或().设，
则，令，
则.当时，，
当时，，当时，，
所以函数为增函数，且，所以当时，，
从而，单调递增.又因为对于任意，都有，
所以为偶函数，其图象关于轴对称.
综上，在上单调递减，在上单调递增，
则直线与最多有2个交点，所以在上最多有3个零点，故D正确.
故选ACD.
55．函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．在定义域内单调递增
C．不等式的解集为
D．函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【分析】
分别考虑函数的定义域、单调性及对称性就可以对每一个选项作出判断.
【详解】
要使函数有意义，则，故A正确；
，令，易知其在上单调递减，所以在上单调递减，故B不正确；
由于在上单调递减，所以对于，有，故C不正确；
令，解得，所以关于直线对称，故D正确.
故选：AD
56．已知函数是奇函数，是偶函数，并且当，，则下列选项正确的是（ ）
A．在上为减函数 B．在上
C．在上为增函数 D．关于对称
【答案】BD
【分析】
由已知可得的图象关于中心对称，且关于轴对称，周期为，则可依次判断每个选项正误.
【详解】
因为是奇函数，是偶函数，
所以函数的图象关于中心对称，且关于轴对称，则的周期为，
当时，，则函数在上递减，
根据对称性可得在单调递增，
再结合周期性可得在上为增函数，故A错误；
在小于0，根据对称性可得在小于0，故B正确；
的图象关于轴对称，所以，，
所以不可能在上为增函数，故C错误；
的图象关于轴对称，又是奇函数，所以的图象关于轴对称，
因为的周期为，所以关于对称，故D正确.
故选：BD.
57．法国数学家柯西(A.Cauchy，研究了函数的相关性质，并证明了在处的各阶导数均为对于函数，有如下判断，其中正确的有（ ）
A．是偶函数
B．在是上单调递减
C．
D．若恒成立，则的最小值为1
【答案】ABD
【分析】
根据奇偶性定义可判断A，利用导数与单调性关系即可判断B，结合单调性与奇偶性可判断C，根据函数值域可判断D．
【详解】
对于A，函数的定义域为，当时，由，故是偶函数，A正确；
对于B，当时，，由，所以在是上单调递减，B正确；
对于C，由于，在是上单调递减，所以，C错；
对于D，因为，所以，故
又因为恒成立，所以，则，故D正确．
故选：ABD
58．已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．函数不是偶函数
B．函数的最小正周期为4
C．函数在上有3个零点
D．
【答案】AC
【分析】
根据是奇函数，为偶函数，可得的对称中心和对称轴，再结合时，解析式，作出的图象，可判断A、C的正误；根据对称轴和对称中心，即可得的最小正周期，可判断B的正误；根据的周期性及题干条件，代数化简，即可比较的大小，即可得答案.
【详解】
对于A：因为是奇函数，图象关于（0,0）对称，
所以图象关于（-1,0）对称，
因为为偶函数，图象关于x=0对称，
所以图象关于x=1对称，
又因为时，，作出图象，如下图所示

所以函数图象不关于y轴对称，即不是偶函数，故A正确；
对于B：因为是奇函数，
所以，即，
因为为偶函数，
所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以函数的最小正周期为8，故B错误；
对于C：由图象可得：在上图象与x轴有3个交点，所以函数在上有3个零点，故C正确；
对于D：由题意得：，，
所以，故D错误.
故选：AC
【点睛】
解题的关键是熟练掌握函数的周期性、对称性，并灵活应用，难点在于，根据对称性，得到周期性，再结合题意求解，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
59．定义在上的函数满足，且在上是增函数，给出下列真命题的有（ ）
A．是周期函数；
B．的图象关于直线对称；
C．在上是减函数；
D．.
【答案】ACD
【分析】
用赋值法求得，然后令得函数为奇函数，利用奇函数及可得函数的周期，结合周期性，可得函数的对称性（对称轴与对称中心），可得单调性，从而判断各选项．
【详解】
令得，所以，
令，则，即，所以是奇函数，
，所以是周期函数，4是它的一个周期，A正确；
，函数图象关于点对称，B错；
，函数图象关于直线对称，
又在上递增，因此在上递增，所以在上是减函数，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
60．已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的周期函数
C．直线与函数的图像有1个交点
D．函数的值域为
【答案】ACD
【分析】
根据已知条件中函数是偶函数且时，有以及时，，画出函数图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
【详解】
根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线和函数的图象如图所示，

根据图象可知选项A中，正确；
对于选项B，函数在定义域上不是周期函数，所以B不正确；
对于选项C，根据函数图象可知与的图象有个交点，所以C正确；
对于选项D，根据图象，函数的值域是，所以D正确.
故选：ACD.
61．已知函数的定义域为，，，当时，，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．当时，
D．函数有个零点
【答案】ACD
【分析】
根据抽象函数关系式可推导得到，由周期性知A正确；
根据得到为的对称点，知B错误；
利用可推导得到在时的解析式；结合可知C正确；
将问题转化为，图象交点个数问题，利用数形结合的方式可知D正确.
【详解】
对于A，，，
，即，
，即是以为周期的周期函数，
，A正确；
对于B，，图象关于点对称，B错误；
对于C，当时，，.
的图象关于点对称，的定义域为，.
，满足，
当时，，C正确；
对于D，由得：，
的值域为，则由得：，
作出，的部分图象，如图所示，

由图可知，它们有个交点，故函数有个零点，D正确.
故选：ACD.
62．已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有（ ）
A．是周期为的周期函数
B．当时，
C．若在上单调递减，则
D．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【分析】
根据周期性定义可知A正确；由，可知B错误；
由分段函数单调性可确定两段函数单调性及分段处大小关系，由此得到不等式组知C正确；
分别在和两种情况下，采用数形结合的方式确定不等关系，解得的范围，知D正确.
【详解】
对于A，，是周期为的周期函数，A正确；
对于B，当时，，，
又是周期为的周期函数，当时，，B错误；
对于C，若在上单调递减，则，，C正确；
对于D，当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，

，解得：；
当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，

，解得：；
综上所述：的取值范围为，D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
63．定义在上的函数在上是增函数，且为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
根据为偶函数，得到其图象关于轴对称，再由的图象与的图象的关系，得到的图象关于直线对称求解.
【详解】
因为为偶函数，
所以其图象关于轴对称，
由于的图象可由的图象向左平移2个单位长度得到，
故的图象关于直线对称，
因为函数在上是增函数，
所以在上是减函数，
所以．
故选：AB
64．已知函数是偶函数，则（ ）
A． B．在上是单调函数
C．的最小值为1 D．方程有两个不相等的实数根
【答案】BD
【分析】
根据偶函数定义求得，由复合函数的单调性得出的单调性，从而可判断各选项．
【详解】
是偶函数，则， ，，恒成立，所以，A错；
，
由勾形函数性质知在时是增函数，又在时有且为增函数，
所以在上是增函数，B正确，
为偶函数，因此在上递减，所以，C错；
易知时，，即的值域是，
所以有两个不相等的实根．D正确．
故选：BD．
65．关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当或时，；当时，
B．函数在定义域上单调递增
C．若方程恰有两个不同的实数解，则
D．若恒成立，则
【答案】BCD
【分析】
解不等式得A正确；
在，上单调递增.故的单调递增区间为.所以B不正确；
转化为，设切点为，得，可知不是方程的解，C不正确；
当，且时，不成立，D不正确.
【详解】
.
对于A，解不等式得或，解不等式得，所以A正确；
对于B，设，则，当时，在，上单调递增，，则，即在上单调递增.当时，在上单调递减，，则，即在，上单调递增.故的单调递增区间为.所以B不正确；
对于C，可将问题转化为方程有两个不同的解的问题，即，根据数形结合，可知切点在第一象限，设切点为，解方程组消去，可得，可知不是方程的解.
对于，当，且时，不成立，D不正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是选项C的判断，实际上是零点问题，关键是利用切点求解.
66．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．的周期 B．的最大值为4
C． D．为偶函数
【答案】ABD
【分析】
由函数的图象关于直线对称，得，又，所以，，从而可得，进而根据周期性、对称性、时的解析式即可求解.
【详解】
解：函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，

对有，
函数的图象关于中心对称，
，即，
又，即，
，
，即，，
的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；
当时，，，
当时，，，即，
当时，，
又函数的图象关于直线对称，
在一个周期上，，
在上的最大值为4，选项B正确；
，选项C错误.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是，根据的图象关于直线对称，及对有，推导出，进而得.

三、填空题
67．若为奇函数，则______.
【答案】﹣4
【分析】
利用奇函数的定义，求出的值.
【详解】
易知的定义域为.因为是奇函数，所以对任意的且恒成立，所以对任意的且恒成立，所以对任意的且恒成立，所以.
故答案为：﹣4
68．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则m=______．
【答案】−2
【分析】
由奇函数定义求得时函数表达式，然后由周期性可得值．
【详解】
因为是奇函数，
时，，，
又，所以是周期函数，周期为，
所以，即，解得．
故答案为：．
69．已知是定义在上的奇函数，且周期为4，当时，，若，则______．
【答案】−2
【分析】
根据是定义在上的奇函数，且周期为4，由得到求解.
【详解】
因为是定义在上周期为4的函数，
所以，
又是定义在上的奇函数，
所以，即，
又因为当时，，
所以，
解得，
故答案为：−2
70．已知是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则_______．
【答案】
【分析】
求出、，由已知可得，即求得实数的值.
【详解】
由题意可得，，
因为函数的周期为，则，即，解得.
故答案为：.
71．已知偶函数是实数集上的周期为2的周期函数，当时，，则当时，_________．
【答案】
【分析】
根据是实数集上的偶函数，且以2为周期的周期函数，分，两种情况求解.
【详解】
因为偶函数是实数集上的周期为2的周期函数，
当时，，
所以，
当，，，
所以，
综上：，
故答案为：
72．已知是奇函数，且当时，．若，则______．
【答案】1
【分析】
根据题意，利用奇函数的性质可知时，代入中可求出的值.
【详解】
解：因为是奇函数，，
所以，
因为当时，，
所以，所以，解得：.
故答案为：1.
73．已知关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】
由参变量分离法得出，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由可得，设，其中，
当时，，则，此时函数单调递增，
当时，，则.
若，，此时函数单调递减，
若，，此时函数单调递增，所以，，
作出函数与的图象如下图所示：


由图可知，当时，即当时，
直线与函数的图象有三个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
74．已知，设函数，则______．
【答案】5
【分析】
先求出函数的定义域，再求出，再通过换元，利用二次函数的图象和性质求解.
【详解】
解：由题意得，∴，∴的定义域为[1，3]，
，
设，，
则，在[0，1]上为增函数，
∴当即时，，
当即时，，
∴．
故答案为：5．
【点睛】
易错点睛：本题容易忽略求函数的定义域导致出错.函数的问题，要注意定义域优先的原则.
75．已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【分析】
由题意转化成在上有零点，通过构造函数，利用导数求函数的最值，再结合函数有零点，列式求实数m的取值范围.
【详解】
函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，
等价于在上有零点，
令


则，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
则，又，
，
，
因，
又，
则，
所以①
②
解得．
故答案为:
76．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解.
【详解】
因为，
所以为奇函数，
因为，所以为上的增函数，
由得，则，
因为，所以．
令，则，令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，所以，即，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
77．已知定义在上的函数满足，当时，，则__________.
【答案】
【分析】
根据题意确定2是函数的一个周期，据此将的自变量化简到区间内，再利用指数和对数的运算性质计算，可得答案.
【详解】
∵是定义在上的函数，且满足，
则2是函数的周期，
故,
当时,，
而 ，
所以，
故答案为： .
78．已知函数是偶函数，且，若.则___________.
【答案】1
【分析】
先用赋值法求出.然后判断出为周期的周期函数，即可求解.
【详解】
因为， .
令x=0得：.
因为函数是偶函数，所以.
又，
所以
用代上式中的x，得到.
用代上式中的x，得到.
所以，
用代上式中的x，得到.
所以为周期函数，周期，
所以.
故答案为：1
79．已知函数的图象关于直线对称，且，若，则______．
【答案】1
【分析】
利用函数的图象关于x=1对称，得到和的关系，再利用已知条件，通过推理可得函数是周期函数，从而得到的值.
【详解】
的图象关于x=1对称

又

又

故答案为：1
80．设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
根据是奇函数判断函数的对称中心，等价于，
等价于，即可得到关于x的不等式，求出x的范围.
【详解】
因为是奇函数，
故 图像关于 对称，
由题设，
因为在上单调递减，
所以等价于，
因此不等式等价于，
即 ，
即 且 ，
解得取值范围为.
故答案为：