专题08 数列-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

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专题08 数列
一、单选题
1．已知递增等比数列的前项和为，，，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知为数列的前n项和，，，则（ ）
A．2000 B．2010 C．2020 D．2021
3．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的那个节气（小暑）晷长是（ ）

A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
4．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（ ）
A． B． C． D．
5．图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前项和为，若，则（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
6．设数列的前n项和为，已知，则数列的前n项之积的最大值为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
7．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，设数列为等差数列，它的前项和为，且，，则（ ）

A．189 B．252 C．324 D．405
8．设等比数列满足，，则使最大的为（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．6
9．已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，则等于（ ）
A．27 B．25 C．20 D．10
10．已知数列，满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．
12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ）
A．3976 B．3974
C．3978 D．3973
13．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
14．已知首项为的数列的前项和为，，则下列说法不正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列为单调递增数列
C． D．
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若数列的前n项和为，则（ ）
A．4950 B．4953 C．4956 D．4959
16．已知等差数列，其前项和为，有最小值，若，则使成立的的最大值为（ ）
A．17 B．16 C．15 D．14
17．已知数列的前项和为，若，则=（ ）
A． B． C． D．
18．已知数列满足，且前项和为，若，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．等比数列中，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前9项和（ ）
A． B．387 C． D．297
20．已知首项为13的等差数列的前n项和为，且，，成等差数列．若，且，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
21．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂一千五百二十岁，．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有位老人与位义工，老人与义工的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中义工年龄不满岁，老人的年龄依次相差岁，则义工的年龄为（ ）
A．岁 B．岁 C．岁 D．岁
22．已知为数列的前项和，且，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
24．“斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该数列满足：，，（，），若，则其前2022项和为（ ）
A．G B． C．-G D．
25．在平行四边形中，点满足，连接并延长交的延长线于点，，若数列是等差数列，其前项和为，则（ ）
A． B．2527 C． D．2528
二、多选题
26．在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（ ）
A．实数的取值范围是或
B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为
C．若数列为等比数列且，则
D．若数列为等比数列且，则的最小值为4
27．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（ ）

A． B． C． D．
28．设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”.则下列数列为“吉祥数列”的有（ ）
A． B． C． D．
29．已知为实数数列的前项和，对任意的都有，且4是与的等差中项，则的值可能为（ ）
A．-6 B．-4 C．4 D．5
30．已知是的前项和，，，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．是以为周期的周期数列
31．已知各项均为正数的数列的前n项之积为，且，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．无论取何值，均存在使得对任意成立
D．无论取何值，数列中均存在与的数值相同的另一项
32．已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
33．已知数列中，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
34．已知数列的前项和为，且，（，为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．一定是等比数列 B．当时，
C．当时， D．
35．已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等比数列
C． D．
36．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是 （　　）
A． B．数列是公差为2的等差数列
C．数列 的前项和的最大值为1 D．数列是等比数列
37．如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（　　）

A． B．数列是等比数列
C． D．
38．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为的等差数列
39．斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a米的铁丝，需要截成n(n>2)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是（ ）
A．100 B．143 C．200 D．256
40．已知无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，则下列结论正确的是（ ）
A．d的最大值是6 B．
C．一定是奇数 D．137一定是数列中的项
41．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ）

A．数列是等比数列
B．
C．恒成立
D．存在正数，使得恒成立
42．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
43．已知等比数列的公比为q，前4项的和为，且，，成等差数列，则q的值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
44．记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．下列说法正确的是（ ）
A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“和有界数列”
B．若数列是等差数列，且数列是“和有界数列”，则公差
C．若数列是等比数列，且公比满足，则数列是“和有界数列”
D．若数列是等比数列，且数列是“和有界数列”，则公比满足
45．设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则（ ）
A． B．，，为等差数列
C．数列是等比数列 D．是的最小值
46．已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
47．已知数列满足：，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．数列的前10项和为定值 D．数列的前20项和为定值
48．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（ ）

A．数列是公比为的等比数列 B．
C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前n项和
49．记数列的前项和为，数列为，….其构造方法是:首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数，于是，得;然后再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得;接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得前项为.如此继续下去，则使不等式成立的的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
50．若数列满足，则称为“梦想数列”.已知数列为“梦想数列”，且，则的通项公式为_______.
51．已知数列的前项和为，，，，数列的前项和为，若，则的最小值为______．
52．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，a2+a5=6，则a8=____.
53．设等比数列的前n项和为，若，且，则__________．
54．已知是数列的前n项和，，，恒成立，则k最小为______．
55．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的最少移动次银和翠玉制九连环数，且数列满足，，（，），则_______．

56．已知数列是等差数列，数列是等比数列，其前项和分别为，．若，，且，则________________．
57．已知数列的首项为3，前n项和为，若，则的最大值为______．
58．在等差数列中，，，若数列的前项和为，则___________.
59．已知数列满足，则___________.
60．已知数列满足，，则__________．
61．已知数列满足，，，则数列的前项和为__________．
62．已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式______．
63．已知数列、满足，，，则___________.
64．已知数列满足，，数列是单调递增数列，且，，则实数的取值范围为___________.
65．已知数列满足，，则___________.
66．已知∀n∈N*，函数fx=x-an+1lnx在x∈n,n+1有极值，设bn=an，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则S100=___________.
67．若数列满足an+1=(-1)nan+2n+1n∈N*，令S=a1+a3+a5+⋯+a19,T=a2+a4+a6+⋯+a20，则TS=__________.
四、解答题
68．在①S2=2S1+S24-2，②S99=S1515+6，③a102-a62a72-a32=35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
问题：已知是等差数列，其前n项和为，a12=1，______，是否存在正整数m，n，1≤m 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
69．已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，a12=2,a14=4,a33=12.
第一行a11,a12,a13,a14⋯a1n
第二行a21,a22,a23,a24⋯a2n
第三行a31,a32,a33,a34⋯a3n
……
第行an1,an2,an3,an4⋯ann
(1)求数列an2的通项公式；
(2)设bn=2n-1an2-1⋅an+12-1,n=1,2,3,⋯，求数列的前项和.
70．数列满足，Sn+1=4an+3．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
71．已知数列中，a1=1,a2=3,an+2=kank≠1,n∈N*，a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.
(1)求的值和的通项公式；
(2)设bn=log3a2n+1a2n,n∈N*，求数列的前项和为.
72．已知数列中，，满足an+1=2an+2n-1n∈N*.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，若不等式λ⋅2n+Sn+4>0对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.
73．在①b3=S7a7；②b3=S5-S3；③a18=S8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知是公差为1的等差数列，为数列的前n项和，是正项等比数列，a1=b1=1， ；cn=anbnn∈N*，试比较cn与cn+1的大小，并说明理由.
74．学习资料：有一正项数列dn，若作商dn+1dn=12+1n+1，则当n≥1时，dn+1≤dn,;当时，dn+1≤56dn,⋯⋯.这是一种数列放缩的方法.现有一等差数列an,a2=3,a3+2a7=31,an的前项和为Sn,bn=3n,Cn=Sn3n,Cn的前项和为.
(1)求；
(2)求证：Tn<73.
75．已知为数列的前项和，且，an2+2an=4Sn+3，bn=a2n-1，cn=3n.
(1)求的通项公式；
(2)将数列与cn的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列dn，求dn的前10项的和.
76．已知是等差数列，a1+a2+a3=12，a4=8．
(1)求的通项公式；
(2)设bn=2an-1000，求数列的最小项．
77．已知是等差数列，a1+a2+a3=12，a4=8.
(1)求的通项公式；
(2)若对于任意n∈N+，点Anan,bn都在曲线y=2x上，过An作轴的垂线，垂足为Bn，记△OAnBn的面积为，求数列的前项和.
78．在①an-an-1=8n-4；②an+1-an=2an+1+1+an+1；③nan+1+1=n+1an+4n+1（）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知数列中，，__________.
（1）求；
（2）若数列的前项和为，证明：13≤Tn<12.
79．已知正项数列的前项和为，且4Sn＝(an+1)2.
（1）求数列的通项公式；
（2）在①bn=1anan+1；②bn=3n⋅an；③bn=14Sn-1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解.若______，求的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
80．某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清（即下题中“已知”后面的内容看不清），但在（1）的后面保留了一个“答案：S1,S3,S2成等差数列”的记录，具体如下：
记等比数列的前n项和为，已知___________________．
①判断S1,S2,S3的关系；（答案：S1,S3,S2成等差数列）
②若a1-a3=3，记bn=n12an，求证：b1+b2+⋯+bn<43．
（1）请在本题条件的“已知”后面补充等比数列的首项的值或公比q的值（只补充其中一个值），并说明你的理由；
（2）利用（1）补充的条件，完成②的证明过程．
81．在①S3-S2=a2+2a1，②2a2=a4-a3，③4an-a1=S1⋅Sn，，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为.已知，___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn=1+2log2an，cn=an+1bn⋅bn+1，且数列cn的前项和为，求.
82．设，，现给出以下三个条件：①，an+1-Sn=2；②S1S2=3a2，对于任意，，aman≠0，且am+n=am⋅an；③，S2=6，Sn+1=3Sn-2Sn-1(n≥2)．
从以上三个条件中任选一个，补充在本题相应的横线上，再作答（如果选择多个条件作答，则按第一个解答计分）
已知数列的前项和为，满足
(1)求的通项公式；
(2)记bn=log2anan，数列的前项和为，求证：12≤Tn<2．
83．在①，an+1+2anan+1=an，②2Sn=1an+1，③，an=1Sn+Sn-1n≥2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知为正项数列的前项和，___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列3nan的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
84．已知数列的前项和为，且Sn+1=Sn+an+1，________.
请在①a4+a7=13；②a1,a3,a7成等比数列；③S10=65，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列an2n的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
85．已知数列的前项和为，从下面①②中任取一个作为条件，证明另外一个成立：
①1Sn的前项的和为nn+1；
②a2=2a1，且满足点n,ann∈N*在斜率为2的直线上．
注：若两种情况都选择并分别解答，则按第一个解答计分．
86．在①a1+a4+a7=15，②S5=15，③a3S3-3=0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知公差不为0的等差数列的前项和为，是与的等比中项，______．
(1)求的通项公式；
(2)若bnSn+3=2，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
87．设数列的前项和为，，________给出下列两个条件；
条件①：数列为等比数列，数列Sn+a1也为等比数列；
条件②：点(Sn,an+1)在直线y=x+1上；
试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn=1log2an+1⋅log2an+3，数列的前项和．
88．在①an=2n-1,3bn=2Tn+3;②2Sn=n2+an,bn=a2nSn这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．
已知数列的前项和是Sn,数列的前项和是，__________．
(1)求数列{an},{bn}的通项公式；
(2)设cn=anbn,证明：c1+c2+c3+⋯+cn<1.
89．已知数列的前n项和为，且Sn+1=Sn+an+1， ．
请在①a4+a7=13；②，，a7成等比数列；③S10=65，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列an2n的前n项和，求证：1≤Tn<3．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
90．从①an+1an+2=6Sn，且a1<2；②，an-1+an+1=2ann≥2，且存在m≥2，m∈N*使得Sm=5，m+1Sm-1+m-1Sm+1=13m-11；③若an-an-1=d(常数)，且6Sn=an⋅an+1+2n∈N*，a1<2，这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线中，并解答．
已知各项均为正数的数列的前n项和为，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn=an2n-1，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
91．已知数列是递增的等比数列，且a4+a6=40，a5=16.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，bn=an+1SnSn+1，为数列的前n项和，若Tn 92．已知数列的各项均为正数，记为的前项和，___________.从下面①②两个条件中任选一个，补充在上面的题目中，再解答下列问题.
①是等比数列且a7=a6+2a5，；②Sn=2an-2.
(1)求数列的通项公式；
(2)设a2nbn=4，记为的前项和，证明：Tn<43.
93．在①Sn+1=2an，②an+1=an+2n-1，③Sn+1=2Sn+1这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
设首项为的数列的前项和为，且满足______（只需填序号）
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn=nan，求数列的前项和项和．
94．已知数列满足a1=-1，且an+1-an=an⋅an+1.
(1)求数列通项；
(2)记bn=anan+2，求数列的前n项和.
95．已知数列满足：，an+an+1=3n+λn∈N*，λ∈R.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)是否存在使得数列为等差数列?若存在，求的值及数列的前项和；否则，请说明理由.
96．已知数列满足，2an+1=an+1．
(1)证明：数列an-1是等比数列；
(2)求数列nan的前n项和．
97．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且S6=36，，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若不等式Tn 98．已知数列的前项和为，满足Sn-Sn-1=2an+1-an-1(n≥2,n∈N*)，，.
(1)记bn=anan+1，求的通项公式；
(2)记cn=log2an-log2an+2，求cn的前63项和T63.
99．已知数列满足a1a2⋯an=2-2an，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记Tn=a1a2⋯an，，Sn=T12+T22+⋯Tn2．证明：当时，14Sn>an+1-23．