专题12 计数原理-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

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专题12 计数原理
一、单选题
1．的展开式中，的系数为（       ）
A．40 B． C．80 D．
2．中国古代的“礼､乐､射､御､书､数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”即数学某校国学社团利用周日开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，上午三节，下午三节.一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在上午，“射”和“御”两门课程排在下午且相邻，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（       ）
A．36种 B．72种 C．108种 D．144种
3．的展开式中的系数为（       ）
A．5 B．10 C．15 D．20
4．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（       ）
A．60个 B．48个 C．36个 D．24个
5．4位同学坐成一排看比赛节目，起身活动后随机安排一位同学去购买饮料，留下的同学继续坐下收看，若留下的同学不坐自己原来的位置（4把椅子）且考虑留下同学的随机性，则总的坐法种数为（       ）
A．44 B．36 C．28 D．15
6．第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（       ）．
A．42种 B．63种 C．96种 D．126种
7．已知二项式的展开式的所有项的系数和为32，则的展开式中常数项为（       ）
A． B． C． D．
8．某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（       ）种
A．144 B．192 C．216 D．324
9．已知，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知的展开式中的系数为，则该二项展开式中的常数项为（       ）
A． B． C．640 D．320
11．如图，达摩院青橙奖分别由陈杲、方璐（女）、金鑫、刘渊、陆盈盈（女）、王权、王志俊、韦东奕、赵慧蝉（女）、朱飞虎共10位青年科学家获得，每人获得奖金100万元，这也是青橙奖颁奖以来女科学家获奖人数首次达到三人为了向他们表示敬意，某视频网站UP主准备从中随机选择三位科学家将他们的经历做一期视频，要求所选的三人中至少有一名女科学家，则有多少种不同的选择（       ）

A．120 B．63 C．85 D．210
12．国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（       ）
A．65 B．125 C．780 D．1560
13．新冠疫情期间，某医学院将6名研究生安排到本市四家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少去1人，至多去2人，且其中甲乙二人必须去同一家医院，则不同的安排方法有（       ）
A．72种 B．96种 C．144种 D．288种
14．的展开式的第3项是（       ）
A． B． C． D．
15．已知的展开式中二项式系数和为128，则展开式中有理项的项数为（       ）
A．0 B．2 C．3 D．5
16．已知，二项式展开式中常数项为，且的展开式中所有项系数和为192，则的展开式中常数项为（       ）
A．66 B．36 C．30 D．6
17．2021年4月22日是第52个世界地球日，某学校开展了主题为“珍爱地球，人与自然和谐共生”的活动.该校5名学生到，，三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，则不同的安排方案共有（       ）
A．60种 B．90种 C．150种 D．300种
18．志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础和保障，冬奥会城市志愿者已于2021年12月5日在主要服务站点开始上岗，预计2022年1月25日开始全面上岗服务．现有4名志愿者要安排到3个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有（       ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
19．在的展开式中，x的系数为（       ）
A．160 B．80 C． D．
20．已知．若，则（       ）
A． B． C． D．
21．若的展开式中的系数为75，则（       ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
22．某旅行社有A、B、C、D、E共五条旅游线路可供旅客选择，其中A线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰选择了三条不同的线路.则他们报名的情况总共有（       ）
A．720种 B．360种 C．288种 D．240种
23．的展开式中，x的系数为（       ）
A．10 B． C．20 D．
24．的展开式中，的系数（       ）
A． B．5 C．35 D．50
25．二项式的展开式中，的系数为（       ）
A． B． C．10 D．15
26．设，若二项式的展开式中第二项的系数是1，则二项式的展开式中第三项的系数是（       ）
A． B．1 C． D．5
27．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（       ）
A．18种 B．36种 C．68种 D．84种
28．甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（       ）
A． B． C． D．
29．已知某班英语兴趣小组有4名男生和3名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（       ）
A． B． C． D．
30．2021年1月10日，是我国设立的第一个“中国人民警察节”，2020年，某省人民群众对公安机关的满意度测评居首位．为感谢公安干警的辛勤付出，6名学生到甲、乙、丙、丁4个值勤岗亭做志愿者，每名学生只去1个值勤岗亭，且每个值勤岗亭均有志愿者值勤．若甲值勤岗亭安排3名志愿者，则不同的安排方法共有（       ）
A．60种 B．96种 C．120种 D．240种
31．已知（为常数）的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（       ）
A． B． C． D．
32．的展开式中，x的指数为偶数的项的系数之和为（       ）
A．64 B．48 C．32 D．16
33．某农科院计划派遣4名专家和4名技术员到3个乡镇对小麦病虫害防治进行科学指导，每个乡镇至少派遣1名专家和1名技术员，则甲镇恰好派遣2名专家和1名技术员的概率是（       ）
A． B． C． D．
34．2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有（       ）
A．144种 B．336种 C．672种 D．1008种
35．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法（       ）
A．14 B．12 C．24 D．28
36．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为（       ）
A． B． C． D．
37．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（       ）
A．90种 B．120种 C．150种 D．180种
38．为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法､音乐､美术､体育社团，现将5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有（       ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
39．的展开式中的系数为（       ）
A．72 B．60 C．48 D．36
40．二项式的展开式中的项的系数为（       ）
A．240 B．80 C． D．
41．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（       ）
A．12 B．14 C．16 D．18
42．的展开式中的常数项为（       ）
A．10 B． C． D．
43．现将5人安排到3个不同的小区从事防控防疫志愿者服务，要求每人只能在一个小区服务，每个小区至少有一名志愿者，则不同的安排方案有（       ）
A．60种 B．90种 C．150种 D．180种
44．下午活动时间，全校进行大扫除，某班卫生委员将包括甲､乙在内的6位同学平均分成3组，分别派到3块班级管辖区域清理卫生，问甲､乙被分到同一个管辖区域的概率为（       ）
A． B． C． D．
45．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（       ）
A． B． C． D．
46．在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（       ）
A．100 B．120 C．300 D．600
47．《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本《欧几里得原本十五卷》译出．前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分．则数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为（       ）
A． B． C． D．
48．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（       ）
A．21种 B．231种 C．238种 D．252种
49．某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（       ）
A．480种 B．360种 C．240种 D．120种
50．已知的展开式中第3项、第4项、第5项之和大于25，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
51．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为 （       ）

A． B． C． D．
52．若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
53．在的展开式中，下列说法正确的是（       ）
A．常数项为 B．第项的二项式系数最大
C．第项的系数最大 D．所有项的系数和为
54．若，，则下列结论中正确的有（       ）
A．
B．
C．
D．
55．在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（       ）
A．
B．展开式中没有常数项
C．展开式所有二项式系数和为1024
D．展开式所有项的系数和为256
56．已知（）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（       ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含的项的系数为35
57．已知，则（       ）
A．展开式中的第4项为 B．展开式中的常数项为60
C．展开式中的各项系数之和为1 D．展开式中第4项的二项式系数最大

58．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，若，则（       ）

A．的展开式中的常数项是
B．的展开式中的各项系数之和为
C．的展开式中的二项式系数最大值是
D．，其中为虚数单位
59．关于多项式的展开式，下列结论正确的是（       ）
A．各项系数之和为1
B．各项系数的绝对值之和为212
C．存在常数项
D．x3的系数为40
60．已知，下列命题中，正确的是（       ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
61．若，，则下列结论中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
62．下列关于多项式的展开式的结论中，正确的是（       ）
A．各项系数之和为 B．各项系数的绝对值之和为
C．不存在项 D．常数项为
63．已知，则（       ）
A． B．
C． D．
64．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（       ）
A．若1班不再分配名额，则共有种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
三、填空题
65．计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制.一个十进制数可以表示成二进制数，则，其中，当时，.若记中1的个数为，则满足的的个数为___________.
66．已知二项式的展开式中含的项的系数为80．则实数______．
67．现安排A，B，C，D，E共5名医生到3个疫苗接种点负责，若A，B两名医生必须安排到同一接种点，两名医生不能安排到同一接种点，且每个接种点至少安排1名医生，则不同的安排方案有__________种.
68．有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是___________（结果用最简分数表示）.
69．的展开式中的常数项为_________.
70．抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各个，抽奖规则为：每次从中随机抽取个小球，按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽到每个红球获得价值元的奖品，每个白球获得价值元的奖品，黑球不能获得奖品．抽奖一次，所得奖品的价值为元的概率是__________．
71．的展开式中的系数为__________．
72．在二项式的展开式中，记二项式系数和为A，各项系数和为B，则________.
73．若的展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是______.
74．的展开式中的系数是________．（用数字作答）
75．现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有___________种.(用数字作答)
76．某校课后服务开展社团活动，甲、乙、丙三个同学独立地从乒乓球、篮球、足球、排球4个社团中任选一个社团参加，则甲、乙、丙三个同学所选社团互不相同的概率为____；
77．设，则___________.
78．在的展开式中，所有项的系数和为17，则含的项的系数是______．
79．已知二项式展开式的二项式系数和为128，二项式展开式中含项的系数为______．
80．设且，则的展开式中常数项为_______．
81．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往该地区三个红色教育基地进行“学竞史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲、乙两名成员前往同一基地，则不同的分配方案共有__________种.
82．已知的展开式中所有二项式系数之和是64，则它展开式中x2的系数___________.
83．展开式中的系数为___________.
84．有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答）
85．展开式中的常数项是___________.
86．我国著名数学家陈景润证明了“1+2”，即任意充分大的偶数都能表示为一个素数与一个殆素数之和，其中殆素数指的是能分解成两个素数之积的数．现在1到10的自然数中任取两个数，恰为一个素数与一个殆素数的概率为______．
87．若二项武的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是_________．
88．已知．若，则_________．
89．若二项式的展开式中二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为__________.
90．中国古乐中以“宫”“商”“角”“徽”“羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，如果用这五个基本音阶随机排成一个五个音阶的音序，则“官”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为_______．