专题13 概率与统计-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

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专题13 概率与统计
一、单选题
1．投篮测试每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（       ）
A．0.712 B．0.352 C．0.288 D．0.064
【答案】B
【解析】
【分析】
根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
该同学通过测试的概率，
故选：B
2．2022年北京冬奥会成功举办．中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是（       ）

A．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降
B．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加
C．2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图表分别判断各选项.
【详解】
对于A，2016年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加，2018年至2021年同比增长率逐年下降，故A错误；
对于B，由条形图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故B正确；
对于C，由条形图可知，2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是2015年滑雪人次为万，2020年滑雪人次为万，同比增长基数差距大，同比增长人数不相等，故C错误；
对于D，由统计图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的增长率约为，故D错误，
故选：B.
3．2021年秋季河南省在高一推行新教材，为此河南省某市教育部门组织高中教师在暑假期间进行培训，培训后统一举行测试．随机抽取100名教师的测试成绩（满分100分）进行统计，得到如图所示的频率分布折线图，则下列说法正确（       ）

A．这100名教师的测试成绩的极差是20分
B．这100名教师的测试成绩的众数是90分
C．这100名教师的测试成绩的中位数是87.5分
D．这100名教师中测试成绩不低于90分的人数占比超过50%
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率分布折线图及其样本的数字特征即可解决.
【详解】
这100名教师的测试成绩的最高分和最低分都无法确定，则极差也不确定，选项不正确；
由图可知，这100名教师的测试成绩的众数为分，选项不正确；
设这100名教师测试成绩的中位数为，则，
解得，选项正确；
这100名教师中测试分数不低于90分的人数占100％=30％，选项不正确.
故选：.
4．“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品．2021年前三个季度的收人情况如图所示，已知直播间每个季度的总收入都比上一季度的总收入翻一番，则下列说法正确的是（       ）

A．该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和．
B．该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的．
C．该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的．
D．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用条形统计图求解判断.
【详解】
设第一季度的总收入为，则第二季度的总收入为，第三季度的总收入为.
对于选项A，第一、二季度服装收入和为，第三季度服装收入为，故A错误；
对于选项B，第一季度化妆品收入为，第三季度化妆品收入为，第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故B错误；
对于选项C，第二季度的化妆品收入为，第三季度的化妆品收入为，第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故C正确；
对于选项D，第三季度总收入是第一季度总收入的倍，故D错误.
故选：C．
5．由表中三个样本点通过最小二乘法计算得到变量､之间的线性回归方程为：，且当时，的预报值，则（       ）

12

13

27
25

A．6 B． C．7 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可得，利用线性回归方程过样本中心可得，即得.
【详解】
由题可得，
∴，，又，
∴，
∴.
故选：D.
6．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，它是以直角三角形ABC两条直角边AC，BC为直径向外做两个半圆，以斜边AB为直径向内做半圆，三个阴影区域分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．在此图内任取一点，此点取自Ⅰ区域的概率记为P（Ⅰ），取自Ⅱ区域的概率记为P（Ⅱ），取自Ⅲ区域的概率记为P（Ⅲ），则（       ）


A．P（Ⅰ）=P（Ⅱ）+P（Ⅲ）
B．P（Ⅰ）>P（Ⅱ）+P（Ⅲ）
C．P（Ⅰ） D．P（Ⅰ）与P（Ⅱ）+P（Ⅲ）的大小与直角三角形ABC的大小有关
【答案】A
【解析】
【分析】
运用勾股定理及几何概率知识可求解.
【详解】
设阴影Ⅲ所在半圆的直角边为a，阴影Ⅱ所在半圆的直角边为b，直角三角形斜边为c，则，且，
，
所以．
故选：A
7．有下列三个命题：
①已知一组数据，，…的方差为3，则，，…的方差也为3；
②对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心点坐标为，则定数m的值为4；
③已知随机变量X服从二项分布，若，则．
其中真命题的是（       ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据平均数与方差公式进行计算；②由样本中心点在线性回归方程上，代入求解；③先根据公式求出，再使用二项分布求期望公式进行求解.
【详解】
设数据，，…的平均数为，则，则，，…的平均数为，则方差为，则，，…的方差也为3，①正确；
由题意得：，解得：，②错误；
已知随机变量X服从二项分布，其中，则，即，解得：，③正确.
故选：B
8．2021年7月24日，中共中央办公厅国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求学校做好课后服务，结合学生的兴趣爱好，开设体育、美术、音乐、书法等特色课程.某初级中学在课后延时一小时开设相关课程，为了解学生选课情况，在该校全体学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，得到如下数据：（附：计算得到的观测值为.）

喜欢音乐
不喜欢音乐

喜欢体育
20
10

不喜欢体育
5
15


0.05
0.025
0.10
0.005
0.001

3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

根据以上数据，对该校学生情况判断不正确的是（       ）
A．估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占
B．从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈，则他们每个个体被抽到的概率为
C．从不喜欢体育的20名学生中任选4人做访谈，则事件“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人不喜欢音乐”为对立事件
D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系
【答案】C
【解析】
【分析】
根据古典概率公式即可判断AB，根据对立事件定义可判断C，由独立性检验定义可判断D．
【详解】
对A选项，估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占，正确；
对B选项，每个个体被抽到的概率为，正确；
对C选项，“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人喜欢音乐”为对立事件，则C错；
对D选项，由，
则在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系，故D正确．
故选：C
9．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是（       ）
A．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件
B．事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件
C．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为
D．当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为
【答案】D
【解析】
【分析】
根据互斥事件和对立事件的概念判断A、B；利用列举法求出只有一个男孩的概率，即可判断C；利用条件概率的求法计算，即可判断D.
【详解】
A：假设事件A：该家庭3个小孩至少有1个女孩，则包含(女，男，男)的可能，
事件B：该家庭3个小孩至少有一个男孩，则包含(女，女，男)的可能，
所以，故A错误；
B：事件“3个孩子都是男孩”与事件“3个孩子都是女孩”不可能同时发生，
是互斥但不对立事件，故B错误；
C：3个小孩可能发生的事件如下：
男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，
其中只有一个男孩的概率为：，故C错误；
D：设M={至少一个有男孩}，N={至少有2个男孩}，由选项C可知，
，所以，故D正确.
故选：D
10．一个袋子中放大小相同的9个小球，其中5个红色球，4个白色球，若从中摸出1个球后放回再摸出1个球，记摸出的2个球都是红色球的概率为，从中摸出1个球后不放回再摸出1个球，记摸出的2个球都是红色球的概率为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用古典概型概率公式可得，，即得.
【详解】
9个小球放回地摸2次，每次摸出1球的所有方法数为（种），
其中摸出的2个球都是红色球的方法数为（种），故；
9个小球不放回地摸2次，每次摸出1球的所有方法数为（种），
其中摸出的2个球都是红色球的方法数为（种），故；
所以，即.
故选：B．
11．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”根据过去天甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（       ）
A．甲地：总体均值为，中位数为
B．乙地：总体均值为，总体方差大于
C．丙地：中位数为，众数为
D．丁地：总体均值为，总体方差为
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平均数、中位数、方差的计算公式以及含义，对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】
因为平均数和中位数不能限制某一天的病例超过人，故A不正确；
乙地：总体均值为，说明乙地过去天新增疑似病例例，
总体方差大于，有可能存在一天新增疑似病例超过人，故B不正确；
中位数和众数也不能限制某一天的病例超过人，故C不正确；
当总体平均数是，若有一个数据超过，则方差就超过，故D正确，
故选：D.
12．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（       ）
A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38
【答案】A
【解析】
【分析】
第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
【详解】
设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，
“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥，
根据题意得：，，，
则.
故选：A.
13．泰山､华山､衡山､恒山､嵩山是中国的五大名山，并称为“五岳”，它们以象征中华民族的高大形象而名闻天下，某大学学生会随机调查了该校100名学生对“五岳”的了解情况，其中了解的学生共有40名．若从该校随机抽查3名学生，则恰好有2人了解“五岳”的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
以频率估计概率，以样本估计总体，该校学生了解“五岳”的概率为，结合二项分布即可求解概率．
【详解】
以频率估计概率，以样本估计总体，该校学生了解“五岳”的概率为，
记随机抽查的3名学生中了解“五岳”的人数为X，则，
，
故选：B.
14．甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全概率公式进行求解即可.
【详解】
设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，
则有：，
所以，
故选：B
15．为了研究人们生活健康情况，某市随机选取年龄在15~75岁之间的1000人进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中，利用分层抽样从年龄在，，，，，之间共选取20名市民书写生活健康的报告，其中选取年龄在市民的人数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图及，求得a，b，得到各组的人数，再利用分层抽样求解.
【详解】
由频率分布直方图得
解得，，
所以年龄在，，，，，内的人数分别为150，300，350，100，50，50，
利用分层抽样选取的人数分别为3，6，7，2，1，1，
故选：D．
16．江西某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了联考，共有1000名学生参加，已知该校上次测试中，成绩X（满分150分）服从正态分布，已知120分及以上的人数为160人，假设这次考试成绩和上次分布相同，那么通过以上信息推测这次数学成绩优异的人数为（成绩140分以上者为优异）（       ）

A．20 B．25 C．30 D．40
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正态分布的性质，根据题目条件先求出的数值，再求出成绩优异的人数.
【详解】
由题可知随机变量X满足正态分布，
因为120分及以上的人数为160人，所以80分及以下的人数也为160人，故：
,由此可知，即，
所以，故140分及以上的人数为，
故选：B
17．给出下列说法：①以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，将其变换后得到线性回归方程，则，的值分别是和0.3；②根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的线性回归方程中，，，，则；③通过线性回归方程，可以精确反映变量的取值和变化趋势.其中错误的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线性回归方程的知识判断出正确选项.
【详解】
①，，依题意，
对比系数得，①正确.
②，回归直线方程过样本中心点，所以，②正确.
③，通过线性回归方程，无法精确反映变量的取值，③错误.
所以错误的个数是个.
故选：A
18．安徽省2021年高考综合改革实施方案中规定：高考考试科目按照“3+1+2”的模式设置，“3”为语文、数学、外语3门必考科目；“1”为由考生在物理、历史2门中选考1门作为首选科目；“2”为由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选考2门作为再选科目．现有甲、乙2两位同学选科，若他们的首选科目均为物理，在再选科目中，两人选择每科目的可能性相同，且他们的选择互不影响，则这两名同学的再选科目中至多有一门相同的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出再选科目中没有相同科目与恰有一门相同科目的情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：甲、乙两位同学在再选科目中没有相同科目的情况有种，在再选科目中恰有一门相同科目的情况有种，因此，他们的再选科目中至多有一门相同科目的概率.
故选：D.
19．某学校高一年级､高二年级､高三年级的人数分别为1600，1100，800，现用分层抽样的方法从高一年级､高二年级､高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高.如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级､高二年级､高三年级学生的平均身高分别为160cm，165cm，170cm.则下列说法正确的是（       ）
A．高三年级抽取的学生数为32人
B．高二年级每个学生被抽取到的概率为
C．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大
D．所有学生的平均身高估计要小于165cm
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分层抽样的概念、分层抽样的概率、均值的概念判断．
【详解】
根据分层抽样的定义，高三抽取的学生数为，A错；
分层抽样中每个个体被抽取的概率相等，均为，B错，C错；
平均身高为（cm）,D正确．
故选：D．
20．国外新冠肺炎疫情形势严峻，国内疫情传播风险加大，为了更好地抗击疫情，国内进一步加大新冠疫苗的接种力度．某制药企业对某种新冠疫苗开展临床接种试验，若使用该疫苗后的抗体呈阳性，则认为该新冠疫苗有效．该企业对参与试验的1000名受试者的年龄和抗体情况进行统计，结果如下图表所示：
年龄
频率

0.20

0.30

0.10

0.20

0.10

0.10


则下列结论正确的是（       ）
A．在受试者中，50岁以下的人数为700 B．在受试者中，抗体呈阳性的人数为800
C．受试者的平均年龄为45岁 D．受试者的疫苗有效率为80%
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率分布表、条形图提供的数据对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
岁以下人，A选项错误.
在受试者中，抗体呈阳性的人数为，B选项错误.
受试者的平均年龄为，C选项正确.
受试者的疫苗有效率为，D选项错误.
故选：C
21．设随机变量X服从正态分布，若，则（       ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可知正态曲线关于直线对称，然后正态分布的性质求解即可
【详解】
因为随机变量X服从正态分布，
所以正态曲线关于直线对称，
因为，所以，
所以，
故选：C
22．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，发现这100名同学的得分都在内，按得分分成，，，，这5组，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学得分的中位数为（       ）

A．72.5 B．73.75 C．74.5 D．75
【答案】A
【解析】
【分析】
利用频率直方图中中位数的计算方法进行求解即可.
【详解】
根据频率直方图可得，得分在内的频率为，得分在内的频率为，故这100名同学得分的中位数在区间内，为，故这100名同学得分的中位数为72.5.
故选：A.
23．某人准备到某接种点接种新冠疫苗加强针，该接种点在前一天已用完全部疫苗，新的疫苗将于当天上午8：00~11：00之间随机送达，若他在9：00~12：00之间随机到达该接种点，则他到达时疫苗已送达的概率是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意作出试验的全部结果所构成的区域及所求事件构成的区域，再利用几何概型概率公式即求.
【详解】
设8：00为初始时刻0，则9：00，10:00，11:00，12:00分别为时刻1,2,3,4，
设新的疫苗送达的时刻为 x，某人到接种点的时刻为 y，记他到达时疫苗已送达为事件A，
则试验的全部结果所构成的区域为，
事件A所构成的区域为，如图阴影区域，

则.
故选：D.
24．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下列结论中不正确的是（       ）
A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35%
B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2.6小时
C．估计该地初一年级学生的平均做作业的时间超过2.6小时
D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
【答案】D
【解析】
【分析】
计算超过3小时的频率可判断A;利用直方图求出中位数可判断B;求出平均数与中位数比较，可判断C;计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.
【详解】
由直方图得超过3小时的频率为,所以A正确；
设直方图的中位数为x，则有，
解得，故B正确；
直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：所以平均数大于中位数，所以C正确；
做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D错误,
故选:D．
25．有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】
先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有种分法，
然后将3个项目全排列，共有种排法，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种，
因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数种，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为，
故选：D
26．甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中.则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据取球规则分析得到两次取球后甲的袋子中有6个球时，两次取球均为同色，然后分第一次取球甲、乙都取到红球和白球两种情况求解即可.
【详解】
由题，若两次取球后，甲的袋子中恰有6个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色.
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为，则第一次取球后甲的袋子中有3个红球和2个白球，乙的袋子中有1个红球和2个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为，故第一次取球甲﹑乙都取到红球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为.
故所求概率为.
故选：A.
27．把一根长为1米的绳子随机地剪为三段，则这三段可构成一个三角形的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设三条线段的长分别为，分别列出满足约束关系的不等式组和能构成三角形的事件空间的不等式组，结合图像以及几何概型的计算公式即得解
【详解】
设三条线段的长分别为，则，对应区域如图所示：

其面积为，
能构成三角形的事件空间为，对应区域如图所示：

其面积为，
由几何概型的概率公式，所求概率为
故选：A．
28．蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法.某同学根据蒙特·卡罗方法设计了以下实验来估计圆周率的值，每次用计算机随机在区间内取两个数，共进行了2000次实验，统计发现这两个数与3能构成钝角三角形的情况有565种，则由此估计的近似值为（       ）
A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.15
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件画出几何图形，借助几何概型计算作答.
【详解】
设x，y是区间内的任意两个数，于是有，点所在的平面区域是边长为3的正方形OABC的内部，如图，

数字x，y与3能构成钝角三角形，则有点在满足的条件下有，
此时点在以O为圆心，OA长为半径的圆在第一象限部分与直线AC所围的阴影区域（不含边界）内，
此阴影区域面积，
而正方形OABC的面积为，因此，点落在阴影区域内的概率为，
因2000次实验中出现“数字x，y与3能构成钝角三角形”的事件有565次，于是得，解得，
所以估计的近似值为3.13.
故选：B
29．在某次展会中，有来自北京、上海、长春和杭州的四名志愿者，现将这四名志愿者分配到这四个城市的代表团服务，每个代表团只分配到其中一名志愿者，则这四名志愿者中恰有两名为自己家乡代表团服务的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出4名志愿者分到四个城市的代表团服务的基本事件种数，再求出恰有两名为自己家乡代表团服务的基本事件数即可求解作答.
【详解】
依题意，4名志愿者分到四个城市的代表团服务的试验的基本事件种数为，它们等可能，
四名志愿者中恰有两名为自己家乡代表团服务的事件为A，4人中任取2人为自己家乡代表团服务，
则另2人只能到对方家乡代表团服务，事件A含有的基本事件数为，于是得，
所以所求概率是.
故选：B
30．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（       ）

A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的既率 D．事件A､B同时发生的概率
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意结合条件概率的公式，推出阴影部分的面积，可得其含义，即得答案.
【详解】
由题意可知：
阴影部分面积为：
,
故选：A
31．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：

则下列结论中不正确的是（       ）
A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600 B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上
C．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A：直接求出中位数；
对于B：求出乙的星期三和星期四步数，计算可得；
对于C：分别计算出甲、乙平均数，即可判断；
对于D：分别计算出甲、乙方差，即可判断；
【详解】
对于A：甲的步数：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800.中位数是11600.故A正确；
对于B：乙的星期三步数7030，星期四步数12970.因为，所以没有增加1倍上.故B不正确；
对于C：，.
所以.故C正确；
对于D：所以.故D正确；
故选：B.
二、多选题
32．2021年1月至7月，全国规模以上工业企业实现利润总额49 239.5亿元，同比增长57.3%，比2020年1月至7月份增长44.6%，两年平均增长20.2%.图1为各月累计利润率与每百元营业收入中的成本统计图，图2为2021年1－7月份分经济类型营业收入与利润总额增速统计图，则下列说法正确的是(     )

A．从2021年开始，每个月的利润率逐月递增
B．从2020年8月份开始到2020年12月，每个月每百元营业收入中的成本逐月下降
C．2021年1－7月国有控股企业的利润总额最高
D．在图2中四类企业中股份制企业的营业收入增速最高
【答案】BD
【解析】
【分析】
A：根据图1中2021年1—2月的数据和5月到6月的利润率增速即可判断；
B：根据图1的2020年8月到2020年12月的每百元营业收入中的成本数据即可判断；
C：根据图2可以判断增速，但无法判断利润额的大小；
D：根据图2中营业收入增速数据即可判断.
【详解】
对于选项A，2021年1—2月的数据在一起，看不出是否增长，且从5月到6月增速相同，也没有递增，故选项A错误；
根据图1的信息即可判断B选项正确；
对于选项C，通过图2可知，国有控股企业的利润总额增速最大，利润总额是否最高不能确定，故选项C错误；
在图2中股份制企业的营业收入增速为27.0，确实是四类企业中最高值，故选项D正确.
故选：BD.
33．某校高一（1）班王伟、张诚、赵磊三名同学六次数学测试的成绩及班级平均分如下表，根据成绩表作图，则下列说法正确的是（       ）

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王伟
98
87
91
92
88
95
张诚
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6


A．王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平
B．张诚同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平
C．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但与班平均分的差距逐步缩小
D．赵磊同学的数学成绩波动上升
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据折线图，分别对王伟、张诚、赵磊同学的数学成绩较班级平均分进行分析，即可得出结果.
【详解】
根据折线图可知，
王伟同学的数学成绩稳定且始终高于班级平均分，
张诚同学的数学成绩在班级平均分附近波动，
赵磊同学的数学成绩低于班级平均分，但与班级平均分的差距逐渐减小，波动的提升，
故选：ACD
34．已知随机变量服从正态分布（参考数据：若，则），则（       ）
A．的方差为 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
分析可知，，可判断A的正误；利用正态分布可判断B的正误；利用正态密度曲线的特征可判断C选项；利用原则可判断D选项.
【详解】
由已知可得，，则的方差为，A错；
，B对；
因为正态密度曲线中间高，两边低，且，故，C错；
，D对.
故选：BD.
35．某市教育局为了解双减政策的落实情况，随机在本市内抽取了A，B两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了200名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：

由直方图判断，以下说法正确的是（       ）
A．总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长
B．B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长
C．A校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业的中位数
D．B校学生做作业时长分布更接近正态分布
【答案】AD
【解析】
【分析】
由直方图可逐项分析可得答案.
【详解】
由直方图可知，A校学生做作业时长大部分在1—2小时，而B校学生做作业时长大部分在2.5—3.5小时，故A正确，C错误；
B校有学生做作业时长小于l小时的，而A校有学生做作业时长超过5小时的，故B错误；
B校学生做作业时长分布相对A校更对称，故D正确．
故选：AD.
36．已知甲盒中有1个白球和2个黑球，乙盒中有2个白球和3个黑球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．放入i个球后，甲盒中含有黑球的个数记为，现从甲盒中取1个球是黑球的概率记为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据、分类讨论，再计算出概率，可判断选项A、B，通过计算随机变量，的分布列后再求期望，可判断选项C、D.
【详解】
当时，，
当时，，
所以，故B正确，A不正确；
随机变量，的分布列如下：

2
3


2
3
4
P



P




所以，，故D正确，C不正确．
故选：BD
37．有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中随机取1个球放到第1个箱子里，则下列判断正确的是（       ）
A．从第2个箱子里取出的球是白球的概率为
B．从第2个箱子里取出的球是红球的概率为
C．从第2个箱子里取出的球是白球前提下，则再从第1个箱子里取出的是白球的概率为
D．两次取出的球颜色不同的概率为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于ABD，根据互斥事件和独立事件的概率公式求解，对于C，根据条件概率的公式求解即可
【详解】
从第2个箱子里取出的球是白球的概率为，故选项A正确；
从第2个箱子里取出的球是红球的概率为，故选项B正确；
设从第2个箱子取出的球是白球为事件，再从第1个箱子取出的球是白球为事件，则，故选项C正确；
两次取出的球颜色不同的概率为，故选项D错误，
故选：ABC.
38．下列说法正确的是（       ）
A．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
B．将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍
C．已知回归模型为，则样本点的残差为
D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据相关系数、方差的性质、残差的计算以及独立性检验的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
对：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故错误；
对：将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差变为原来的倍，故错误；
对：当时，，所以样本点的残差为，故正确；
对：对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，则“两变量有关系”的把握程度越小，
则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故正确.
故选：．
39．记考试成绩的均值为，方差为，若满足，则认为考试试卷设置合理.在某次考试后，从20000名考生中随机抽取1000名考生的成绩进行统计，得到成绩的均值为66，方差为196，将数据分成7组，得到如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体，下列说法正确的是（       ）

A．本次考试成绩不低于80分的考生约为4000人
B．本次考试成绩的25%分位数约为47.5
C．
D．本次考试试卷设置合理
【答案】AC
【解析】
【分析】
对A：由频率分布直方图求出考试成绩不低于80分的频率即可求解；
对B：由频率分布直方图，根据百分位数的计算公式即可求解；
对C：由所有矩形面积和为1即可求解；
对D：由题意，，，由频率分布直方图求出即可判断.
【详解】
解：对A：由频率分布直方图可得考试成绩不低于80分的频率为，
所以本次考试成绩不低于80分的考生约为人，故选项A正确；
对B：由频率分布直方图可知，考试成绩在的频率为，
考试成绩在的频率为，
所以本次考试成绩的25%分位数为，故选项B错误；
对C：由可得，故选项C正确；
对D：由题意，，，所以，，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
40．如图是国家统计局于年月日发布的年月到年月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如年月与年月相比；环比是指本期与上期作对比，如年月与年月相比.下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是（       ）

A．年月份，全国居民消费价格同比下降
B．年月至年月，全国居民消费价格环比在年月涨幅最高
C．年月至年月，全国居民消费价格同比均降低
D．年月的全国居民消费价格高于年月的全国居民消费价格
【答案】ABD
【解析】
【分析】
结合图表中的局数依次判断ABC中的数据即可得到正误；设年月的全国居民消费价格为，可表示出年月和年月的全国居民消费价格，对比价格可得D正确.
【详解】
对于A，年月份，全国居民消费价格同比为，即下降，A正确；
对于B，由图表可知，年月，全国居民消费价格环比数据最大为，
年月涨幅最高，B正确；
对于C，年月至年月，同比数据均为正数，
全国居民消费价格同比均上涨，C错误；
对于D，设年月的全国居民消费价格为，则年月的全国居民消费价格为，年月的全国居民消费价格为，
，年月的全国居民消费价格高于年月的全国居民消费价格，D正确.
故选：ABD.
41．下列说法正确的是（       ）
A．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变
B．设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强
C．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越小，判断两个变量有关的把握越大
D．若，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
对于A，由方差的定义判断，对于B，由相关系数的性质判断，对于C，由的性质判断，对于D，由正态曲线的对称性求解
【详解】
对于A，设的平均数为，方差为，则
，，
给中每一个数同时加上，则得到一组新的数为，则其平均数为，所以新的数据的方差为
，即方差不变，所以A正确，
对于B，由相关系数的性质可知，设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，所以B错误，
对于C，在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量有关的把握越大，所以C错误，
对于D，因为，，所以，
所以，所以D正确，
故选：AD
42．2021年11月10日，第四届中国国际进口博览会在上海闭幕.自2018年起，我国已在上海成功举办了四届中国国际进口博览会（简称进博会），部分数据如下表：
届别
一
二
三
四
年份
2018
2019
2020
2021
参展企业数/家
3600
3800
3600
2900
每届意向成交金额/亿美元
578.3
711.3
726.2
707.2

对于已举办的四届进博会，下列说法正确的是（       ）
A．参展企业数的中位数为3600
B．与上一届相比，每届意向成交金额增长率最高的是第三届
C．第三届起，尽管参展企业数与上一届相比逐年减少，但每届参展企业的意向成交金额的平均值逐年增加
D．每届意向成交金额的极差为147.9
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据中位数的定义判断A，计算每届相比上届成交额的增长率判断B，计算每届意向成交金额的平均值判断C，根据极差概念判断D.
【详解】
对于A，参展企业数分别为2900,3600,3600,3800，故参展企业的中位数为3600，所以A选项正确；
对于B，第二届意向成交金额比第一届增长，第三届意向成交金额比第二届增长，第四届意向成交金额比第三届降低，所以B选项不正确；
对于C，第二届参展企业的意向成交金额的平均值为亿美元，第三届参展企业的意向成交金额的平均值为亿美元，第四届参展企业的意向成交金额的平均值为亿美元，所以C选项正确；
对于D，每届意向成交金额的最大值为726.2，最小值为578.3，极差为147.9，所以D选项正确.
故选：ACD
43．每年的“十一”黄金周，旅游出行、探亲访友、货运物流等需求旺盛，如图是2021年9月30日0时到10月1日14时某段高速公路拥堵变化趋势图，则（       ）

A．9月30日拥堵路段的里程数随着时间一直在增加
B．10月1日0时到4时，交通拥堵状况得到缓解
C．10月1日4时到8时拥堵路段里程数的增量高于9月30日4时到8时拥堵路段里程数的增量
D．10月1日9时到11时这一时间段内，拥堵路段里程占比达到峰值
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用变化趋势图逐项分析即得.
【详解】
从折线图上看，9月30日的拥堵路段里程数在11时到12时之间略有下降，因此A错误；
从10月1日0时到4时，拥堵路段里程数降低，交通拥堵状况得到缓解，因此B正确；
9月30日4时到8时的拥堵路段里程数的增量略微增加了一点，但是10月1日4时到8时拥堵路段里程数增幅较大，因此C正确；
10月1日9时到11时这一时间段内，交通拥堵路段里程数占比达到峰值，因此D正确.
故选：BCD.
44．烘焙食品是以面粉、酵母、食盐、砂糖为主料，油脂、乳品等为辅料，经过一系列工艺手段烘焙而成的食品.如图为2015—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量统计图，则下列结论正确的是（       ）

A．2016—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量同比增速最大的是2016年
B．2015—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量的平均数超过2017年中国人均每年烘焙食品市场消费量
C．2015—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量的中位数是6.9
D．2015—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量逐年增加
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据柱状图和折线图分布判断选项.
【详解】
由折线图可知2016—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量同比增速最大的是2016年，A正确；
2015—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量的平均数为，B正确；
2015—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量的中位数是，C正确；
由题图可知相比2019年—2020年中国人均每年烘焙食品市场消费量下降了，D错误.
故选：ABC.
45．经研究，变量y与变量x具有线性相关关系，数据统计如下表，并且根据表中数据，求得y关于x的线性回归方程为，下列正确的是（       ）
x
2
4
7
10
15
22
y
8.1
9.4
12
14.4
18.5
24

A．变量y与x呈正相关 B．样本点的中心为（10，14.4）
C． D．当时，y的估计值为13
【答案】AB
【解析】
【分析】
先根据回归方程可判断选项A，求出样本中心，结合回归方程可判断B,C,D，得出答案.
【详解】
由线性回归方程为可得变量y与x呈正相关，故选项A正确.
由表中数据可得，
故样本点的中心为（10，14.4），所以选项B正确.
将样本点的中心为（10，14.4）代入，可得，解得，故选项C不正确.
将代入回归方程可得，故选项D不正确.
故选：AB
46．小陈为学校动漫社制作了宣传片，邀请全班同学进行观看并给出评分（0-10分）．由于小陈不太好意思直接询问同学意见，因此他制作了包含如下两个问题的调查问卷：
①你的学号是否为奇数；
②你对视频的评分是否在5分以上（含5分）．
每位同学完成问卷后不需要填写答案，只需要填写回答“是”的个数．最后经统计，有40％的同学回答了两个“是”，则下列说法正确的有（       ）．
A．全班约有60％的同学对视频的评分在5分以上
B．全班约有80％的同学对视频的评分在5分以上
C．记全班同学评分的均值为，则可估计在4到9分之间
D．记全班同学评分的均值为，则可估计在3到8分之间
【答案】BC
【解析】
【分析】
由有40％的同学回答了两个“是”可推出对视频的评分是在5分以上同学的比例，再由此确定平均分的估计值.
【详解】
全班约有一半的同学学号为奇数，由于学号是否为奇数与对视频的评分无关，因此40％的同学回答了两个“是”意味着约有80%的同学对视频的评分在5分以上，A选项错误，B选项正确；
由此可以估计满足，即，大致在4分到9分之间，C选项正确，D选项错误．
故选：BC.
47．已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（       ）
A．若，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用条件概率公式及独立事件的定义逐项分析即得.
【详解】
因为随机事件A，B发生的概率分别为，
对于A，因为，所以A，B相互独立，故A正确；
对于B，若A，B相互独立，则，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：ABC
48．甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则（       ）
A．B与相互独立 B．，，两两互斥
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，由条件概率公式计算出概率判断C，由互斥事件与独立事件概率公式计算概率判断D．
【详解】
事件的发生与事件的发生有影响，因此事件的发生与事件不独立，A错；
中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；
，C正确；
，D错．
故选：BC．
49．一批电子产品共100件，其中正品有98件，次品有2件，从中不放回地依次抽取10件产品进行检测（每次抽取1件），甲表示事件“第一次取出的是正品”，乙表示事件“第二次取出的是次品”，记取出的次品件数为X，则下列结论正确的是（       ）
A．甲与乙相互独立 B．甲与乙不互斥 C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据相互独立事件和互斥事件的定义判断甲、乙事件既不相互独立也不互斥；由条件知随机变量X服从超几何分布且，从而得正确的结果.
【详解】
对于选项A，事件甲发生与否影响事件乙发生的概率，故事件甲与乙不相互独立，故选项A错误；
对于选项B，事件甲发生后，事件乙既可能发生，也可能不发生，同样，事件甲没有发生，事件乙既可能发生，也可能不发生，故事件甲与事件乙不是互斥事件，故选项B正确；
对于选项C与选项D，由条件知随机变量X服从超几何分布且，由此可见，选项C错误，选项D正确.
故选：BD.
50．环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的（空气质量指数），数据按照，，进行分组得到下面的频率分布直方图，已知时空气质量等级为优，则（       ）

A．甲、乙两城市的中位数的估计值相等 B．甲、乙两城市的平均数的估计值相等
C．甲城市的方差比乙城市的方差小 D．甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据给出的频率分布直方图，对个选项进行分析，判断作出正误，得出答案 .
【详解】
选项A .   根据两个频率分布直方图，甲、乙两个城市去年每天的的中位数均为125，故选项A正确.
选项B.设甲、乙两频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示，
则，即
同理
甲城市的的平均数为：


乙城市的的平均数为：


所以甲、乙两城市的平均数的估计值相等，故选项B正确 .
选项C. 由图可知，乙城市的数据更集中，即方差更小，所以选项C错误.
选项D. 由图可知甲城市在的频率大于0.2，乙城市在的频率小于0.2
所以甲城市在的频率大于乙城市在的频率，甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多。故D正确.
故选：ABD


三、填空题
51．已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是______.
【答案】##
【解析】
【分析】
记“第一次抽到红球”为事件，记“第二次抽到红球”为事件,分别求出和的概率，利用条件概率的公式即可求解.
【详解】
记“第一次抽到红球”为事件，记“第二次抽到红球”为事件,
∵,,
∴已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是
.
故答案为：.
52．2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿，该片点燃了每个人心中对英雄的崇敬之情，也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间的有10位，位于区间的有20位，位于区间的有25位，位于区间的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值为____________
【答案】35
【解析】
【分析】
从人数可以看出众数位于区间，从而求出众数的估计值.
【详解】
由于25>20>15>10，故众数位于区间，所以众数的估计值为.
故答案为：35
53．中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”［“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方］发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将三药分别记为A、B、C，三方记为a，b，c，先求得两人选取药方包含基本事件个数，再求得两人选取药方完全不同包含基本事件个数，根据古典概率概率公式，即可得答案.
【详解】
将三药分别记为A、B、C，三方记为a，b，c，
选择一药一方的基本事件有{A，a}，{A，b}，{A，c}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{C，a}，{C，b}，{C，c}，
所以两人选取药方包含基本事件个数，
两人选取药方完全不同包含基本事件个数，
所以两人选取药方完全不同的概率.
故答案为：
54．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.
【答案】##0.6
【解析】
【分析】
利用条件概率公式即可得到结果.
【详解】
设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，
则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.
故答案为：
55．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.
【详解】
如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，
B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，
即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.
故答案为：
56．若某种水果的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为__________.（附：若，则，）
【答案】
【解析】
【分析】
分析可得，，利用原则结合参考数据可求得结果.
【详解】
由题意可得，，则，，
所以，
.
故答案为：.
57．某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生，在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的.若被调查的男生人数为n，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，则n的最小值为______.
【答案】12
【解析】
【分析】
根据题意作出列联表，利用卡方公式直接计算，结合独立性检验的思想即可得出结果.
【详解】
由题意得到如下列联表：

喜欢看篮球赛
不喜欢看篮球赛
总计
男生


n
女生



总计
n



所以.
因为有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，
所以，即，.
又，，为整数，所以n的最小值为12.
故答案为：12
58．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对的个数m，最后再根据m来估计的值．假如统计结果是，那么的估计值为______．
【答案】3.2
【解析】
【分析】
表示的点构成一个正方形区域，x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对表示的点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得．
【详解】
表示的点构成一个正方形区域，如图正方形（不含边界），x、y两数能与1构成钝角三角形满足条件，表示的点构成的区域是图中阴暗部分（不含边界），
因此所求概率为，．
故答案为：3.2

59．为了监控某种食品的生产包装过程， 检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.
附：若随机变量X服从正态分布，则.
【答案】19
【解析】
【分析】
根据正态分布的性质求出在之外的概率，从而得到，根据二项分布的期望公式得到不等式，解得即可；
【详解】
解：依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为；
故答案为：19
60．有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，且，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据正态分布概率的对称性求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解.
【详解】
由生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，
可得正态分布曲线对称轴为，
所以，
所以恰好有3个尺寸在区间的概率为，
故答案为：.
四、解答题
61．无土栽培由于具有许多优点，在果蔬种植行业得到大力推广，无土栽培的类型主要有水培､岩棉培和基质培三大类.某农科院为了研究某种草苺最适合的无土栽培方式，种植了400株这种草苺进行试验，其中水培､岩棉培､基质培的株数分别为200，100，100.草苺成熟后，按照栽培方式用分层抽样的方法抽取了40株作为样本，统计其单株产量，数据如下：
方式
株数
单株产量（）
水培
岩棉培
基质培

x
4
3

5
3
z

4
2
2

1
y
0

(1)求x，y，z的值；
(2)若从这40株草苺中随机抽取2株，求这2株中恰有1株的单株产量不小于150的概率；
(3)以这40株草莓的不同单株产量的频率代替每一株草莓的产量为对应数值的概率，若从这400株草莓中随机抽取3株，用X表示单株产量在内的株数，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)x，y，z的值分别为10，1，5；
(2)；
(3)分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样的性质进行求解即可；
（2）根据古典概型公式进行求解即可；
（3）根据二项分布的性质进行求解即可.
(1)
根据分层抽样可知，水培､岩棉培､基质培分别抽取的株数为20，10，10，
由，解得，
由，解得，
由，解得，
故x，y，z的值分别为10，1，5；
(2)
记“这2株中恰有1株的单株产量不小于150g”为事件A，
由表可知，单株产量不小于150g的共有株，
所以.
(3)
依题意可知，单株产量在内的概率为，
X的所有可能取值为0，1，2，3，则，
则，，
，，
其分布列如下：
X
0
1
2
3
P





所以.
62．十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，生产一件该款芯片有三道工序，每道工序的生产互不影响，这三道工序的次品率分别为，，．
(1)①求生产一件该芯片的次品率．
②试产100件该芯片，估计次品件数的期望．
(2)某手机生产厂商将该款芯片投入到某新款手机上使用，并对部分芯片做了技术改良，推出了两种型号的手机，甲型号手机采用没有改良的芯片，乙型号手机采用改良了的芯片，现对使用这两种型号的手机用户进行回访，就他们对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用甲型号手机的有30人，其中对开机速度满意的有15人；使用乙型号手机的有70人，其中对开机速度满意的有55人．完成下列列联表，并判断是否有99.%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关．

甲型号
乙型号
合计
满意



不满意



合计




附：，．

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】(1)①；②15件
(2)列联表见解析，有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度满意度有关
【解析】
【分析】
（1）①根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得；
②依题意生产的100件该款芯片中次品的件数，则，根据二项分布的期望公式计算可得；
（2）依题意填写列联表，计算出卡方，再与参考值比较即可判断；
(1)
解：①因为生产一件芯片为次品的对立事件为“芯片在三道工序中都为合格品”，
所以．
②生产的100件该款芯片中次品的件数，则，
所以，所以估计试产的100件该芯片中次品有15件．
(2)
解：列联表如下：

甲型号
乙型号
合计
满意
15
55
70
不满意
15
15
30
合计
30
70
100

因为，
所以有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度满意度有关．
63．近年来，国民经济的增长和社会结构的变化推动宠物饲养成为很多人精神消费的主要方式，使得近几年中国宠物市场规模逐年增长，下表为2016～2020年中国宠物市场规模y（单位：千亿元），其中2016～2020年对应的年份代码x依次为1～5．
年份代码x
1
2
3
4
5
宠物市场规模y/千亿元
1.22
1.34
1.78
2.21
2.95

(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年中国宠物市场规模．
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)说明见解析
(2)，市场规模为3.632千亿元
【解析】
【分析】
（1）根据参考数据、参考公式计算相关系数，即可得出结论；
（2）根据参考数据计算，再由直线过求出，即可得出回归直线方程，代入可预测2022年中国宠物市场规模.
(1)
由题意得，，，，，
，
∴．
因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；
(2)
由（1）得，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
2022年对应的年份代码为7，代入，
得，
所以预测2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元．
64．2021年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策）.某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.

(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；
(2)从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】
【分析】
（1）先由统计图得到参与课后服务次数分别为2，3，4，5的人数，再利用平均数的计算公式求解即可；
（2）先写出X的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，列出分布列，利用数学期望的公式计算即可.
(1)
由统计图可知，25名教师中，参与课后服务2次的有4人，参与课后服务3次的有5人，参与课后服务4次的有10人，参与课后服务5次的有6人，
所以这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数为.
(2)
由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





所以X的数学期望.
65．血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为.现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
(1)若，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列；
(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围，
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意知，，利用二项分布的概率计算公式即可求解；
（2）方案一中，期望为4；方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，计算出Y的取值对应的概率，然后根据期望公式求出，从而即可求解.
(1)
解：由题意知，，
则；；
；；
.
则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P






(2)
解：方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4；
方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，
每组两个样本化验呈阴性的概率为，设，
则；；.
所以，
若方案二比方案一更“优”，则，解得，
即，解得.
所以当时，方案二比方案一更“优”.
66．足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.
(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.
(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据题意，即可计算分布列及期望；
（2）“甲VS乙：3:0”记为事件， “甲VS乙：3:1”记为事件，此两互斥事件的和即为所求事件，分别计算两事件的概率，求和即得解.
(1)
依题意，，的可能取值为：0,1,2,3，
；
.
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





.
(2)
记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A.
依题意知：在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数比为:“甲VS乙：3:0”记为事件，或“甲VS乙：3:1”记为事件，则，且与互斥.
依题意有：，

，
.
67．根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响.
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，甲比乙闯关成功的可能性大
【解析】
【分析】
（1）可分析出“乙闯关”属于独立重复实验，直接求概率；
（2）直接求出甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，再求出甲闯关成功的概率，比较甲、乙闯关成功的概率，即可下结论.
(1)
记乙闯关成功为事件A，
所以.
(2)
由题意知随机变量X是所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P





所以.
所以甲闯关成功的概率为，
因为，
所以甲比乙闯关成功的可能性大.
68．某工厂生产一种产品，由第一､第二两道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A，B两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产品的等级：两道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；两道工序恰有一道.工序加工结果为B级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示：
表一
工序
第一工序
第二工序
概率
0.8
0.6

表二
等级
一等品
二等品
三等品
利润
50
20
10

(1)用（万元）表示一件产品的利润，求的分布列和均值；
(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级，计划通过增加检测成本对第二工序进行改良，假如在改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少万元）时，第二工序加工结果为A级的概率增加，问该改良方案对一件产品的利润的均值是否会产生影响？并说明理由.
【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意的可能取值为50，20，10，分别求出其概率得分布列，再由期望公式计算出期望；
（2）设改良后一件产品的利润为，同（1）求出的各可能取值的概率，计算出期望，由期望函数与比较可得结论．
(1)
由题意可知，的可能取值为50，20，10，
产品为一等品的概率为0.8×0.6=0.48，
产品为二等品的概率为0.8×0.4+0.2×0.6=0.44，
产品为三等品的概率为1-0.48-0.44=0.08，
所以的分布列为

50
20
10

0.48
0.44
0.08

.
(2)
改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由如下：
由题意可知，改良过程中，每件产品检测成本增加万元时，第二工序加工结果为级的概率增加，
设改良后一件产品的利润为，则可能的取值为，，，
所以一等品的概率为，
二等品的概率为，
三等品的概率为，
所以
，
因为在上单调递增，故当时，取到最大值为40，
又因为，
所以该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响.
69．微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”板块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛.甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记-1分.设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响.
(1)经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；
(2)若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)
【解析】
【分析】
（1）理解题意，列出随机变量X所有可能的取值，然后相互独立事件的性质求解即可.
（2）通过列举法列出3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的所有情况，然后利用小问（1）中所得的结果进行计算.
(1)
由题意X的取值可能为，0，1，
则，
，
，
那么X的分布列为：
X

0
1
P




.
(2)
第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）：
；；；，
所以.
70．为弘扬中国传统文化，某电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易､中､难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次.四轮答题得分总和不低于10分进入决赛.选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：

容易题
中等题
难题
答对概率
0.6
0.5
0.3
答对得分
3
4
5

(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；
(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题､两个中等题､一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为，求随机变量的数学期望.
【答案】(1)选择容易题进行答题，理由见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案：即都选择容易题，都选择难题，选择一个容易题、一个难题，分别求出总得分不低于10分的概率，即可判断；
（2）依题意的可能取值为、、、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列，再求出数学期望即可；
(1)
解：依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案：
方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为；
方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为；
方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为；
因为，所以后两轮应该选择容易题进行答题；
(2)
解：依题意的可能取值为、、、、、，
则，，
，，
，，
所以的分布列为：















所以
71．北京时间2022年2月6日，中国女足在0-2落后的情况下，最终以3-2逆转绝杀韩国女足，时隔16年再次问鼎亚洲之巅，成为亚洲唯一一支亚洲杯九冠王球队，为此全民又掀起了足球热潮．为了响应习总书记关于深化足球体制改革，大力发展青少年足球，落实到每个地区每一所学校的号召，哈三中成立了校足球队，其中守门员2人，前锋4人，中场10人，后卫6人，其中每个前锋射门的平均命中率都是，每个中场球员射门的平均命中率都是，每个后卫射门的平均命中率都是，且每位队员射门是否命中相互独立．
(1)为了备战一场友谊赛，现从前锋、中场、后卫中各随机选一人组成一个射门训练小组，该小组每个人射门一次为一轮训练，若该小组三人均射进则奖励3个哈三中百年校庆纪念版校徽，若只有两人射进则奖励1个校徽，其他情况不奖励，设随机变量表示该小组一轮训练所得的校徽数，求的分布列及数学期望；
(2)为了强化队员们的射门能力，现从前锋、中场、后卫队员中随机选3人进行射门特训，求这3个人里中场球员的人数比前锋人数多的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望是
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先由题意可知，再根据题意分别求概率，列分布列和数学期望；
（2）首先列举3个人里中场球员的人数比前锋人数多的事件，再求概率.
(1)
由条件可知，
，，
；
分布列如下：

0
1
3





；
(2)
设事件是3人中有3人是中场，，
事件是3人中有2人都是中场，，
事件是3人中1人是中场，2人是后卫，,
所以3个人里中场球员的人数比前锋人数多的概率
.
72．某企业有生产能力相同的甲、乙两条生产线，生产成本相同的同一种产品.为保障产品质量，质检部门分别从这两条生产线上各随机抽取100件产品，并检测其某项质量指标值.根据该质量指标值对应的产品等级，统计得到甲、乙生产线的样本频数分布表如下：
质量指标值






等级
次品
二等品
一等品
二等品
三等品
次品
甲生产线（件）
2
19
40
24
14
1
乙生产线（件）
2
16
50
12
19
1

(1)根据样本频数分布表，估计乙生产线的该质量指标值的中位数；
(2)该企业为了守法经营，将所有次品销毁，每销毁一件次品的费用为10元.已知一、二、三等品的售价分别为120元/件、90元/件、60元/件.为响应政府拉闸限电的号召，企业计划关停一条生产线.视频率为概率，若您是企业的决策者，根据生产线效益的差异情况，您应关停哪条生产线，并说明理由.
【答案】(1)；
(2)应关停甲生产线，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据样本频数分布表可得，即得；
（2）分别计算两个生产线生产一件产品的平均收入，即可.
(1)
∵乙生产线抽取了100件产品，由样本频数分布表可知，质量指标值位于前两组的频数为18，前三组的频数为68，
∴中位数位于第三组，设乙生产线的该质量指标值的中位数为x，则
，
解得，
∴乙生产线的该质量指标值的中位数为；
(2)
由题可得甲生产线生产次品的概率为，一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
设甲生产线生产一件产品的收入为X，则
（元），
乙生产线生产次品的概率为，一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
设乙生产线生产一件产品的收入为Y，则
（元）（元），
∴甲生产线生产一件产品的平均收入低于乙生产线生产一件产品的平均收入，应关停甲生产线.
73．2021年10月12日中华人民共和国主席习近平在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“＇万物各得其和以生，各得其养以成.＇生物多样性使地球充满生机，也是人类生存和发展的基础.保护生物多样性有助于维护地球家园，促进人类可持续发展.”中国大力推进生物多样性保护和恢复，完善政策法规，改善生态环境质量，划定生态保护红线，建立国家公园体系，实施长江十年禁渔，不断加大监管和执法力度，积极履行国际公约义务，全社会生物多样性保护意识不断增强，参与度不断提升，生物多样性下降势头得到基本控制，生态系统稳定性明显增强.某兴趣小组在开展昆虫研究时，设计了如下实验：在一个不透明的密封盒子中装有蝴蝶、蜜蜂等多种昆虫共2n(n≥4，n∈N)只.现在盒子上开一小孔，每次只能飞出一只昆虫，且任意一只昆虫都等可能地飞出.
(1)若盒子中共有8只昆虫，从中任意飞出2只昆虫时，飞出的恰好有1只是蜜蜂的概率为，
①求蜜蜂的只数；
②从盒子中任意飞出3只昆虫，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与期望;
(2)若盒子中的昆虫有一半是蝴蝶时，求“从盒子中任意飞出2只昆虫，至少有1只蝴蝶飞出”的概率最大值.
【答案】(1)①蜜蜂共有4只，②分布列见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）①设盒子中蜜蜂的只数为x()，则由题意可得，从而可求出，②由题意可得随机变量X的取值为0，1，2，3，然后求出各自对应的概率，从而可得分布列和数学期望，
（2）记“任意飞出两只昆虫，至少有1只是蝴蝶”为事件B，则可得，化简后可求得其最大值
(1)
①记“从盒子中先后任意飞出两只昆虫，恰有1只蜜蜂”为事件A，设盒子中蜜蜂的只数为x()，则，解得，故蜜蜂共有4只，
②随机变量X的取值为0，1，2，3




故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





E(X)=
(2)
记“任意飞出两只昆虫，至少有1只是蝴蝶”为事件B，则事件为“任意飞出两只昆虫，其中没有蝴蝶”：
，
当时，.
74．为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：
男生
81
84
86
86
88
91
女生
72
80
84
88
92
97

(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
(2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取学生，成绩为89分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小.（只需写出结论）
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，；
(3).
【解析】
【分析】
（1）由古典概型的列举法求男生成绩高于女生成绩的概率.
（2）由题设，成绩优秀人数可取且服从分布，应用二项分布的概率求法求各可能值的概率，即可写出分布列，进而求期望即可.
（3）应用方差公式求出、、，进而比较它们的大小关系.
(1)
设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A，
由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合，
其中男生成绩高于女生，，，，.
所以事件A有17种组合 ，因此；
(2)
由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（>90分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为.
因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数可取且 ,
，，，
所以随机变量的分布列

0
1
2
3






数学期望.
(3)
男生的平均成绩为，则；
女生的平均成绩为，则；
由于从参加活动的男生中抽取成绩为89分的学生组成新的男生样本，
所以，则；
所以.
75．某单位组织“新型冠状病毒”相关知识抢答竞赛，甲，乙两人分别代表各自科室参加，竞赛共有五道题目，对于每道题规定；抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜，比赛结束，若每次出题甲，乙两人抢到答题机会的概率都是，甲，乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人每道题是否回答正确均相互独立.
(1)求甲先得1分的概率；
(2)求甲获胜的概率；
(3)若将抢答5道题改为抢答3道题，先得3分获胜改为先得2分获胜，其余条件不变，则规则的修改对甲是否有利，请说明理由？
【答案】(1)
(2)
(3)对甲更有利，理由见解析
【解析】
【分析】
考虑甲先得1分分为甲抢到答题并且答对，或者是乙抢到并且答错两种情况，分别计算概率即可；
可以将甲答对看做一次独立实验，考虑甲胜利需要几次这样的独立实验即可；
与(2)相同，只是次数会变少.
(1)
设每道题的抢答中，记甲得1分为事件.
发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，
∴，
∴ 甲率先得1分的概率为.
(2)
由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率分别为，，
设两人共抢答了道题比赛结束，且甲获胜.
根据比赛规则，的所有可能取值分别为3，4，5，
则，
，
，
则甲获胜的概率.
(3)
由（1）（2）知改变规则后甲获胜的概率

，
∴甲获胜的概率变大了，对甲更有利.
76．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品；当时，产品为三级品．现用两种新工艺（分别称为A工艺和B工艺）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）．
A工艺的频数分布表：
指标值分组




频数
10
30
40
20

B工艺的频数分布表：
指标值分组





频数
5
10
15
40
30

(1)若从B工艺产品中有放回地随机抽取4件，记“抽出的B工艺产品中至多有2件二级品”为事件C，求事件C的概率；
(2)若两种新产品的利润率y与质量指标值k满足如下关系：（其中），应用统计知识，请你说明最好投资哪种工艺？
【答案】(1)
(2)答案详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用对立事件的概率公式来求得事件的概率.
（2）分别求得，利用差比较法，对进行分类讨论来进行说明.
(1)
抽中二级品的概率，没抽中二级品的概率，
所以抽出的工艺产品中至多2件二级品的概率．
(2)
的分布列为：
y
t

P
0.6
0.4

则，
的分布列为：
y
t


P
0.7
0.25
0.05

则，
所以，
当时，，从长期来看，投资工艺的产品平均利润率较大，最好投资工艺；
当时，，从长期来看，投资工艺和工艺的产品平均利润率相等，投资工艺或工艺均可；
当时，，从长期来看，投资工艺的产品平均利润率较大，最好投资工艺．
77．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至20日在北京举行.践行“绿色奥运､科技奥运､人文奥运”理念，举办一届“有特色､高水平”的奥运会，是中国向世界的庄严承诺.为宣传北京冬奥会，某市开展了冬奥知识竞答活动.从参与的市民中随机抽取100人，统计他们的竞答成绩得到下面的列联表（单位：人）.

成绩合格
成绩不合格
合计
男性
40

50
女性

20

合计




(1)完成列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关？
(2)将频率视为概率，从该市所有参与冬奥知识竞答的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中成绩合格的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.
参考公式：

0.10
0.05
0.010
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879

【答案】(1)列联表答案见解析，有95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关
(2)期望，方差
【解析】
【分析】
（1）根据已知数据可得列联表，计算后可得结论；
（2）由题意得，由二项分布的期望公式和方差公式计算可得．
(1)
完成列联表（单位：人）：

成绩合格
成绩不合格
合计
男性
40
10
50
女性
30
20
50
合计
70
30
100

由列联表，的观测值，
∴有95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关.
(2)
从参与的市民中随机抽取100人，有70人竞答成绩合格，所以成绩合格的频率为0.7，将频率视为概率，从该市所有参与活动的市民中随机抽取一人，恰好抽到成绩合格的市民的概率为0.7，
由题意知，
∴随机变量X的数学期望，
方差.
78．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.

(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；
(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【解析】
【分析】
（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．
（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量的所有可能的取值，计算出每个对应的概率，列分布列，求期望即可．
（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到，再根据其对称性处理即可．
(1)
解：这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即
(2)
解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组中在，这一区间内的车辆数，即，所以的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以，，，，，
所以的分布列为：

0
1
2
3
4







所以．
(3)
由（1）得，
，
所以，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，
由，，得，
所以估计在在之间通过的车辆数为辆．
79．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p（0 (1)若，当k=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为4元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是8元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.
（i）请用表示E（Y）；
（ii）设备升级后，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高E（Y）.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为，.
(2)（i）；（ii）当时，提高；当时，没有提高
【解析】
【分析】
（1）结合二项分布的知识求得分布列、数学期望，从而求得.
（2）（i）求得的分布列，从而求得.
（ii）通过差比较法，对进行分类讨论，来分析能否提高.
(1)
因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以.
所以，
，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为：











控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为.
.
(2)
（i）设备升级后，在正常运行状态下，单位时间内的利润为，
所以的分布列为：



设备运行概率



所以.
（ii）若控制系统增加个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作，
设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作，
其概率为.
所以
.
所以，
所以当时，，单调递增，即增加个相同元件，设备正常工作的概率变大；
当时，，即增加个相同元件，设备正常工作的概率没有变大.
因为，
所以当时，提高；当时，没有提高.
80．甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.
(1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了局比赛，求随机变量的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；
(2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制?
【答案】(1)分布列见解析；进行四局比赛的可能性最大；
(2)希望采用五局三胜制.
【解析】
【分析】
（1）确定所有可能的取值，根据独立事件概率计算公式分别求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；比较每个取值对应概率大小即可得到结论；
（2）分别计算五局三胜和三局两胜制时，甲队获胜的概率，比较概率大小可得结果.
(1)
由题意知：的可能取值为，，.
则；；；
则的分布列为









，进行四局比赛的可能性最大.
(2)
作为甲队领队，希望甲队最终获胜；
若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为
；
若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为
；
，作为甲队领队，希望采用五局三胜制.
81．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品：当时，产品为三级品.现用两种新工艺（分别称为A工艺和B工艺）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面实验结果：（以下均视频率为概率）.
A工艺的频数分布表：
指标值分组




频数
10
30
40
20

B工艺的频数分布表：
指标值分组





频数
5
10
15
40
30

(1)若从B工艺产品中有放回地随机抽取4件，记“抽出的B工艺产品中至多有2件二级品”为事件C，求事件C的概率；
(2)若两种新产品的利润率y与质量指标值k满足如下关系：（其中）.应用统计知识，请说明最好投资哪种工艺？
【答案】(1)
(2)投资工艺的产品平均利润率较大，最好投资工艺.
【解析】
【分析】
（1）利用对立事件的概率公式来求得事件的概率.
（2）分别求得，利用差比较法可得结论.
(1)
抽中二级品的概率，没抽中二级品的概率，
所以抽出的工艺产品中至多2件二级品的概率．
(2)
的分布列为：
y
t

P
0.6
0.4

则，
的分布列为：
y
t


P
0.7
0.25
0.05

则，
所以，
由于时，所以，所以从长期来看，投资工艺的产品平均利润率较大，最好投资工艺．
82．2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，它不仅集中体现了中华民族的思想信仰、理想愿望、生活娱乐和文化心理，而且还是祈福攮灾、饮食和娛乐活动的狂欢式展示．为调查某地从外地工作回来过年的市民（以下称为“返赣人员”）人数情况，现对某一区域的居民进行抽样调查，并按年龄（单位：岁）分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在内的人数为10．

(1)请根据样本数据补充完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关；
(2)据了解，该地区今年返赣人员占．现从该社区居民中随机抽取3人进行调查，记X为这3人中今年是返赣人员的人数，求X的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．参考数据：

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）由题意可得列联表，根据表格中的数据，代入公式，求出观测值同临界值进行比较即可得出结论；
（2）根据独立重复试验概率计算公式，计算出概率可得分布列并求得数学期望.
(1)
由频率分布直方图可知年龄在上的占比为
，
根据已知人数为10计算可得总人数为80，列联表如下：

返赣人员
本地人员
合计
男
25
15
40
女
10
30
40
合计
35
45
80

∴，   
所以有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关．
(2)
X的取值可为0，1，2，3，
，，
，．
故分布列为：
X
0
1
2
3
P





于是.
83．某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市名成年男性进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“”平均每天喝以上的”为常喝.已知在所有的人中随机抽取人，患糖尿病的概率为.

常喝
不常喝
合计
有糖尿病



无糖尿病



合计




(1)请将上表补充完整，并判断是否有的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由；
(2)已知常喝酒且有糖尿病的人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的这人中随机抽取人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.
参考公式及数据：，.

















【答案】(1)列联表答案见解析，有的把握认为糖尿病与喝酒有关
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）设两名老年人分别为、，其余四名中年人为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
(1)
解：由题意知，所以，糖尿病患者共有8名，其中不常喝酒的有名，
则列联表如下：

常喝
不常喝
合计
有糖尿病



无糖尿病



合计




由表中的数据可得，
因此，有的把握认为糖尿病与喝酒有关.
(2)
解：设两名老年人分别为、，其余四名中年人为、、、，
则所有可能出现的结果有、、、、、、、
、、、、、、、，共种，
其中事件“有一名老年人和一名中年人”包含的结果有：、、、、、、、，有种，
因此，恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.
84．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
15
22
27
40
48
54
60
68.5
68
67.5
66
65

当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．
(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
回归模型
模型①
模型②
回归方程



79.13
20.2

(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小．
附： 刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．用最小二乘法求线性回归方程的截距：．
【答案】(1)对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元)；
(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小.
【解析】
【分析】
(1)根据模型和相关系数公式计算比较即可，然后将x＝17代入较好的模型即可预测直接收益；
(2)根据回归方程过样本中心点()求出，再令x＝20算出预测的直接收益，即可算出投入20亿元时的总收益，与(1)中的投入17亿元的直接收益比较即可.
(1)
对于模型①，对应的，
故对应的，
故对应的相关指数，
对于模型②，同理对应的相关指数，
故模型②拟合精度更高、更可靠.
故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元).
另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较79.13和20.2的大小，从而说明模型②拟合精度更高、更可靠.
(2)
当时，
后五组的，，
由最小二乘法可得，
故当投入20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小为：
，
故投入17亿元比投入20亿元时收益小.
85．某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.

(1)求频率分布直方图中a的值，并根据直方图估计该市全体高中学生的测试分数的中位数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；
(2)将频率作为概率，若从该市全体高中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)，中位数为，平均数为；
(2)分布列答案见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】
（1）由题可得抽取个数为，进而可得a，再结合直方图可得中位数及平均数；
（2）由题可得，可求二项分布的分布列及期望.
(1)
∵测试分数位于的频数为4，频率为，
∴抽取个数为：，
∴测试分数位于的个数为：，
∴.
设由直方图估计分数的中位数为t，
则有：，解得：，
估计平均数为：
.
(2)
测试分数不低于90分的频率为：，
∴，，
即，（）,
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P






∵
∴.
86．浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径（单位：mm），但因气候、施肥和技术的不同，每年的和都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.

(1)用频率分布直方图估计样本的平均数近似代替，标准差s近似代替，已知.根据以往经验，把果径与的差的绝对值在内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）
(2)随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，（为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?
参考数据：；；；；；.
【答案】(1)0.38
(2)当时，采用两种包装利润一样，当时，采用B款包装盒，当时，采用A款包装盒.
【解析】
【分析】
（1）利用二项分布求出相应概率；（2）分别求出采用A，B款包装盒获得利润的数学期望，通过比较大小，得到相应结论.
(1)
由题意得：，所以，，则，，所以，设从农场中摘取20颗果，这20颗果恰好有一颗不是“标准果”为事件A，则
(2)
由，解得：，所以，采用A款包装盒获得利润的数学期望，
采用B款包装盒获得利润的数学期望，
令，解得：a=，
由于，令，解得：，
令，解得：，
故当时，采用两种包装利润一样，当时，采用B款包装盒，当时，采用A款包装盒.
87．某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加（，且）次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个；
方案① ：若中奖则得30分，否则得0分；
方案② ：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．
第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．
(1)如果，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；
(2)记顾客甲第i次获得的分数为，并且选择方案②．请直接写出与的递推关系式，并求的值．（精确到0.1，参考数据：．）
【答案】(1)应选择方案① ，理由见解析；
(2)，
【解析】
【分析】
（1）分别求得两个方案的累计积分的期望值即可进行选择；
（2）依据题给条件即可求得的值．
(1)
若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为40，35，10，5．       
，，
，，
所以．            
若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为30，15，10，
则，，，，       
因为，所以应选择方案①．
(2)
依题意得，          
的可能取值为10，5其分布列为

10
5
P



所以，则，       
由得，        
所以为等比数列．其中首项为，公比为．        
所以，故．
88．漳州市某路口用停车信号管理，在某日后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41.记，2，3，…，15，表示第k辆车到达路口的时间，表示第k辆车在路口的等待时间，且，，，记，M表示a，b中的较大者.
(1)从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；
(2)记这15辆车在路口等待时间的平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望；
(3)通过调查，在该日后的一分钟内也有15辆车到达路口，到达的时间如下：1，4，10，14，15，16，17，18，19，21，25，28，30，32，38.现甲驾驶车辆欲在后一分钟内或后一分钟内某时刻选择一个通过该路口，试通过比较和后的一分钟内车辆的平均等待时间，帮甲做出选择.
【答案】(1)
(2)


0
1
2
P






(3)比较见解析，甲应该选择后一分钟内某时刻通过该路口
【解析】
【分析】
（1）用组合知识求解古典概型；（2）求的可能取值及相应的概率，求出分布列及期望；（3）分别求出后与后的1分钟内15辆车在路口等待的时间平均值，
通过比较大小得到结论.
(1)
这15辆车到达路口的时间在15秒以内的有5辆，
记“两辆车到达路口的时间均在15秒以内”为事件A，则，
所以从这15辆车中任取2辆，到达路口的时间在15秒以内的概率为
(2)
一分钟内的这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，
则，
所以的可能值为，0，1，2，
，
所以的分布列为


0
1
2
P





所以
(3)
后的1分钟内这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，2，4，6，8，10，11，10，10，11，12，9，
因为后的1分钟内15辆车在路口等待的时间之和为15，
设后的1分钟内的15辆车在路口等待的时间之和为X，
则，所以，
所以后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间大于后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间，所以甲应该选择后一分钟内某时刻通过该路口