专题14 圆锥曲线综合题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（江苏专用）

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（1）若点为椭圆的上顶点，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）若为椭圆的上顶点，则，
又过点，故直线，
代入椭圆，可得，
解得，，
即点，，从而直线；
（2）证明：设，，，，直线，
代入椭圆方程可得：，△，
所以，，
故，
又，均不为0，故，即为定值．
2．（2021•南京二模）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设曲线与轴的两个交点分别为，，为直线上的动点，且不在轴上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，证明：的周长为定值．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）解：由题意可知，，
所以动点的轨迹是以，为焦点且长轴长为4的椭圆，
所以，，故，
所以动点的轨迹的方程为；
（2）证明：题意可知，，，，为直线上一点，
设，，，，直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，可得，
可得，
所以，
故，，
同理可得，
故直线的方程为，
即，
故直线过定点，
所以的周长为定值8．
当时，是椭圆的通径，经过焦点，此时的周长为定值，
综上可得，的周长为定值8．
3．（2021•江苏一模）已知点，在椭圆上，点在第一象限，为坐标原点，且．
（1）若，，直线的方程为，求直线的斜率；
（2）若是等腰三角形（点，，按顺时针排列），求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由，，可得椭圆方程为，
由，可得或，
因为点在第一象限，所以，，
且．直线的方程为，
由，可得，，
直线的斜率；
（2）设直线的斜率为，直线的倾斜角为，
为直角三角形，直线的斜率为或，
，
设，，，，，，，
由，得，
由，得，
由可得，
，
整理可得，
△，
即，
，，
，，
当时，取得最大值．
4．（2021•江苏一模）已知为坐标系原点，椭圆的右焦点为点，右准线为直线．
（1）过点的直线交椭圆于，两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点，求该直线的方程；
（2）已知直线上有且只有一个点到的距离与到直线的距离之比为．直线与直线交于点，过作轴的垂线，交直线于点．求证：为定值．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）设直线的方程为：，设，，，，
联立整理可得，
△，
，，
所以以线段为直径的圆过原点，所以可得，
即，
，解得，
所以直线的方程为：；
（2）证明：由题意可得右准线的方程为：，
离心率，
由题意直线上只有一点到焦点的距离与到准线的距离为，
即直线上有一点位于椭圆上，
所以直线与椭圆相切，设直线的方程为：
联立，整理可得：，
△，可得，
因为右焦点，，将代入直线中：，
所以，，
，
将代入直线中可得：，所以，，
所以，
，将，
所以可得，
所以可证得：为定值．
5．（2021•江苏二模）已知直线交抛物线于，两点．
（1）设直线与轴的交点为．若，求实数的值；
（2）若点，在抛物线上，且关于直线对称，求证：，，，四点共圆．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】由，得．
设，，，，则，，
因为直线与相交，所以△，得，
（1）由，得，
所以，解得，从而，
因为，所以，解得；
（2）证明：设，，，，
因为，两点关于直线对称，
则，解得，
又，
于是，解得，
又点在抛物线上，于是，
因为，所以，
于是
，
所以，同理，，
于是点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆．
6．（2021•江苏二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且．
（1）求的方程；
（2）斜率为的直线与交于，两点，点关于原点的对称点为．若直线，的斜率存在且分别为，，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）设，，，其中，
因为，所以，解得，
所以，解得，
所以，
所以双曲线的方程为；
（2）证明：设，，，，则，，
设直线的方程为，与双曲线的方程联立，消去，可得，，
由△，可得，，，
所以
，
所以，
所以为定值．
7．（2021•日照模拟）某城市决定在夹角为的两条道路、之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，千米，为的中点，为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域，其中，在椭圆上，且的倾斜角为，交于．
（1）若千米，为了不破坏道路，求椭圆长半轴长的最大值；
（2）若椭圆的离心率为，当线段长为何值时，游乐区域的面积最大？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）以为坐标原点，以所在的坐标为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
由题意，，由，所以，
所以，，，
所以直线的方程为：，
设，则，
所以椭圆，当最大时直线与椭圆相切，
整理可得：，
△，解得舍）
所以椭圆的长半轴长为；
（2）因为，，，
所以，
所以椭圆的方程为：；
设，则，直线的方程为：，
联立，整理可得：，
设，，，则，，
，
，
要保证与半椭圆有交点，当位于时，
所以，当，即，
有最大值为1，
综上所述，当时，三角形的面积最大．
8．（2021•衡水模拟）已知为坐标原点，椭圆，点，，为上的动点，，，三点共线，直线，的斜率分别为，．
（1）证明：；
（2）当直线过点时，求的最小值；
（3）若，证明：为定值．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）见解析
【详解】（1）证明：设，，三点共线，且在椭圆上，
，关于原点对称，设，，，，则，，
所以，，
即，，
所以．
（2）设方程为：，即，
联立，消可得，
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以，
令，则，
，当且仅当，时取等，
所以的最小值为8．
（3）证明：因为，
所以或，
不妨设，，
设，
联立，消可得，
所以，
所以，
所以．
9．（2021•江苏模拟）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆在第一象限交于点，为坐标原点，三角形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若的三个顶点，，都在椭圆上，且为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为直线过左焦点，，
所以，
由，解得，即，
所以，，
由椭圆的定义可知，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
设，，则，，
因为为的重心，
所以，，
所以，，
所以，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，
由，得，
所以△，
所以，，
所以，
所以中点，，
因为为的重心，
所以，，
由在椭圆上得，
化简得，
所以，
因为点到直线的距离等于到直线距离的3倍，所以，
所以，
综上所得，的面积为定值．
10．（2021•江苏模拟）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，焦点到相应准线的距离是3．
（1）求，的值；
（2）已知、是椭圆上关于原点对称的两点，在轴的上方，，连接、并分别延长交椭圆于、两点，证明：直线过定点．
【答案】（1），；（2）见解析
【详解】（1）解：由题意可得，，解得，，
所以，故；
（2）证明：设，，，，，，，，
因为，，三点共线，则有，即①，
又因为点，均在椭圆上，由（1）可得，椭圆的方程为，
所以，两式作商可得，②，
由①②可得，，同理可得，
所以直线的方程为，
又，，
所以直线的方程为，
故直线过定点．
11．（2021•苏州模拟）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交抛物线于点（异于原点，抛物线上点处的切线交轴于点，设线段的中点为，连结线段交于点．
（1）求的值；
（2）过点作圆的切线交于另一点，设直线的斜率为，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）2
【详解】（1）设，，则在点处的切线方程为，，
联立方程组，消去整理可得：，
由，解得，则切线方程为，
则，，
联立方程组，解得，即即为的中点，
所以；
（2）证明：当直线的斜率不存在时，其直线为，
解得，，，，则，
当直线的斜率存在时，设方程为，由题意知，，
因为直线与圆相切，所以，即，
联立方程组，得到，
设，，，，，则，
又，则
，
综上可知为定值2．
12．（2021•扬州一模）已知椭圆的离心率为，右准线方程为．
（1）求椭圆方程；
（2），、为椭圆的左、右顶点，过作斜率为的直线交椭圆于，连接并延长交椭圆于，记直线的斜率为，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据题意可得，，
解得，，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）可得，，
所以过点的直线方程为，
联立，得，
所以，解得，
所以，
所以，，
同理可得，，
又因为，
所以，，
由点，，三点共线可得，
即，
所以，所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为．
13．（2021•淮安模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，右准线方程为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线分别交双曲线的左、右两支于点，，交双曲线的两条渐近线于点，在轴左侧）．
①是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由；
②记和的面积分别为，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）①见解析；②，
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，准线方程为，
由题意可得，，又，
解得，，，
则双曲线的方程为；
（2）①由题意可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，
与双曲线方程联立，可得，
由△，解得，
则，，解得，
如果存在直线，使得，则，
即为
，解得，
所以不存在直线，使得；
②由，可得的横坐标；
由，可得的横坐标，
；
，
由和的高相等，可得，
由，可得，，
所以的取值范围是，．
14．（2021•如皋市模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点，过点且斜率为的直线与抛物线的交于点，，且为中点．
（1）求椭圆的标准方程及点的纵坐标；
（2）若过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求四边形的面积的最大值及此时抛物线的方程．
【答案】（1）的标准方程为；的纵坐标为（2）见解析
【详解】（1）由已知可得，，又，
解得，，，所以椭圆的方程为①
与联立可得：，
因为为的中点，所以，，，
所以，或，，
则，所以，所以
（2）不妨设，则，，，
设，，，，
直线的方程为可化简为：与椭圆方程联立可得：
，解得，
设直线的倾斜角为，
四边形的面积为，
由，则，
则，
又，
所以，当且仅当，即时取等号，
此时抛物线的方程为：．
15．（2021•江苏模拟）已知椭圆的上、下顶点分别为，．为直线上的动点，当点位于点时，的面积，椭圆上任意一点到椭圆的左焦点的最短距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）连接，，直线，分别交椭圆于，（异于点，两点，证明：直线过定点．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）由已知可设，，
则三角形的面积为，所以，
又由已知可得，且，所以，，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：设点，，则直线，的斜率都存在，
则直线的方程为：，直线的方程为，
联立方程，消去整理可得：，
解得或，所以，同理可得点的坐标为，
显然直线的斜率存在，且，
所以直线的方程为，
整理可得：，所以直线过定点，
又时，直线过定点，
所以直线过定点．
16．（2021•南京三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过，的直线与交于，两点．
（1）若，求长度的最小值；
（2）设以为直径的圆交轴于，两点，问是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设，，由，
可得，
当时，取得最小值；
（2）设直线的方程为，，，，，
联立可得，即有，，
设以为直径的圆上任一点，，，，，
所以的轨迹方程为，
，
，
所以的轨迹方程化为，
令，，
设上式方程的两根分别为，，可得，即有，解得．
所以存在，使得．
17．（2021•常州一模）已知，是椭圆的左、右焦点，曲线的焦点恰好也是，为坐标原点，过椭圆的左焦点作与轴垂直的直线交椭圆于，，且的面积为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作直线交于，，交于，，且与的面积相等，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为曲线的焦点恰好也是，所以椭圆中，，
因为的面积为3，所以，
所以，解得，，，
所以椭圆的方程为；
（2）因为为，的中点，所以到直线的距离为到距离的一半，
又因为与的面积相等，所以，
因为，设的方程为，
设，，，，，，，，
联立方程组，可得，
则，
由两点间距离公式可得，，
所以，
联立方程组，可得，
则，
所以，
因为，解得
故直线的斜率为．
18．（2021•江苏模拟）郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合．双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似．双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线、反射式天文望远镜利用了其光学性质等等．
（1）已知，是在直线两侧且到直线距离不相等的两点，为直线上一点．试探究当点的位置满足什么条件时，取最大值；
（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称．证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点．
【答案】见解析
【详解】（1）不妨设点到直线的距离比点到直线的距离大，作点
关于直线的对称点．
当为的平分线时，，，三点共线，
故，
当不是的平分线时，取这样的点，则，，能构成一个三角形，
故，
因此，当且仅当的位置使得为的平分线时，取最大值．
（2）证明：不妨设双曲线的焦点在轴上，半实轴长为，左右焦点分别为，，入射光线从出射，入射点，反射光线，双曲线在点处的切线，在点处的垂线，
由光的反射定律，，关于对称，故，关于对称，
要证：反射光线过点，
只要证：是的角平分线，
定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部，
由双曲线的定义，，
对于双曲线内部的一点有，
对于双曲线外部的一点有，
又是双曲线在点处的切线，故在上有且仅有一点使得，上其他点均有，
故是上唯一使得取最大值的点，
又，到直线距离不相等，根据（1）中结论，可知是的角平分线，
故反射光线过点，命题得证．
19．（2021•常州一模）已知等轴双曲线经过点，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点．
①过原点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，求最小时的值；
②点是上一定点，过点的动直线与双曲线交于，两点，为定值，求点的坐标及实数的值．
【答案】（1）（2）【详解】（1）由题意，且，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）①由对称性可设，，
则，，，
因为点在双曲线上，所以，所以，
所以，
当时，，为直角，
当时，，为钝角，
所以最小时，，．
②设，过点的动直线为，
设，，，，
联立得，
所以，由，且△，解得且，
，即，即，
化简得，
，
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数都成立，
所以，
将①代入②得，从而，
如果时，那么，此时不在双曲线上，舍去，
因此，从而，代入，解得，，
此时，在双曲线上，
综上，，，或者，，．
20．（2021•大通县模拟）已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上不同于，的动点，直线，的斜率，满足，的最小值为．
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，过的两条直线，满足，，且，分别交于，和，．试判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设，，则，
因为，
所以，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）根据椭圆的对称性，可知，，
所以四边形为平行四边形，所以，
设直线，的斜率分别为，，，，，，
则①，②，
因为，，所以，
当直线的斜率不存在时，，，
①②，得，
又，解得，，
所以，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得，
则△，
所以，，
因为，
所以，整理得，
因为直线过点，
所以
，
将代入，整理得，
综上，四边形的面积为定值，且定值为．
21．（2021•苏州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点．点在椭圆上，且．
（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．
①求椭圆的方程；
②若直线，的斜率分别为，，求的值．
（2）若在轴上方存在，两点，使，，，四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
【答案】（1）①；②；（2），
【详解】（1）①设椭圆的焦距为，由题意，可得，解得，，
椭圆的方程为，
②由①可得，焦点，准线为，
设，，，则，
，
，，，
，
，
，
，
（2）方法一：设，，，，
，
则的外接圆即为以为直径的圆，
由题意，焦点，原点均在该圆上，
，
消去可得，
，
点，均在轴上方，
，
即，
，
，
，
方法二：，，，四点共圆且，
为圆的直径，
圆心必为中点，
又圆心在弦的中垂线上，
圆心的横坐标为，
点的横坐标为，
点，均在轴上方，
，
即，
，
，
，
故的范围为，．
22．（2021•江苏模拟）已知椭圆的右焦点为，且过点．
（1）求的方程；
（2）点、分别在和直线上，，为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）由题意可知：为椭圆的左顶点，故，
又为的右焦点，所以，于是，
故椭圆的方程为：；
（2）证明：设，，则，
直线的斜率，
又，所以直线的方程为，
令得，，，
所以，
又在椭圆上，所以，代入得：
，所以，
故直线与的交点在以为直径的圆上，且该圆的方程为：，
即直线与直线的交点在某定曲线上．
23．（2021•南通模拟）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上运动，若面积的最大值为，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作圆，的两条切线，分别与椭圆交于两点，（异于点，当变化时，直线是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线恒过定点
【详解】（1）由题可知当点在椭圆的上顶点时，最大，
，
，解得．
椭圆的标准方程为；
（2）设过点与圆相切的直线方程为：，即，
直线与圆相切，
，得．
设两切线的斜率分别为，，
则．
设，，，，
联立，得．
，，
同理，．
．
直线的方程为．
整理得：．
直线恒过定点．
24．（2021•江苏模拟）已知椭圆，点，为椭圆在第一象限的点，为椭圆的左、右焦点，点关于原点的对称点为．
（1）设点到直线，的距离分别为，，求取值范围；
（2）已知椭圆在，处的切线的方程为：，射线交于点．求证：．
【答案】（1），；（2）见解析
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
又因为
，，
所以，
所以，．
（2）设直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
则，，
所以，
，
所以，
又因为，．所以．
25．（2021•无锡一模）已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，．
（1）求椭圆的标准方程和点的坐标；
（2）若是线段的中点，求直线的方程；
（3）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线于的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．
【答案】（1），；（2）；（3）见解析
【详解】（1）由题意知且，
解得，，
所以椭圆方程为，
由抛物线方程易知准线为，所以；
（2）设，，则，
依题意有，解得，，
所以；
（3）设，，，，，，，
联立，得，
，
直线，，
交点横坐标，又，
解得，
与的交点恒在直线上．
26．（2021•南通模拟）设椭圆的离心率，过椭圆上一点作两条不重合且倾斜角互补的直线、分别与椭圆交于、两点，且中点为．
（1）求椭圆方程．
（2）椭圆上是否存在不同于的定点，使得的面积为定值，如果存在，求定点的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）依题意得，
解得，，，
所以椭圆．
（2）解法一：因为直线、的倾斜角互补，
所以设直线、的方程为，，
所以，，，，
联立方程消元得：，
所以，所以，
所以，
同理得，，
设，则，，
所以，所以点在直线上，
所以当时，的面积为定值．
此时的直线方程为，即，
因为消元得：，解得或（舍去）．
所以椭圆上存在不同于的定点，使得的面积为定值．
（2）解法二：
设直线、的斜率为，，，，，，
因为直线、的倾斜角互补，所以，
设直线的方程为，
联立方程消元得：，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以所以或（舍去）
直线的斜率．所以点在直线上，
所以当时，的面积为定值．
此时的直线方程为，即，
因为消元得：，解得或（舍去）．
所以椭圆上存在不同于的定点，使得的面积为定值．
27．（2021•滨海县校级一模）在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切．设动圆的圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点的两条直线、与曲线相交于、、、四点，且、分别为、的中点．设与的斜率依次为、，若，求证：直线恒过定点．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）解：设，依题意可得：，化简得：．
（2）证明：设，的方程为；．联立，
得，
所以，则，
同理联立，
得，
所以，，
所以，
由可得：，
所以直线的方程为：，
化简整理得：，
所以直线恒过定点．
28．（2021•江苏模拟）在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，，其中交动点的轨迹于，两点，交圆于，两点，点是线段的中点，求面积的最小值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设，因为动点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值，
所以，即，整理可得，
所以动点的轨迹的方程为；
（2）①若直线的斜率不存在，则，，
所以的面积为；
②若直线的斜率存在，且不为0，设为，则，
与双曲线方程联立，消去可得，，
设，，，，则，
则，
直线，即，
所以，且，解得，
所以的面积为，
令，
则，
所以的最小值为，即面积的最小值为．
29．（2020•杭州模拟）如图，已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点，两点异于，记直线，的斜率分别为，．
（1）求的值；
（2）记，的面积分别为，，当，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）由题意将的坐标代入抛物线的方程可得，解得，
所以抛物线的方程为；
由题意可得直线 的斜率不为0，所以设直线的方程为：，设，，，，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，则，，
由题意可得，
所以．
（2）由（1）可得，，所以，，
，又，
所以，．
所以的取值范围，．
30．（2021•苏州模拟）已知圆，点，，是圆上一点，线段的垂直平分线与直线相交于点．
（1）若，点在圆上运动时，点的轨迹是什么？说明理由；
（2）若，点在圆上运动时，点的轨迹记为曲线．过点作两条互相垂直的直线、，与曲线交于两点、，与曲线交于两点、，为线段的中点，为线段的中点．试问，直线是否过定点？若过定点，并求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）时，点在圆外，，
由是线段外，故，
，
又由，即，
由双曲线定义知点的轨迹是以，为焦点的双曲线．
（2）当时，，，
同（1）得，
点的轨迹是以，为左、右焦点的椭圆，
，又，，，，
曲线的方程为，
设，，，，，，，
①当时，直线与轴重合，
②当时，由，消去得，
点在椭圆内，△恒成立，且，
，
，在直线上，，即，，
，互相垂直，设，
同理得，
若，则，
此时，，
直线方程：，
化简，得，
此时，恒过点，．
若，则有，此时，，，，或，，，，
此时直线过点，，
综上，直线恒过定点，．