精练10 三角恒等变换-备战2022年新高考数学选填题分层精练

精练10 三角恒等变换

基础练

1．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先根据同角三角函数关系和正弦二倍角公式得到，再利用诱导公式求解即可.

【详解】

将两边平方可得，则，.

故选：A

2．桔槔始见于《墨子･备城门》，作“颉皋”，是一种利用杠杆原理的取水机械，如图1所示.桔槔的结构相当于一个普通的杠杆，在其横长杆的某处（点O处）由竖木支撑或悬吊起来，横杆的一端（点A处）用一根绳子与汲器相连，另一端（点B处）绑上一块重石头，如图2所示，已知，，.当要汲水时，人用力将绳子与汲器往下压，汲满后，就让另一端的石头下降经测量，，，当桶装满水时水与桶共重150，且当水桶恰好离开水面时横杆与套桶的绳的夹角为105°，则在没有外力的干扰下，当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为（    ）（由杠杆原理知，当杠杆处于静止状态时有（等于水和桶的重力，等于石头的重力）.绳子的重量忽略不计，）

A．400.5 B．419 C．439.2 D．445

【答案】C

【分析】

首先由两角差的余弦公式求出的长，然后根据公式直接求解即可.

【详解】

由题意，得，则，

∴（m）.

由，得，解得（N），

∴当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为439.2N，

故选：C.

3．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

把看作一个整理，利用换元法，诱导公式和正弦的万能公式进行求解.

【详解】

依题意，，设，则，因为，故

故选：B.

4．若，则（    ）

A．－5 B．－3 C．3 D．5

【答案】B

【分析】

利用诱导公式，再利用两角和差的正弦公式展开，然后利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.

【详解】

∴

故选：B

4．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

两式平方后作和，根据两角和差正弦公式可构造方程求得结果.

【详解】

由得：…①；

由得：…②；

①②得：，

.

故选：C.

5．已知点为角终边上一点，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据三角函数的定义求出，进而结合二倍角公式将原式化简，最后得到答案.

【详解】

因为点在角的终边上，所以.

因为，所以，

所以，则，解得.

故选：C.

6．（多选题）下列等式成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】CD

【分析】

利用诱导公式和逆用两角差的正弦公式可判定选项A；利用二倍角的余弦公式变形式可判定选项B；利用两角差的余弦公式可判定选项C；利用切化弦，辅助角公式和二倍角的正弦公式可判定选项D.

【详解】

因为，

故选项A错误；

因为，

故选项B错误；

因为，

所以，

故选项C正确；

因为，

所以，

故选项D正确；

故选：CD.

7．（多选题）在△中，，则的大小不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】

将题干中两个式子平方后求和化简可得，结合，可得C＝或，又4sinB＝1－3cosA>0，可得cosA<<，则A>，分析即得解

【详解】

由，

两式平方和得

即 9＋16＋24sin(A＋B)＝37，

因而.

在△中，sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，且

因而C＝或，

又3cosA＋4sinB＝1化为4sinB＝1－3cosA>0，

所以cosA<<，则A>，故C＝

故选：BCD

8．（多选题）设，，若，则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】

根据降幂公式和两角差的余弦公式，结合诱导公式逐一判断即可.

【详解】

因为，所以，因此有，

又因为，所以，

∴，即，因为，，

所以，即，因此，

所以有：，，

，

故选：ABD.

9．若锐角满足，则角的度数为________．

【答案】

【分析】

根据式子结构先化为，平方后切化弦，进行三角恒等变换即可求解.

【详解】

原式可化为

因为为锐角，

所以.

故答案为：

10．如图，一块斜边长为的直角三角尺，其中一个内角为，把该角立在桌面上，使得斜边所在的直线与桌面所在的平面所成的角为，再绕其斜边旋转，则直角顶点到桌面距离的最大值为______.

【答案】

【分析】

由题意知：当与的投影在同一条直线上时，直角顶点到桌面的距离最大，即可求解.

【详解】

由题意知：当与的投影在同一条直线上时，直角顶点到桌面的距离最大，

如图所示：设顶点、在桌面上的投影分别为、，则、、三点共线，

设与的夹角为，则，解得：，

所以

，

在中，，，所以，

则 ，

故答案为：

提升练

1．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

对两边平方，然后利用二倍角公式和诱导公式可得答案.

【详解】

由，得，

则.

故选：D.

2．已知且，则=（   ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【分析】

根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.

【详解】

因，则，

，

因，，则，又，有，

于是得，因此，，

所以.

故选：C

3．已知，均为锐角，且，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

将变形，配角利用两角差的正弦公式展开化简计算，可得关于的一元二次方程，根据列不等式求解的取值范围，即可得最大值.

【详解】

∵，∴，即，∴，即，又因为为锐角，所以该方程有解，即，解得．又为锐角，∴．所以的最大值是.

故选：C

4．已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

本题要对命题所给信息的各种可能性一一进行分析，既要考虑题设条件，又要挖掘隐含条件，尤其是灵活应用同角三角函数关系式与和差公式，同时结合三角函数的性质求的取值范围.

【详解】

解法一：设，则，

从而可得，即，①

又由，得，

所以，   ②

综合①②得.

故选：D.

解法二：由，得，

而

，

.

故选：D.

5．在中，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据，化简得到，进而得到，然后结合“1”的代换，利用基本不等式求得的最小值，再根据不等式恒成立求解.

【详解】

因为，

所以，

所以.

因为，，，

所以，

所以，

，当且仅当，时等号成立.

要使不等式恒成立，则，

解得，

所以实数的取值范围是.

故选：A.

6．（多选题）已知，都是锐角，且，则角的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】

首先化简得到，即

或者，根据，都是锐角，即可得到的值.

【详解】

由，得，

，

即，

化简得，

故或者，

已知，都是锐角，所以，，或.

所以角的值可能是和.

故选：BD

【点睛】

本题主要考查三角函数的化简，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

7．（多选题）下列等式中不恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

选项A. 由，可得可判断；选项B. 由可判断；选项C. 可判断；选项D. ，可判断.

【详解】

选项A. 由,则成立，故A 正确.

选项B. 由

当 时，，

则此时，所以B不正确.

选项C.

,故C正确.

选项D.

所以成立，故D正确

故选：ACD

【点睛】

关键点睛：本题考查利用三角恒等变换证明三角恒等式，解答本题的关键是角的变换，利用正弦的和角公式，属于中档题.

8．（多选题）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖，、是分别由、延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与相切于点，且与、分别相交于、，另两条是分别和湖岸、垂直的、（垂足均不与重合）．在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（    ）

A．的范围是

B．新增步道的长度可以为

C．新增步道、长度之和可以为

D．当点为的中点时，草坪的面积为

【答案】BD

【分析】

设，求出的取值范围，可判断A选项的正误；利用基本不等式求出的最小值，可判断B选项的正误；求出的取值范围，可判断C选项的正误；计算出草坪的面积，可判断D选项的正误.

【详解】

设.

对于A选项，由题意可得，解得，A选项错误；

对于B选项，，，，

，，

所以，，

设，则，

可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，

新增步道的长度可以为，B选项正确；

对于C选项，，，

所以，，

，，所以，，

所以，，

而，即新增步道、长度之和不可以为，C选项错误；

对于D选项，当为的中点时，，则，可得，

同理可得，则，

扇形的面积为，

此时，当点为的中点时，草坪的面积为，D选项正确.

故选：BD.

【点睛】

方法点睛：利用基本不等式求解实际问题的解题技巧：

（1）利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；

（2）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；

（3）在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.

9．若数列：中的每一项都为负数，则实数的所有取值组成的集合为__________.

【答案】

【分析】

根据题意，可知当时，不符合题意；所以，则均成立，从而得出，通过类比推理得出对一切正整数恒成立，进而可得出，即可得出实数的所有取值.

【详解】

解：当时，，

，不符合题意，

又因为，所以，则均成立，

则，

即，，以此类推，

对一切正整数恒成立，

因为当时，，则，

所以，解得：，

经检验，符合题意，

综上所述，实数的所有取值组成的集合为.

故答案为：.

10．一直线过点且与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，为坐标原点．则的最大值为__．

【答案】

【分析】

设，则，，利用三角恒等变换化简得出，利用基本不等式可求得结果.

【详解】

设，则，，

则，，，

所以，

，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最大值为.

故答案为：.