查补易混易错点02 不等式-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关(33100842)

查补易混易错点02 不等式

高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握不等式的相关性质，理解比较两数(式)大小的理论依据，特别要重视不等式性质的灵活运用.

高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题.

高考对线性规划的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用线性规划求最值和求取值范围的问题.

高考五星高频考点，2019年~2021年高考全国卷基本在第5题进行考查.

易错点1　不能正确应用不等式性质

【突破点】　在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．

易错点2　忽视基本不等式应用的条件

【突破点】　(1)利用基本不等式a＋b≥2以及变式ab≤等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件．

(2)对形如y＝ax＋(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，同号．

易错点3　解不等式时转化不等价

【突破点】　 如求函数f(x)·≥0可转化为f(x)·>0或f(x)·＝0，否则易出错．

易错点4　解含参数的不等式时分类讨论不当

【突破点】　解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．

易错点5　不等式恒成立问题处理不当

【突破点】　 应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，可化为f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．

易错题6 利用同向相加求范围出错

【突破点】  利用同向相加求变量或式子的取值范围,是最常用的方法,但如果多次使用不等式的可加性,变量或式子中的等号可能不会同时取到,会导致范围扩大.

易错题7  解分数不等式忽略分母不为零

【突破点】  解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件,防止出现增解,如.

易错题8  连续使用均值不等式忽略等号能否同时成立

【突破点】 连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件,检验等号能否同时成立.

易错题9  混淆单变量与双变量

【突破点】(1) 恒成立的最小值大于零；

(2)恒成立；

(3) 使得成立的最大值大于零；

(4) 使得恒成立；

【真题演练】

1．（2021·山东·高考真题）不等式组表示的区域（阴影部分）是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

用特殊点进行验证和边界的虚实线进行排除可得答案.

【详解】

将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，

将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除AC；

不包括边界，用虚线表示，包括边界，用实线表示，

故选：D.

2．（2021·湖南·高考真题）若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，或代入特殊值判断选项.

【详解】

A.根据不等式的性质可知，A正确；

B.若，，，可知B不正确；

C.若，，，故C不正确；

D. 若，，，故D不正确.

故选：A

3．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（       ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果

【详解】

解：因为，所以，

因为奇函数是定义在上的单调函数，

所以，

所以，即，

所以，即，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B

4．（2021·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.

【详解】

画出满足约束条件的可行域，

如下图所示：

目标函数化为，

由，解得，设，

当直线过点时，

取得最小值为.

故选：B.

5．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】

对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

6．（2021·全国·高考真题（文））若满足约束条件则的最小值为（       ）

A．18 B．10 C．6 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.

【详解】

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,

转换目标函数为，

上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，

此时.

故选：C.

【模拟题演练】

7．（2022·黑龙江·哈九中二模（理））若满足约束条件，则的最小值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，求出B点的坐标，将转化为，结合图像求出的最小值.

【详解】

根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域如阴影部分，可以看出当经过点B时，目标函数取得最小值，则B（0，1），此时.

故选：A.

8．（2022·陕西商洛·一模（理））已知实数满足约束条件则的最大值为（       ）

A．-1 B． C．3 D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的可行域，数形结合根据目标函数的几何意义，即可求解.

【详解】

不等式组对应的可行域如下所示：

数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，取得最大值，

此时，

故选：D.

9．（2022·甘肃平凉·二模（理））设满足约束条件，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，将所求问题转化为在轴截距最大问题的求解，结合，利用数形结合的方式可得结果.

【详解】

作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，

由得：，

则当取最大值时，在轴截距最大；

又，当过与的交点时，取得最大值，

由得：，即，.

故选：A.

10．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）下列函数中最小值为8的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本不等式或反例可得正确的选项.

【详解】

对于A，取，则，最小值不为8；

对于B，因为，但无解，从而此函数的最小值不为8，

对于C，取，则，此函数的最小值不为8，

对于D，，当且仅当时等号成立，故此函数的最小值为8，

故选：D.

11．（2022·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

取即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的.

【详解】

取满足，且，此时，A错误；

取满足，且，此时，B错误；

可得，C正确；

取满足，且，此时，D错误.

故选：C.

12．（2022·陕西咸阳·二模（理））若满足约束条件，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距取得最大值，利用数形结合的方式可求得结果.

【详解】

由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，

由得：，

则当取最小值时，在轴截距取得最大值，

由图象可知：当直线过时，轴截距最大，

由得：，即，.

故选：C.

13．（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（       ）

A．40 B． C．42 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

将表示成的函数，利用均值不等式求出的范围即可求解作答.

【详解】

，

又，当且仅当时取“=”，则，

所以当时，的最大值为.

故选：D

14．（2022·浙江温州·二模）已知正数a，b和实数t满足，若存在最大值，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

，分，和三种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.

【详解】

解：，

①当，即时，，则的最大值为1，符合题意；

②当，即时，

则，

所以，所以，当且仅当时取等号，

此时有最小值，无最大值，与题意矛盾；

③当，即时，

则，

当，即时，

，所以，

不妨设，则，即，

故，此时无最大值，与题意矛盾；

当，即时，

，所以，当且仅当时取等号，

此时有最大值，符合题意；

当，即时，

恒不成立，不符题意，

综上所述，若存在最大值，.

故选：C.

15．（2022·湖南湖南·二模）函数的最小值为（       ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本不等式可求函数的最小值.

【详解】

因为，所以，，利用基本不等式可得

，

当且仅当即时等号成立.

故选：D.

16．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）

A．2 B． C． D．6

【答案】B

【解析】

【分析】

根据变形得，进而转化为，

用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解.

【详解】

由，得，

所以，

当且仅当，即取等号.

故选：B.

17．（2022·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在m，使得，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式列方程求解公比，再由求出，利用均值不等式求最值即可.

【详解】

设等比数列的公比为q，

前三项的和为7，则，

即，解得或（舍去），

又由，得，即，得，

所以，

当且仅当时，等号成立，且m，，

故选：B

18．（2022·福建·三模）若，则“”的一个必要不充分条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据命题的定义，逐个选项进行赋值验证即可

【详解】

因为，

对于A，当，取，明显可见，不成立，故必要性不成立，A错误；

对于B，当，，得，必要性成立；当，取，，明显可见，，则不成立，充分性不成立；则B正确

对于C，当，取，明显可见，，则不成立，故必要性不成立，则C错误；

对于D，当成立，则，明显可见，成立；当，两边平方，同样有，充分性也成立，D错误；

故选：B

19．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.

【详解】

因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，

当时，，此时；

，故；

，；

当时，，此时，，故；

，；

故ABC均错误；

D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，

设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确

故选：D

20．（2022·河南·模拟预测（理））设则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据对数函数单调性得到所在区间范围，从而得到，再用作差法比较的大小，进而比较出三者的大小关系.

【详解】

又，即，则

，，又，由于，所以，故，即，综上：

故选：A

21．（2022·北京·高三学业考试）已知a，b是实数，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据不等式的性质确定正确答案.

【详解】

由于，所以，A选项正确.

，BD选项错误.

，C选项错误.

故选：A

22．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知，，且，则下列不等式恒成立的个数是（       ）

①；②；③；④.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

构造函数，由导数可确定，再根据，为增函数判断①②，做差判断③，特殊值判断④.

【详解】

易知.

设，则.

设，则.

所以在上单调递减.

所以，即.

所以在上单调递减.

因为，，且，所以.

因为为增函数，所以，①恒成立.

设，则该函数为R上的增函数.

因为，所以，即，②恒成立.

.

因为，所以，但ab小于1时，③不恒成立.

因为当，时，，所以④不恒成立.

故选：B

23．（2022·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足，则下列关系式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知得，对于A、B、C选项取特例可判断；对于D选项，分，，，讨论判断可得选项.

【详解】

解：因为，所以.

取，，得，故A选项不正确；

取，，得，所以，故B选项不正确；取，，得，故C选项不正确；

当时，则，所以，所以，

当时，则，，所以，

当时，，所以，综上得D选项正确，

故选：D.

24．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知条件，将与和进行比较，将与进行比较，将与

和进行比较确定a、b、c三个数的大小，从而完成求解.

【详解】

，所以，，所以，

，所以，所以.

故选：B.

25．（2022·安徽六安·一模（理））已知，，则下列结论正确的有（       ）

①             ②             ③             ④

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【解析】

【分析】

求出、的值，比较、的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项.

【详解】

因为，，则，.

对于①，，则，从而，

，则，则，即，①对；

对于②，，

因为，则，，所以，，②错；

对于③，，

所以，，

所以，，③错；

对于④，构造函数，其中，则.

当时，，则函数在上单调递增，

因为，则，即，可得，所以，，④对.

故选：B.

26．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对数函数的单调性及对数的运算法则，判断、计算的符号，作商比较的大小即可得解.

【详解】

因为，

所以，

又因为，

所以，

又因，

所以且，

所以，所以，

故选：D

27．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】

两次利用基本不等式即可求出.

【详解】

，

，

当且仅当且，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.