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查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质-【查漏补缺】2022年高考数学(理)三轮冲刺过关(33122767)
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查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质
三角恒等变换是高考的一个重要考点,通常难度不大,主要用于三角函数等价代换,可以化简式子,方便运算.考查主要集中在两角和与差的三角公式、二倍角公式、辅助角公式.三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明中发挥作用,还涉及不少其他方面,如通过三角换元可以将一些代数问题化为三角问题,参数方程的建立又可将解析几何问题中的曲线问题归结为三角问题,是最常见的解题“工具”.利用三角恒等变换公式对三角函数式进行求值、化简和证明,进一步发展了数学运算能力,体现了数学运算核心素养;三角公式众多,方法灵活多变,熟练掌握这些公式,可以加深对诸多公式内在联系的理解,发展学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理核心素养.
三角函数是基本初等函数中的一种超越函数.三角函数的图像和性质,在高考中出现的频率较高,需要掌握最基本的正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质,研究方法是先作图像,再通过图像观察总结其性质.形式为的三角函数是考查中的重点,考查方面有周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移与伸缩变换、由性质或者图像确定函数的解析式等.了解此函数的物理意义以及参数对函数图像的影响.三角函数是刻画周期现象的重要函数.利用三角函数的图像研究三角函数的性质非常直观,体现了直观想象核心素养;对三角函数性质的研究,体现了逻辑推理核心素养;三角函数在实际问题中的应用,体现了数学建模核心素升.
高考五星高频考点,2019年-2021年高考全国卷均在选择、填空题进行考查.
易错点1 忽视正、余弦函数的有界性
【突破点】 许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决,在换元时注意正、余弦函数的有界性.
易错点2 忽视三角函数值对角的范围的限制
【突破点】 在解决三角函数中的求值问题时,不仅要看已知条件中角的范围,更重要的是注意挖掘隐含条件,根据三角函数值缩小角的范围.
易错点3 忽视解三角形中的细节问题
【突破点】 (1)解三角形时,不要忽视角的取值范围.
(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时,注意不要忽视两角互补的情况.
(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时,切忌出现漏解情况.
易错点4 三角函数性质理解不透彻
【突破点】 (1)研究奇偶性时,忽视定义域的要求.
(2)研究对称性时,忽视y=A sin (ωx+φ),y=A cos (ωx+φ)的对称轴有无穷条、对称中心有无数个.
(3)研究周期性时,错将y=A sin (ωx+φ),y=A cos (ωx+φ)的周期写成2πω.
易错点5 图象变换方向或变换量把握不准确
【突破点】 图象变换若先作周期变换,再作相位变换,应左(右)平移φω个单位.另外注意根据φ的符号判定平移的方向.
易错题6 不能全面理解三角函数性质致误
【突破点】本易错点主要包含以下几个问题:(1)求三角函数值域忽略定义域的限制;(2)确定三角函数的最小正周期,忽略三角变换的等价性;(3)求复合函数的单调性忽略对内函数单调性的判断.
易错题7 对平移理解不准确致误
【突破点】三角函数图象的左右平移是自变量x发生变化,如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±,所以平移的距离并不一定是φ.
易错题8 用零点确定的,忽略图象的升降
【突破点】确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”为ωx+φ=2π.
【真题演练】
1.(2021·全国·高考真题(理))把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解法一:从函数的图象出发,按照已知的变换顺序,逐次变换,得到,即得,再利用换元思想求得的解析表达式;
解法二:从函数出发,逆向实施各步变换,利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】
解法一:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到的图象,
根据已知得到了函数的图象,所以,
令,则,
所以,所以;
解法二:由已知的函数逆向变换,
第一步:向左平移个单位长度,得到的图象,
第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,
即为的图象,所以.
故选:B.
2.(2021·全国·高考真题)下列区间中,函数单调递增的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式,利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数的单调递增区间为,
对于函数,由,
解得,
取,可得函数的一个单调递增区间为,
则,,A选项满足条件,B不满足条件;
取,可得函数的一个单调递增区间为,
且,,CD选项均不满足条件.
故选:A.
【点睛】
方法点睛:求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成形式,再求的单调区间,只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可,注意要先把化为正数.
3.(2021·全国·高考真题)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简,然后增添分母(),进行齐次化处理,化为正切的表达式,代入即可得到结果.
【详解】
将式子进行齐次化处理得:
.
故选:C.
【点睛】
易错点睛:本题如果利用,求出的值,可能还需要分象限讨论其正负,通过齐次化处理,可以避开了这一讨论.
4.(2021·山东·高考真题)已知向量,,那么等于( )
A. B. C.1 D.0
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.
【详解】
,,
.
故选:A.
5.(2021·湖南·高考真题)为了得到函数的图象,只需要将的图象( )
A.向上平移个单位 B.向左平移个单位
C.向下平移个单位 D.向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“左+右-”的平移规律判断选项.
【详解】
根据平移规律可知,只需向左平移个单位得到.
故选:B
6.(2021·江苏·高考真题)若函数的最小正周期为,则它的一条对称轴是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由,可得,所以,令,得,从而可得到本题答案.
【详解】
由题,得,所以,
令,得,
所以的对称轴为,
当时,,
所以函数的一条对称轴为.
故选:A
7.(2021·全国·高考真题(理))已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数x为________.
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数的解析式,再求出的值,然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】
由图可知,即,所以;
由五点法可得,即;
所以.
因为,;
所以由可得或;
因为,所以,
方法一:结合图形可知,最小正整数应该满足,即,
解得,令,可得,
可得的最小正整数为2.
方法二:结合图形可知,最小正整数应该满足,又,符合题意,可得的最小正整数为2.
故答案为:2.
【点睛】
关键点睛:根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键,根据周期求解,根据特殊点求解.
8.(2021·湖南·高考真题)已知,且为第四象限角,则____________
【答案】
【解析】
【分析】
首先求的值,再求.
【详解】
,且为第四象限角,
,
.
故答案为:
9.(2021·江苏·高考真题)已知,且,则的值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
先用诱导公式化简,再通过同角三角函数的基本关系求得.
【详解】
,因为,所以,所以,所以,所以.
故答案为:.
10.(2021·北京·高考真题)若点关于轴对称点为,写出的一个取值为___.
【答案】(满足即可)
【解析】
【分析】
根据在单位圆上,可得关于轴对称,得出求解.
【详解】
与关于轴对称,
即关于轴对称,
,
则,
当时,可取的一个值为.
故答案为:(满足即可).
【好题演练】
1.(2022·陕西渭南·一模(理))函数的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性,排除不符合题意的选项,然后观察剩余选项的不同点,利用函数值的符号排除不符合题意的选项,从而得出答案.
【详解】
由题意可知,函数的定义域为,
,
所以为奇函数,排除选项A,B;
当时,,所以,
所以,排除D.
故选:C.
2.(2022·全国·模拟预测)已知函数(,,)的部分图象如图所示,且.将图象上所有点的横坐标缩小为原来的,再向上平移一个单位长度,得到的图像;若,,,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图象求得,再根据图象变换可得的解析式,结合,,,求得的值,可得答案.
【详解】
设的最小正周期为T,则由图可知,得,则,所以,
又由题图可知图象的一个对称中心为点,
故,,故,,
因为,所以,所以.
又因为,
故,
所以;
将图象上所有点的横坐标缩小为原来的,再向上平移一个单位长度,
得到的图象;
因为,所以 同时令取得最大值3,
由,可得,,
又,要求的最大值,故令,得;
令,得,所以的最大值为,
故选:D.
3.(2022·全国·模拟预测)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据,结合正切的倍角公式,即可求解.
【详解】
由,
可得
.
故选:D.
4.(2022·全国·模拟预测(理))已知函数,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由函数解析式得到、,再根据的取值范围,求出、的取值方程,即可得到,解得即可;
【详解】
解:因为,所以,,因为,即,因为,所以,,所以,解得;
故选:B
5.(2022·全国·模拟预测(理))已知,则的值为( )
A.1 B. C.2 D.5
【答案】A
【解析】
【分析】
将分子分母同除以 ,再将代入,即可求得答案.
【详解】
由题意得:
,
故选:A.
6.(2022·全国·模拟预测(理))已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件,求出,利用正弦的二倍角公式及平方关系,
结合齐次式即可求解.
【详解】
由,得,
.
故选:D.
7.(2022·全国·模拟预测(理))已知函数是奇函数.若将曲线向左平移个单位长度后,再向上平移个单位长度得到曲线,若关于x的方程在有两个不相等实根,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用奇偶性可得,通过图像变换得出,根据正弦函数对称性得出且,通过求出此时的值域即可得出结果.
【详解】
因为函数是奇函数,
所以,解得,即,
则,
向左平移个单位长度后,得到,
向上平移个单位长度,得到,
当时,,结合正弦函数对称性可知,
在有两个不相等实根,则且,
此时,实数m的取值范围是.
故选:C.
8.(2022·全国·模拟预测(理))( )
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式和降幂公式化简即得解.
【详解】
解:由题得.
故选:C
9.(2022·全国·模拟预测(理))为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过诱导公式统一两个三角函数的名称,进而根据三角函数图象变换的性质求得答案.
【详解】
由题意,,函数,则,所以函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,因为函数的周期为,所以向左应该平移个单位.
故选:B.
10.(2022·全国·东北师大附中模拟预测(理))函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.是周期为的周期函数 B.点是图象的一个对称中心
C.直线是图象的一条对称轴 D.对任意实数,恒成立
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定图象求出函数的解析式,再逐一分析各个选项,计算判断作答.
【详解】
依题意,令的周期为,则,解得,,
由得:,而,则有,即,
函数的最小正周期,A不正确;
因,则点是图象的一个对称中心,B正确;
因,则直线不是图象的对称轴,C不正确;
,即是函数的最小值,D不正确.
故选:B
11.(2022·全国·模拟预测)已知,则______.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用诱导公式得到,再利用二倍角的余弦公式计算可得;
【详解】
解:因为,所以,所以,
所以.
故答案为:.
12.(2022·全国·模拟预测(理))已知函数的部分图象如图所示,将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,若集合,集合,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据图像求出g(x)的解析式,再求出f(x)解析式,求出A集合,根据集合交集运算法则计算即可.
【详解】
由图可知周期,∴.
由得,∴,,
∵,∴k取0,,
∴,
∴,
∴.
∴,,
∴,∴.
故答案为:﹒
13.(2022·全国·模拟预测)已知,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
进行弦化切,把代入直接求值.
【详解】
因为,所以,
所以.
故答案为:
14.(2022·全国·模拟预测)函数的部分图象如图,下列结论正确的序号是______.
①的最小正周期为6;
②;
③的图象的对称中心为;
④的一个单调递减区间为.
【答案】②③
【解析】
【分析】
由判断①;由和点在的图象上求解判断②正确;令求解判断③;令求解判断④.
【详解】
解:由图可得,所以①错误;
因为,所以.
因为点在的图象上,
所以,即.
因为,所以,所以,所以②正确;
令得,所以的图象的对称中心为,所以③正确;
令,得,
令得,令得,所以,所以④错误.
故答案为:②③.
15.(2022·全国·模拟预测)已知函数的部分图象如图所示,则在上的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数解析式,再根据所在区间求出最大值.
【详解】
,解得,由,所以,.
因为,所以,所以.
因为,所以,
所以,所以的最大值为.
故答案为:.
16.(2022·全国·模拟预测)设是函数的一个极值点,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出导函数,根据是函数的一个极值点得出,将化简为即可得出结果.
【详解】
因为函数,所以,
因为是函数的一个极值点,
所以,,
所以
.
故答案为:.
17.(2022·四川雅安·二模)函数()的图象向右平移后所得函数图象关于轴对称,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的平移变换及函数的奇偶性即可求解.
【详解】
由的图象向右平移后,可得
的图象,
因为的图象关于轴对称,
所以,解得
因为,解得,
当时,.
故答案为:.
18.(2022·四川·模拟预测(理))定义运算“⊕”:.设函数,将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,且的图象关于y轴对称,则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出的表达式,根据图象平移性质得,结合对称关系即可求解的最小值.
【详解】
由题意,得.
将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,
则,因的图象关于y轴对称,
所以,即,则的最小值为.
故答案为:
19.(2022·四川绵阳·二模(理))已知函数,下列关于函数的说法正确的序号有________.
①函数在上单调递增;
②是函数的周期;
③函数的值域为;
④函数在内有4个零点.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
①化简解析式,求出范围,根据正弦函数的单调性即可判断;
②根据奇偶性举特例验证f(x+2π)与f(x)关系即可;
③分类讨论求出f(x)解析式,研究在x≥0时的周期性,再求出值域即可;
④根据值域和单调性讨论即可.
【详解】
∵函数,定义域为R,,∴为偶函数.
当时,,,
,此时正弦函数为增函数,故①正确;
∵,
∴,
而,
∴不是函数的周期,故②错误;
当或,k∈Z时,,
此时,
当,k∈Z时,,
此时,
故时,是函数的一个周期,
故考虑时,函数的值域,
当时,,,此时单调递增,
当时,,,此时单调递减,
;
当时,,,此时,
综上可知,,故③正确;
由③知,时,,且函数单调递增,故存在一个零点,
当时,,且函数单调递减,故存在一个零点,
其他区域无零点,
故当时,函数有2个零点,
∵函数为偶函数,∴函数在内有4个零点.故④正确;
故答案为:①③④.
20.(2022·四川广安·一模(理))定义运算“★”:.设函数,给出下列四个结论:①是的最小正周期;②在有2个零点;③在上是单调递增函数;④的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到.其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②
【解析】
【分析】
①:先化简得到,故由求出最小正周期;②:求出时或;③:整体法求解函数单调区间,进而作出判断;④:根据左加右减求出解析式,作出判断.
【详解】
,故是的最小正周期,①正确;
,,故在或时,即或时,故在有2个零点,②正确;
,,此时在上单调递增,在上单调递减,故③错误;
的图象向右平移个单位长度得到,故④错误.
故选:①②
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