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    查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质-【查漏补缺】2022年高考数学(理)三轮冲刺过关(33122767) 试卷

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    查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质-【查漏补缺】2022年高考数学(理)三轮冲刺过关(33122767)

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    这是一份查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质-【查漏补缺】2022年高考数学(理)三轮冲刺过关(33122767),文件包含查补易混易错点04三角变换及三角函数的性质解析版docx、查补易混易错点04三角变换及三角函数的性质原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共29页, 欢迎下载使用。


    查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质

    三角恒等变换是高考的一个重要考点,通常难度不大,主要用于三角函数等价代换,可以化简式子,方便运算.考查主要集中在两角和与差的三角公式、二倍角公式、辅助角公式.三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明中发挥作用,还涉及不少其他方面,如通过三角换元可以将一些代数问题化为三角问题,参数方程的建立又可将解析几何问题中的曲线问题归结为三角问题,是最常见的解题“工具”.利用三角恒等变换公式对三角函数式进行求值、化简和证明,进一步发展了数学运算能力,体现了数学运算核心素养;三角公式众多,方法灵活多变,熟练掌握这些公式,可以加深对诸多公式内在联系的理解,发展学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理核心素养.
    三角函数是基本初等函数中的一种超越函数.三角函数的图像和性质,在高考中出现的频率较高,需要掌握最基本的正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质,研究方法是先作图像,再通过图像观察总结其性质.形式为的三角函数是考查中的重点,考查方面有周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移与伸缩变换、由性质或者图像确定函数的解析式等.了解此函数的物理意义以及参数对函数图像的影响.三角函数是刻画周期现象的重要函数.利用三角函数的图像研究三角函数的性质非常直观,体现了直观想象核心素养;对三角函数性质的研究,体现了逻辑推理核心素养;三角函数在实际问题中的应用,体现了数学建模核心素升.
    高考五星高频考点,2019年-2021年高考全国卷均在选择、填空题进行考查.

    易错点1 忽视正、余弦函数的有界性
    【突破点】 许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决,在换元时注意正、余弦函数的有界性.
    易错点2 忽视三角函数值对角的范围的限制
    【突破点】  在解决三角函数中的求值问题时,不仅要看已知条件中角的范围,更重要的是注意挖掘隐含条件,根据三角函数值缩小角的范围.
    易错点3 忽视解三角形中的细节问题
    【突破点】 (1)解三角形时,不要忽视角的取值范围.
    (2)由两个角的正弦值相等求两角关系时,注意不要忽视两角互补的情况.
    (3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时,切忌出现漏解情况.
    易错点4 三角函数性质理解不透彻
    【突破点】 (1)研究奇偶性时,忽视定义域的要求.
    (2)研究对称性时,忽视y=A sin (ωx+φ),y=A cos (ωx+φ)的对称轴有无穷条、对称中心有无数个.
    (3)研究周期性时,错将y=A sin (ωx+φ),y=A cos (ωx+φ)的周期写成2πω.
    易错点5 图象变换方向或变换量把握不准确
    【突破点】 图象变换若先作周期变换,再作相位变换,应左(右)平移φω个单位.另外注意根据φ的符号判定平移的方向.
    易错题6 不能全面理解三角函数性质致误
    【突破点】本易错点主要包含以下几个问题:(1)求三角函数值域忽略定义域的限制;(2)确定三角函数的最小正周期,忽略三角变换的等价性;(3)求复合函数的单调性忽略对内函数单调性的判断.
    易错题7 对平移理解不准确致误
    【突破点】三角函数图象的左右平移是自变量x发生变化,如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±,所以平移的距离并不一定是φ.
    易错题8 用零点确定的,忽略图象的升降
    【突破点】确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”为ωx+φ=2π.

    【真题演练】
    1.(2021·全国·高考真题(理))把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    解法一:从函数的图象出发,按照已知的变换顺序,逐次变换,得到,即得,再利用换元思想求得的解析表达式;
    解法二:从函数出发,逆向实施各步变换,利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
    【详解】
    解法一:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到的图象,
    根据已知得到了函数的图象,所以,
    令,则,
    所以,所以;
    解法二:由已知的函数逆向变换,
    第一步:向左平移个单位长度,得到的图象,
    第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,
    即为的图象,所以.
    故选:B.
    2.(2021·全国·高考真题)下列区间中,函数单调递增的区间是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    解不等式,利用赋值法可得出结论.
    【详解】
    因为函数的单调递增区间为,
    对于函数,由,
    解得,
    取,可得函数的一个单调递增区间为,
    则,,A选项满足条件,B不满足条件;
    取,可得函数的一个单调递增区间为,
    且,,CD选项均不满足条件.
    故选:A.
    【点睛】
    方法点睛:求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成形式,再求的单调区间,只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可,注意要先把化为正数.
    3.(2021·全国·高考真题)若,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简,然后增添分母(),进行齐次化处理,化为正切的表达式,代入即可得到结果.
    【详解】
    将式子进行齐次化处理得:


    故选:C.
    【点睛】
    易错点睛:本题如果利用,求出的值,可能还需要分象限讨论其正负,通过齐次化处理,可以避开了这一讨论.
    4.(2021·山东·高考真题)已知向量,,那么等于(       )
    A. B. C.1 D.0
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.
    【详解】
    ,,
    .
    故选:A.
    5.(2021·湖南·高考真题)为了得到函数的图象,只需要将的图象(       )
    A.向上平移个单位 B.向左平移个单位
    C.向下平移个单位 D.向右平移个单位
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    根据“左+右-”的平移规律判断选项.
    【详解】
    根据平移规律可知,只需向左平移个单位得到.
    故选:B
    6.(2021·江苏·高考真题)若函数的最小正周期为,则它的一条对称轴是(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    由,可得,所以,令,得,从而可得到本题答案.
    【详解】
    由题,得,所以,
    令,得,
    所以的对称轴为,
    当时,,
    所以函数的一条对称轴为.
    故选:A
    7.(2021·全国·高考真题(理))已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数x为________.

    【答案】2
    【解析】
    【分析】
    先根据图象求出函数的解析式,再求出的值,然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
    【详解】
    由图可知,即,所以;
    由五点法可得,即;
    所以.
    因为,;
    所以由可得或;
    因为,所以,
    方法一:结合图形可知,最小正整数应该满足,即,
    解得,令,可得,
    可得的最小正整数为2.
    方法二:结合图形可知,最小正整数应该满足,又,符合题意,可得的最小正整数为2.
    故答案为:2.
    【点睛】
    关键点睛:根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键,根据周期求解,根据特殊点求解.
    8.(2021·湖南·高考真题)已知,且为第四象限角,则____________
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    首先求的值,再求.
    【详解】
    ,且为第四象限角,

    .
    故答案为:
    9.(2021·江苏·高考真题)已知,且,则的值是_________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    先用诱导公式化简,再通过同角三角函数的基本关系求得.
    【详解】
    ,因为,所以,所以,所以,所以.
    故答案为:.
    10.(2021·北京·高考真题)若点关于轴对称点为,写出的一个取值为___.
    【答案】(满足即可)
    【解析】
    【分析】
    根据在单位圆上,可得关于轴对称,得出求解.
    【详解】
    与关于轴对称,
    即关于轴对称,

    则,
    当时,可取的一个值为.
    故答案为:(满足即可).

    【好题演练】
    1.(2022·陕西渭南·一模(理))函数的部分图像大致为(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    先利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性,排除不符合题意的选项,然后观察剩余选项的不同点,利用函数值的符号排除不符合题意的选项,从而得出答案.
    【详解】
    由题意可知,函数的定义域为,

    所以为奇函数,排除选项A,B;
    当时,,所以,
    所以,排除D.
    故选:C.
    2.(2022·全国·模拟预测)已知函数(,,)的部分图象如图所示,且.将图象上所有点的横坐标缩小为原来的,再向上平移一个单位长度,得到的图像;若,,,则的最大值为(       )

    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    根据函数图象求得,再根据图象变换可得的解析式,结合,,,求得的值,可得答案.
    【详解】
    设的最小正周期为T,则由图可知,得,则,所以,
    又由题图可知图象的一个对称中心为点,
    故,,故,,
    因为,所以,所以.
    又因为,
    故,
    所以;
    将图象上所有点的横坐标缩小为原来的,再向上平移一个单位长度,
    得到的图象;
    因为,所以 同时令取得最大值3,
    由,可得,,
    又,要求的最大值,故令,得;
    令,得,所以的最大值为,
    故选:D.
    3.(2022·全国·模拟预测)若,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    根据,结合正切的倍角公式,即可求解.
    【详解】
    由,
    可得
    .
    故选:D.
    4.(2022·全国·模拟预测(理))已知函数,若,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    首先由函数解析式得到、,再根据的取值范围,求出、的取值方程,即可得到,解得即可;
    【详解】
    解:因为,所以,,因为,即,因为,所以,,所以,解得;
    故选:B
    5.(2022·全国·模拟预测(理))已知,则的值为(       )
    A.1 B. C.2 D.5
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    将分子分母同除以 ,再将代入,即可求得答案.
    【详解】
    由题意得:

    故选:A.
    6.(2022·全国·模拟预测(理))已知,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    根据已知条件,求出,利用正弦的二倍角公式及平方关系,
    结合齐次式即可求解.
    【详解】
    由,得,

    故选:D.
    7.(2022·全国·模拟预测(理))已知函数是奇函数.若将曲线向左平移个单位长度后,再向上平移个单位长度得到曲线,若关于x的方程在有两个不相等实根,则实数m的取值范围是(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    利用奇偶性可得,通过图像变换得出,根据正弦函数对称性得出且,通过求出此时的值域即可得出结果.
    【详解】
    因为函数是奇函数,
    所以,解得,即,
    则,
    向左平移个单位长度后,得到,
    向上平移个单位长度,得到,
    当时,,结合正弦函数对称性可知,
    在有两个不相等实根,则且,
    此时,实数m的取值范围是.
    故选:C.
    8.(2022·全国·模拟预测(理))(       )
    A. B. C. D.2
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    利用诱导公式和降幂公式化简即得解.
    【详解】
    解:由题得.
    故选:C
    9.(2022·全国·模拟预测(理))为了得到函数的图象,可以将函数的图象(       )
    A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
    C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    先通过诱导公式统一两个三角函数的名称,进而根据三角函数图象变换的性质求得答案.
    【详解】
    由题意,,函数,则,所以函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,因为函数的周期为,所以向左应该平移个单位.
    故选:B.
    10.(2022·全国·东北师大附中模拟预测(理))函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(       )

    A.是周期为的周期函数 B.点是图象的一个对称中心
    C.直线是图象的一条对称轴 D.对任意实数,恒成立
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    根据给定图象求出函数的解析式,再逐一分析各个选项,计算判断作答.
    【详解】
    依题意,令的周期为,则,解得,,
    由得:,而,则有,即,
    函数的最小正周期,A不正确;
    因,则点是图象的一个对称中心,B正确;
    因,则直线不是图象的对称轴,C不正确;
    ,即是函数的最小值,D不正确.
    故选:B
    11.(2022·全国·模拟预测)已知,则______.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】
    利用诱导公式得到,再利用二倍角的余弦公式计算可得;
    【详解】
    解:因为,所以,所以,
    所以.
    故答案为:.
    12.(2022·全国·模拟预测(理))已知函数的部分图象如图所示,将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,若集合,集合,则______.

    【答案】
    【解析】
    【分析】
    根据图像求出g(x)的解析式,再求出f(x)解析式,求出A集合,根据集合交集运算法则计算即可.
    【详解】
    由图可知周期,∴.
    由得,∴,,
    ∵,∴k取0,,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    ∴,,
    ∴,∴.
    故答案为:﹒
    13.(2022·全国·模拟预测)已知,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    进行弦化切,把代入直接求值.
    【详解】
    因为,所以,
    所以.
    故答案为:
    14.(2022·全国·模拟预测)函数的部分图象如图,下列结论正确的序号是______.

    ①的最小正周期为6;
    ②;
    ③的图象的对称中心为;
    ④的一个单调递减区间为.
    【答案】②③
    【解析】
    【分析】
    由判断①;由和点在的图象上求解判断②正确;令求解判断③;令求解判断④.
    【详解】
    解:由图可得,所以①错误;
    因为,所以.
    因为点在的图象上,
    所以,即.
    因为,所以,所以,所以②正确;
    令得,所以的图象的对称中心为,所以③正确;
    令,得,
    令得,令得,所以,所以④错误.
    故答案为:②③.
    15.(2022·全国·模拟预测)已知函数的部分图象如图所示,则在上的最大值为______.

    【答案】
    【解析】
    【分析】
    先根据图象求出函数解析式,再根据所在区间求出最大值.
    【详解】
    ,解得,由,所以,.
    因为,所以,所以.
    因为,所以,
    所以,所以的最大值为.
    故答案为:.
    16.(2022·全国·模拟预测)设是函数的一个极值点,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    求出导函数,根据是函数的一个极值点得出,将化简为即可得出结果.
    【详解】
    因为函数,所以,
    因为是函数的一个极值点,
    所以,,
    所以
    .
    故答案为:.
    17.(2022·四川雅安·二模)函数()的图象向右平移后所得函数图象关于轴对称,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    根据函数的平移变换及函数的奇偶性即可求解.
    【详解】
    由的图象向右平移后,可得
    的图象,
    因为的图象关于轴对称,
    所以,解得
    因为,解得,
    当时,.
    故答案为:.
    18.(2022·四川·模拟预测(理))定义运算“⊕”:.设函数,将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,且的图象关于y轴对称,则的最小值为_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    求出的表达式,根据图象平移性质得,结合对称关系即可求解的最小值.
    【详解】
    由题意,得.
    将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,
    则,因的图象关于y轴对称,
    所以,即,则的最小值为.
    故答案为:
    19.(2022·四川绵阳·二模(理))已知函数,下列关于函数的说法正确的序号有________.
    ①函数在上单调递增;
    ②是函数的周期;
    ③函数的值域为;
    ④函数在内有4个零点.
    【答案】①③④
    【解析】
    【分析】
    ①化简解析式,求出范围,根据正弦函数的单调性即可判断;
    ②根据奇偶性举特例验证f(x+2π)与f(x)关系即可;
    ③分类讨论求出f(x)解析式,研究在x≥0时的周期性,再求出值域即可;
    ④根据值域和单调性讨论即可.
    【详解】
    ∵函数,定义域为R,,∴为偶函数.
    当时,,,
    ,此时正弦函数为增函数,故①正确;
    ∵,
    ∴,
    而,
    ∴不是函数的周期,故②错误;
    当或,k∈Z时,,
    此时,
    当,k∈Z时,,
    此时,
    故时,是函数的一个周期,
    故考虑时,函数的值域,
    当时,,,此时单调递增,
    当时,,,此时单调递减,

    当时,,,此时,
    综上可知,,故③正确;
    由③知,时,,且函数单调递增,故存在一个零点,
    当时,,且函数单调递减,故存在一个零点,
    其他区域无零点,
    故当时,函数有2个零点,
    ∵函数为偶函数,∴函数在内有4个零点.故④正确;
    故答案为:①③④.
    20.(2022·四川广安·一模(理))定义运算“★”:.设函数,给出下列四个结论:①是的最小正周期;②在有2个零点;③在上是单调递增函数;④的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到.其中所有正确结论的序号是__________.
    【答案】①②
    【解析】
    【分析】
    ①:先化简得到,故由求出最小正周期;②:求出时或;③:整体法求解函数单调区间,进而作出判断;④:根据左加右减求出解析式,作出判断.
    【详解】
    ,故是的最小正周期,①正确;
    ,,故在或时,即或时,故在有2个零点,②正确;
    ,,此时在上单调递增,在上单调递减,故③错误;
    的图象向右平移个单位长度得到,故④错误.
    故选:①②




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    查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质-【查漏补缺】2022年高考数学(文)三轮冲刺过关:

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