查补易混易错点05 平面向量-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关(33122765)

查补易混易错点05 平面向量

平面向量的数量积及其性质是平面向量知识的重点内容，在平面向量中占有重要地位.利用平面向量的数量积及其性质可以解决有关向量长度，两向量夹角、垂直、平行等问题.数量积的运算一般有定义式和坐标式两种运算方式.平面向量的数量积运算的功能比较强大，不仅涉及平面几何中平行与垂直的关系证明，解析几何中以向量运算为亖景的题目是高考的热点，还涉及三角函数的运算等知识.

利用平面向量数量积的定义求解数量积、模长和夹角，体现了数学运算核心素养;向量语言与几何语言进行互译，数形结合解决问题，体现了直观想象核心素养;向量在物理学中的实际应用，体现了数学抽象和数学建模核心素养.

高考五星高频考点，2019年-2021年高考全国卷均在选择或填空题进行考查.

易错题【01】确定向量夹角时忽略向量的方向

【突破点】在判断两向量的夹角大小时,要注意把两向量平移到共起点,这样才不至于判断错误．特别要注意在△ABC中，的夹角不是角B，而是角B的补角，夹角是角B。

易错题【02】不会通过建立坐标系把向量问题转化为代数问题

【突破点】平面向量中有很多与平面几何交汇的问题，当所给平面图形为等腰三角形、直角三角形、矩形、直角梯形时常通过建立坐标系，把平面向量问题转化为代数问题求解，特别是求平面向量有关的最值与范围问题，常通过建立坐标系，转化为函数求最值，或利用基本不等式求最值。另外若题中有互相垂直的单位向量，也可建立坐标系，利用向量的坐标运算把向量问题转化为代数问题。

易错题【03】忽略向量共线致误

【突破点】在解决两向量夹角问题时,一般地,向量a,b为非零向量,a与b的夹角为θ,则①θ为锐角⇔a·b>0且a,b不同向，特别提醒：不要忽略a,b不同向；②θ为直角⇔a·b＝0；③θ为钝角⇔a·b<0且a,b不反向，特别提醒：不要忽略a,b不反向。

易错题【04】对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误

【突破点】(1)对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：当a＝0时,a与任一向量b都是共线的；当a＝0且b≠0时,b＝λa是不成立的,但a与b共线．因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求a≠0.换句话说,如果不加条件“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．

(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组．用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1,λ2∈R,e1,e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸．如果e1,e2是同一平面内的一组基底,且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1,λ2∈R),那么λ1＝λ2＝0.                     

【真题演练】

1．（2021·山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（       ）

A． B．

C． D．

2．（2021·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（       ）

A． B． C．1 D．0

3．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．（2021·湖南·高考真题）已知向量，，则___________

5．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．

6．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．

7．（2021·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．

【好题演练】

1．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，，且，则（       ）

A．9 B． C． D．不确定

2．（2022·全国·模拟预测）如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB、AD向外分别作正方形ABEF、ADMN，其中，，，则(       )

A． B． C．0 D．

3．（2022·全国·模拟预测（理））向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．长方体的体积

4．（2022·全国·模拟预测）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，若，则（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·模拟预测）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（2022·全国·模拟预测）P是所在平面内一点，D为BC的中点，满足，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·模拟预测）设向量，，且，则向量与的夹角为

A． B． C． D．

8．（2022·全国·模拟预测）在正方形中，为两条对角线的交点，为边上的动点.若，则的最小值为（       ）

A．2 B．5 C． D．

9．（2022·全国·模拟预测）在中，点是的重心，过点作直线分别交线段，于点，（，不与的顶点重合），则的最小值为___________.

10．（2022·全国·模拟预测（理））已知非零向量满足，，则___________．

11．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量，，且，则______．

12．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和______．

13．（2022·全国·模拟预测（理））若，，则与夹角的余弦值为___________.

14．（2022·全国·模拟预测（理））已知点P在圆上，，，则的最小值为___________.

15．（2022·全国·模拟预测（理））平面向量，满足：，，设向量，的夹角为，则的最大值为______．

16．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则______.

17．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则___________.

18．（2022·全国·模拟预测）已知单位向量，，若，则______.

19．（2022·全国·模拟预测）在中，边上的中线与边上的中线的交点为，若，则______．