回归教材重难点06 概率与统计-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关

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回归教材重难点06 概率与统计

概率与统计解答题是高考数学必考内容，该考点命题相对稳定，难度中等，是考生必须突破的核心内容之一.
高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。试题考查特点是以实际应用问题为载体，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、二项分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。
回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题.

1.求概率及随机变量的分布列与期望
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
2.超几何分布与二项分布
超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。
一般地，在含有件产品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，其中，且，称为超几何分布列.
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则.此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率.此时有.
3.概率与其它知识的交汇问题
在知识交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一，概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇.求解此类问题要充分理解题意.根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化.这类题型具体来说有两大类：
（1）所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题.求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解.
（2）所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和.
4.期望与方差的实际应用
数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度.现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案.
(1)若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量的期望，当时，不应认为它们一定一样好，还需要用来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度.
(2)若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近.
(3)方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断.
5.正态分布
解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴标准差分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率.注意在标准正态分布下对称轴为.
6.统计图表
（1）制作频率分布直方图的步骤.
第一步：求极差，决定组数和组距，组距
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；
第四步：画频率分布直方图.
（2）解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点.
①直方图中各小矩形的面积之和为1；
②直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距
③直方图中每组样本的频数为频率总体个数.
（3）用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法.
①众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；
②中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
③平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.
7.回归分析
线性回归分析的原理、方法和步骤：
(1)利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测.在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值.
(2)判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数.
(3)相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量.
(4)利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归.
8.独立性检验
解独立性检验应用问题的注意事项。
(1)两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题.
(2)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆.
(3)在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错.
(4)对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断，而非其他.

【真题演练】
1．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】
（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
2．（2021·全国·高考真题（理））某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【解析】
【分析】
（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】
（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.


3．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【解析】
【分析】
（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】
（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为









（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
4．（2020·全国·高考真题（理））某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r=，≈1.414.
【答案】（1）；（2）；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式计算即可；
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
【详解】
（1）样区野生动物平均数为，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本(i=1，2，…，20)的相关系数为

（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，
由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
【点晴】
本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
5．（2020·全国·高考真题（理））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】
（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲赢的概率为.
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为.
【点睛】
本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.


【好题演练】
1．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））2021年10月16日，是第41个世界粮食日．黑龙江作为全国粮食生产大省，连续十一年粮食产量位居全国首位．近年来受疫情影响，全国各地经济产值均有所下降．为改变现状，各省均推出支持企业落户创业政策，哈市某企业响应号召，引进一条先进食品生产线，以稻米为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m（），其质量指标等级划分如表：
质量指标值m
[70，75）
[75，80）
[80，85）
[85，90）
[90，95）
[95，100]
质量指标等级
废品
次品
三级
二级
一级
特级

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了10000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

(1)若将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记事件A为“抽出的产品中至少有1件为二级及以上产品”，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m不低于90的样本中利用分层抽样的方法抽取6件产品，然后从这6件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数X的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（2 质量指标值m
[70，75）
[75，80）
[80，85）
[85，90）
[90，95）
[95，100]
利润y（元）

－3t
2t
3t
4t
5t

每件产品的平均利润达到最大值时，试确定t值及此最大值（结果保留一位小数）．
（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．
【答案】(1)0.91；
(2)分布列见解析，1；
(3)t＝3.2时，每件产品的平均利润达到最大约为5.5．
【解析】
【分析】
（1）根据二项分布的性质进行求解即可；
（2）根据分层抽查的性质，结合古典概型计算公式、数学期望的公式进行求解即可；
（3）根据每件产品的平均利润表达式，结合导数的性质进行求解即可.
(1)
抽取到为二级及以上产品的件数为Y，则由频率分布直方图可得，任取1件产品为二级及以上产品的概率为：5（0.08+0.04+0.02）＝0.7．
则Y~B（2，0.7），
则；
(2)
由频率分布直方图得指标值大于或等于90的产品中，
的频率为0.04×5＝0.2，
的频率为0.02×5＝0.1，
∴利用分层抽样抽取的6件产品中，的有4件，的有2件，
从这6件产品中，任取3件，质量指标值的产品件数X的所有可能取值为0，1，2，则：
，，，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P




∴X的数学期望为：；
(3)
由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如表所示（2 质量指标值m
[70，75）
[75，80）
[80，85）
[85，90）
[90，95）
[95，100]
利润y（元）

－3t
2t
3t
4t
5t
P
0.05
0.1
0.15
0.4
0.2
0.1

∴每件产品的平均利润：
，（2 则，
令，解得t＝2ln5，
∴当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴当t＝2ln5时，h（t）取最大值为，
当t＝2ln5≈3.2时，每件产品的平均利润达到最大约为5.5．
2．（2022·四川·泸县五中模拟预测（理））为响应绿色出行，前段时间贵阳市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；超出部分按0.20元/分钟计费，已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红路灯等因素，每次路上开车花费的时间（分钟）是一个随机变量.现统计了100次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
时间（分钟）




频数
4
36
40
20

将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车的时间，范围为分钟.
(1)写出张先生一次租车费用（元）与用车时间（分钟）的函数关系式；
(2)若公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按24天计算）的车补是否足够上下租用新能源分时租赁汽车？并说明理由；（同一时段，用该区间的中点值作代表）
(3)若张先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.
【答案】(1)；
(2)张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用，理由见解析；
(3)分布列见解析，期望为.
【解析】
【分析】
（1）分类讨论得到一次租车费用（元）与用车时间（分钟）的函数关系式；
（2）求出一个月上下班租车的费用即得解；
（3）由题得可取，再求出对应的概率即得解.
(1)
解：当时，
当时，
所以.
(2)
解：张先生租用一次新能源分时汽车上下班，
平均用车时间为
每次上下班租车的费用约为
一个月上下班租车的费用约为，
估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用.
(3)
解：张先生租赁分时汽车为“路段畅通”的概率，
可取.
，
的分布列为：

0
1
2
3
p





所以
3．（2022·山西运城·二模（理））家用自来水水龙头由于使用频繁，很容易损坏.受水龙头在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件水龙头的利润与该水龙头首次出现损坏的时间有关.某阀门厂生产尺寸都为4分（指的是英制尺寸）的甲（不锈钢阀芯），乙（黄铜阀芯）两种品牌的家用水龙头，保修期均为1年（4个季度）.现从该厂已售出的这两种水龙头中各随机抽取200件，统计数据如下表：
品牌
甲
乙
首次出现损坏时间x（季度）





水龙头数量（件）
20
180
8
16
176
每件的利润（元）
3.6
5.8
2
4
6

将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲､乙两种品牌水龙头中各随机抽取一件，求恰有一件首次出现损坏发生在保修期内的概率；
(2)由于资金限制，只能生产其中一种品牌的水龙头.若从水龙头的利润的均值考虑，你认为应选择生产哪种品牌的水龙头比较合理？
【答案】(1)
(2)选择生产乙品牌水龙头比较合理
【解析】
【分析】
（1）先根据表中的数据分别求出甲、乙品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内的频率，从而可得甲、乙品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内的概率，然后根据独立事件的概率公式求解即可，
（2）记生产1件甲品牌水龙头的利润为（元），生产1件乙品牌水龙头的利润为（元），求出，的分布列，从而可求出其期望，进行比较可得结论
(1)
设“甲品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件A，则；
设“乙品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件B，则.
设“恰有一件首次出现损坏发生在保修期内”为事件C，则.
(2)
记生产1件甲品牌水龙头的利润为（元），生产1件乙品牌水龙头的利润为（元），则的分布列为

3.6
5.8
P




的分布列为

2
4
6
P




.
因为，
所以选择生产乙品牌水龙头比较合理.
4．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竞手机支付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，刷脸支付将会替代手机支付，成为新的支付方式．现从某大型超市门口随机抽取40名顾客进行调查，得到了如下列联表：

男性
女性
总计
支付

16
20
非刷脸支付
8


总计


40

(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？
(2)在抽取的40名顾客的样本中，根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取7名，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数X的分布列及数学期望．
附：，其中．

0.10
0.05
0.010
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879

【答案】(1)列联表见解析，没有90%的把握认为使用刷脸支付与性别有关
(2)分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】
(1)根据数据间的关系，补充列联表，计算的值，比较其与临界值的大小，由此判断是否有90%的把握认为使用刷脸支付与性别有关；(2)由条件可得X的取值有1，2，3，4，求出取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.
(1)
列联表补充如下：

男性
女性
总计
刷脸支付
4
16
20
非刷脸支付
8
12
20
总计
12
28
40

，
所以没有90%的把握认为使用刷脸支付与性别有关；
(2)
在抽取的40名顾客的样本中，按照分层抽样的方法在女性中抽取7名，则抽到刷脸支付的女性人数为4，非刷脸支付的女性人数为3，则X的可能取值为1，2，3，4．
；；
；．
故X的分布列为
X
1
2
3
4
P





．
5．（2022·安徽合肥·二模（理））通信编码信号利用信道传输，如图1，若信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若信道传输失败，则接收端收不到任何信号.传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）．

华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家Erdal Arikan 教授的极化码技术（以两个相互独立的信道传输信号为例）：如图3，信号直接从信道2传输；信号在传输前先与 “异或”运算得到信号，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号或．

（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“”表示：，，，．“异或”运算性质：，则）．假设每个信道传输成功的概率均为．．
(1)在传统传输方案中，设“信号和均被成功接收”为事件，求：
(2)对于极化码技术：①求信号被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定的值）的概率；②若对输入信号赋值（如）作为已知信号，接收端只解码信号，求信号被成功解码的概率.
【答案】(1)；
(2)①；②.
【解析】
【分析】
（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得答案；
（2）①当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由、的值可确定的值；
②若信道2传输失败、信道1传输成功， 被成功解码的概率为；若信道2、信道1都传输失败，此时信号无法成功解码；由此可求得答案.
(1)
解：设“信号和均被成功接收”为事件，则；
(2)
解：①，．
当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由、的值可确定的值，所以信号被成功解码的概率为；
②若信道2传输成功，则信号被成功解码，概率为；
若信道2传输失败、信道1传输成功，则，因为为已知信号，信号仍然可以被成功解码，此时被成功解码的概率为；
若信道2、信道1都传输失败，此时信号无法成功解码；
综上可得，信号被成功解码的概率为.
6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模（理））哈尔滨市工会为了解市民日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了1000名市民，利用手机计步软件统计了他们3月15日健步的步数，并将样本数据分为九组（单位：千步），将样本数据绘制成频率分布直方图如图，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.

(1)请利用频率分布直方图估计样本平均数和众数；
(2)由频率分布直方图可以认为，市民日健步步数（单位：千步）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，的值已求出约为3.64.现从哈尔滨全市市民中随机抽取5人，记其中日健步步数位于的人数为，求的数学期望.
参考数据：若，则，.
【答案】(1)平均数：千步；众数：千步
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图平均数和众数的计算公式求解即可；
（2）根据题意得，求出的值，
得到，根据分布类型求解即可.
(1)
样本平均数为：
样本众数；
(2)
根据题意得，；
所以，，即，
因为
，
所以，所以.
7．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）.体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组.

(1)第一小组决定从单次完成1-15个引体向上的男生中，按照分层抽样抽取22人进行全面的体能测试.
①在单次完成6-10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1-5个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的列联表.

学业优秀
学业不优秀
总计
体育成绩不优秀
200
400
600
体育成绩优秀
100
100
200
总计
300
500
800

请你根据列联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量，其中.
下面的临界值表供参考：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】(1)①；②分布列答案见解析，数学期望：
(2)有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关
【解析】
【分析】
（1）①先按照分层抽样求出1-5个、6-10个、11-15个分别抽取的人数，再由古典概型计算甲被抽中的概率即可；
②直接计算X为0､1､2，3的概率，列出分布列计算期望即可；
（2）直接计算进行判断即可.
(1)
①单次完成1-5个引体向上的人有人
单次完成6-10个引体向上的人有人
单次完成11-15个引体向上的人有人
单次完成1-15个的引体向上的男生共440人，按照分层抽样抽取22人，
设分别抽取人，则有.
所以，，
即从1-5中选4人，6-10个中选6人，11-15个中选12人，
又因为单次完成6-10个引体向上的人共有120人，
记“单次完成6-10个引体向上的学生中甲同学被抽中”为事件A，
则
②X的所有可能取值有0､1､2、3
，，
，
所以X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P





所以
(2)
因为


所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关.
8．（2022·江西上饶·二模（理））计算机和互联网的出现使得“千里眼”“顺风耳”变为现实．现在，的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在近一个时期内逐月攀升，如图是该创新公司年至月份的经济收入（单位：千万）的折线图．


(1)由折线图初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程；
(2)若该创新公司定下了年内经济月收入突破千万的宏伟目标，请你预测该公司能否达到目标？
附注：参考数据：，
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，
【答案】(1)
(2)能达到目标
【解析】
【分析】
（1）利用最小二乘法直接求解即可；
（2）将代入回归直线可求得，由此可得结论.
(1)
由题意得：，，
，
，
关于的回归方程为：.
(2)
当时，，该公司能达到目标.
9．（2022·安徽黄山·二模（理））“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有道“是非判断”题和道“信息连线”题，其中道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出道“是非判断”和道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.
(1)设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的道“是非判断”题和道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；
(2)已知该校高三（1）班共有位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为.
①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；
②求随机变量的方差.
【答案】(1)
(2)①或，理由见解析；②
【解析】
【分析】
（1）分甲同学答对四道、五道、六道题，分析出是非判断题和信息连线题答对的题的数量，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；
（2）①分析可知，设最大，可得出，解出的取值范围，即可得解；
②利用二项分布的方差公式可求得的值.
(1)
解：记事件甲同学晋级成功，则事件包含以下几种情况：
①事件“共答对四道”，即答对余下的是非判断题，答错两道信息连线题，则
.
②事件“共答对五道”，即答错余下的是非判断题，答对余下的三道信息连线题，则.
③事件“共答对六道”， 即答对余下的四道问题，，
所以.
(2)
解：①由题意可知，设最大，
则，即，
可得，解得，即最有可能取的值为或；
②由二项分布的方差公式可得.
10．（2022·四川师范大学附属中学二模（理））数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫()内的数字均含1－9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
(1)赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如表的数据：
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒)
990
990
450
320
300
240
210

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？
(2)小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．
参考数据(其中)：



1845
0.37
0.555

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
【答案】(1)，150；
(2).
【解析】
【分析】
(1)令，设y关于t的线性回归方程为，则，，据此即可求出回归方程，将x＝50代入方程即可预测50天后的速度y；
(2)设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负．小明获胜的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4).
(1)
由题意，，
令，设y关于t的线性回归方程为，
则，
则．
∴，又，
∴y关于x的回归方程为，
故时，．
∴经过50天训练后，每天解题的平均速度y约为150秒．
(2)
设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，
由题意知，最多再进行4局就有胜负．
当时，小明4：1胜，∴；
当时，小明4：2胜，∴；
当时，小明4：3胜，∴．
∴小明最终赢得比赛的概率为．
11．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））甲乙两队各有2位队员共4人进行“定点投篮”比赛，规定在一轮比赛中，每人投篮一次，投中一球得2分，没有投中得0分.现已知甲队两位队员每次投篮投中的概率均为.乙队两位队员每次投篮投中的概率分别为.
(1)若，分别计算甲乙两队在一轮比赛中得2分的概率，并根据这两个数据说明哪个队在一轮比赛中得到2分的可能性大？
(2)某同学发现：若，则甲乙两队在一轮比赛中得分的期望值就相等；他根据这一发现又得出结论：若，则在一轮比赛中，按两队的均分决定胜负，这两队一定是平局；记在一轮比赛中甲队得分为，乙队得分为，请你写出甲乙两队得分的分布列，对该同学的发现的正确性给予证明，并简要说明该同学得出的结论是否正确.
【答案】(1)甲队的概率为，乙对的概率为，乙队在一轮比赛中得到2分的可能性大.
(2)分布列见解析，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分别求得甲队和乙对在一轮比赛中得2分的概率为和，即可得到结论；
（2）根据题意，分别得到甲队和乙对得分为、的可能取值，求得相应的概率，分别求得甲队和乙队的期望，结合期望值，即可得到结论.
(1)
解：因为甲队两位队员每次投篮投中的概率均为，
乙队两位队员每次投篮投中的概率分别为，
甲队在一轮比赛中得2分的概率为，
乙队在一轮比赛中得2分的概率为，
因为，所以乙队在一轮比赛中得到2分的可能性大.
(2)
解：由题意，甲队得分为的可能取值，
可得，，，
所以随机变量的分布列为：

0
2
4





所以甲队得分期望为，
乙队得分为的可能取值，
可得，，，
所以随机变量的分布列为：

0
2
4





所以乙对得分期望为，
若，可得，甲乙两队在一轮比赛中得分的期望值就相等，
这位同学的结论是不正确的，因为期望相等仅代表大量重复比赛结束后两同学的得分平均取值大小应该相等，但在实际的一局比赛中，比分仍然是不确定的，两人得分可能不等，所以结论不正确。
12．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））羽毛球看似小巧，但羽毛球运动却有着丰富的文化内涵，简洁的场地､几个人的组合，就可以带来一场充满乐趣､斗智斗勇､健身休闲的竞技比赛，参与者可以根据自己的年龄､性别､身体条件､技术水平，选择适合自己的运动强度和竞技难度.小胡和小李两名员工经常利用业余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛小胡获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立.
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若现在是小胡的比分落后，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)

2
3
4





期望
【解析】
【分析】
（1）先求出小李获胜的概率，再分别求出恰好打6局时小胡获胜概率和小李获胜概率相加即可；
（2）列出所有取值，求解概率即可.
(1)
恰好打了6局小胡获胜的概率是，
恰好打了6局小李获胜的概率为，
所以结束时恰好打了6局的概率为.
(2)
的所有可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列如下：

2
3
4





所以.
13．（2022·陕西榆林·三模（理））某商场为提高服务质量，随机调查了20名男顾客和20名女顾客，根据每位顾客对该商场服务质量的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图．
男顾客

女顾客



8
8
7
5
3
7
2
2
3
3
5
6
7
8

8
7
6
5
5
2
1
8
0
1
2
2
5
7
7
8
9
7
6
5
5
3
0
0
9
0
0
1
2





(1)根据茎叶图判断男、女顾客中，哪类顾客对该商场的服务质量更认可？并说明理由．
(2)将这40名顾客的评分的中位数记为，求，并将评分超过和不超过的顾客数填入下面的列联表：

超过
不超过
男顾客


女顾客



(3)根据（2）中的列联表，能否有90％的把握认为顾客对该商场服务质量的评分与性别有关？
附：．

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

【答案】(1)男顾客对该商场的服务质量更认可，理由见解析；
(2)，列联表见解析；
(3)没有90％的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关．
【解析】
【分析】
（1）根据男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在，可判断出结果；
（2）求出中位数后，结合茎叶图计算可得出列联表中的数据；
（3）求出，根据临界值表可得结论.
(1)
男顾客对该商场的服务质量更认可．
理由如下：由茎叶图可知，男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在，故男顾客对该商场的服务质量更认可．
(2)
由茎叶图可知，．
列联表如下：

超过
不超过
男顾客
11
9
女顾客
7
13

(3)

故没有90％的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关．
14．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为（每场单打比赛不考虑平局的情况）．
(1)求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率；
(2)设比赛结束后甲队的得分为随机变量，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，可知在5场比赛中，甲队赢3场，从而可得概率；
（2）根据二项分布可解答.
(1)
记“五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分”为事件，而五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分，即五场单打比赛中甲队赢3场，乙队赢2场，
所以
(2)
由题意，可取.
所以；
；
；
；
；
.
所以的分布列为：

0
1
2
3
4
5








所以.
(或者，所以).
15．（2022·四川·仁寿一中二模（理））近年来，我国电子商务蓬勃发展，某创业者对过去100天，某知名A产品在自己开的网店和实体店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知网店与实体店销售量相互独立.

(1)写出频率分布直方图中a的值，记实体店和网店的销售量的方差分别为，试比较的大小；（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
(2)网店回访服务，若查知某天该网店所销售的A产品被10名不同的顾客（其中2名男性）购买，现从这10名顾客中随机选2人进行服务回访，求恰好选到一人是男性的概率；
(3)若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于30件可盈利，记求未来三天实体店盈利的天数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)a=0.015，
(2)
(3)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】
【分析】
（1）利用频率之和为求得，根据方差的知识，结合频率分布直方图判断出.
（2）利用古典概型的概率计算公式，计算出所求概率.
（3）结合二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.
(1)
（0.020+0.010+0.030+a+0.025）×10=1，a=0.015
通过比较两个频率分布直方图可知，实体店销售量比网店更集中､稳定，故.
(2)
从这10名顾客中随机选2人进行服务回访，求恰好选到一人是男性为事件A，则
(3)
由题意，实体店销售量不低于30件的概率为0.4，所以盈利的概率为0.4，
故的可能取值为.相应的概率为


分布列为

0
1
2
3






因为，所以期望为.