回归教材重难点01 数列-【查漏补缺】2022年高考数学（文）三轮冲刺过关

回归教材重难点01  数列

数列一般作为高考全国卷第17题或第18题，数列作为高中数学学科的主干内容，又是历年来是高考重点考查内容之一，经常以其作为载体考查学生分析问题、构建数学模型、解决问题的能力.但是考查内容又比较侧重基本公式的应用和基础运算能力，所以掌握数列的常见题型及解题策略尤为重要.而作为数列解答题目的考查，命题立意相对稳定，难度上多为中档题目.若在学习过程中掌握了典型题型的解题方法，就可以在高考中顺利地解决数列问题.数列主要考查以下题型：

(1)等差数列与等比数列的综合；

(2)求解数列的通项和前项和；

(3)数列的综合.

1.判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下.

(1)定义法：对于的任意正整数：

①若为一常数，则为等差数列；

②若为常数，则为等比数列.

(2)通项公式法：

①若，则为等差数列；

(2)若，则为等比数列.

(3)中项公式法：

①若，则为等差数列；

②若，则为等比数列.

(4)前项和法：若的前项和满足：

①，则为等差数列.

②，则为等比数列.

2.常见求解数列通项公式的方法有如下六种：

(1)观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式.

(2)累加法：形如的解析式.

(3)累乘法：形如

(4)公式法

(5)取倒数法：形如的关系式

(6)构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差(比)数列构造为等差(比)数列来求通项公式.

3.求数列前项和的常见方法有以下四种.

(1)公式法：利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和.

(2)裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消.常见的裂项相消变换有以下形式.

①分式裂项：；

②根式裂项：；

③对数式裂项；

④指数式裂项

4.几种常见的数列放缩方法：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

【真题演练】

1．（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；

（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.

【详解】

（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，

所以，所以，

即，解得，所以，

所以.

（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和

，

，

．

设，       ⑧

则．        ⑨

由⑧-⑨得．

所以．

因此．

故．

[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法

证明：由（1）可得，

，①

，②

①②得 ，

所以，

所以，

所以.

[方法三]：构造裂项法

 由（Ⅰ）知，令，且，即，

通过等式左右两边系数比对易得，所以．

则，下同方法二．

[方法四]：导函数法

设，

由于，

则．

又，

所以

，下同方法二．

【整体点评】

本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.

（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；

方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；

方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，

方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.

2．（2021·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.

【详解】

∵数列是等差数列，设公差为

∴，

∴，

∴当时，

当时，，满足，

∴的通项公式为，

∴

∴是等差数列.

【点睛】

在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况.

3．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

【答案】(1)；(2)7.

【解析】

【分析】

(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】

(1)由等差数列的性质可得：，则：，

设等差数列的公差为，从而有：，

，

从而：，由于公差不为零，故：，

数列的通项公式为：.

(2)由数列的通项公式可得：，则：，

则不等式即：，整理可得：，

解得：或，又为正整数，故的最小值为.

【点睛】

等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

4．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；

(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.

【详解】

解：（1）[方法一]【最优解】：

显然为偶数，则，

所以，即，且，

所以是以2为首项，3为公差的等差数列，

于是．

[方法二]：奇偶分类讨论

由题意知，所以．

由（为奇数）及（为偶数）可知，

数列从第一项起，

若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，

若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．

所以，则．

[方法三]：累加法

由题意知数列满足．

所以，

，

则．

所以，数列的通项公式．

（2）[方法一]：奇偶分类讨论

．

[方法二]：分组求和

由题意知数列满足，

所以．

所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．

从而数列的前20项和为：

．

【整体点评】

(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；

方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；

方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.

(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；

方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.

5．（2020·全国·高考真题（文））设等比数列{an}满足，．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；

（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果.

【详解】

（1）设等比数列的公比为，

根据题意，有，解得，

所以；

（2）令，

所以，

根据，可得，

整理得，因为，所以，

【点睛】

本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.

【好题演练】

1．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在等差数列中，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）列出公差和首项的方程组求解即可；（2）利用错位相减法求和即可.

(1)

设等差数列的公差为，由，，

得：，解得：

数列的通项公式为：.

(2)

由（1）知：，

所以①

②

①减去②得：

，

所以.

2．（2022·江西·模拟预测（文））已知数列满足.

(1)求数列的通项公式：

(2)设数列的前项和为，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）对原式进行下标的缩减，结合等比数列的通项公式，即可求得；

（2）根据（1）中所求，求得以及，分组求和即可求得结果.

(1)

当时，由得

两式作差得，即，又

所以数列是从第二项开始公比为2的等比数列，

故.

(2)

当时，；

当时，，时，亦满足上式.

所以

即

.

3．（2022·江西·模拟预测（文））己知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列前n和为，求使得成立的n的最大值.

【答案】(1)

(2)10

【解析】

【分析】

(1)由 和等比中项的概念可求出数列的首项和公差，然后利用等差数列的通项公式即可求出答案；

（2）先求出的通项公式，利用裂项相消法求出，解不等式，即可求出答案.

(1)

因为成等比数列，所以，则，

又，所以，又，

所以，

所以.

(2)

要使，即解得，故最大整数n的值为10.

4．（2022·江西九江·一模（文））已知数列的前n项和为，且满足，数列的前n项和为.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)求.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用，即证数列为等比数列.

（2）先求得，然后求得，利用分组求和法即得.

(1)

当时，，，

当时，，①

，②

①－②得，即.

又，

∴是首项为，公比为2的等比数列.

(2)

由（1）知，，

∵，

∴，

∴

.

5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））设为数列的前项和，已知，．

(1)证明：为等比数列；

(2)求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？

【答案】(1)证明见解析

(2)；，，成等差数列．

【解析】

【分析】

（1）由递推关系式可得，由此可证得结论；

（2）由等比数列通项公式可推导得到，由等比数列前项和可求得，由可得结论.

(1)

由得：，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列.

(2)

由（1）得：，；

；

，，即，

，，成等差数列.

6．（2022·四川达州·二模（文））已知数列满足，，为的前n项和.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前100项和.

【答案】(1)

(2)5050

【解析】

【分析】

（1）由等差数列的定义，可得数列是首项为1 ，公差为2的等差数列，从而根据等差数列的通项公式即可求解；

（2）由（1）知，利用并项求和法及等差数列的求和公式即可求解.

(1)

解：因为，所以，又，

所以数列是首项为1 ，公差为2的等差数列，

所以；

(2)

解：由（1）知，

因为，

所以

.

7．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））已知数列中，，，设.

(1)求，，；

(2)判断数列是不是等比数列，并说明理由；

(3)求数列的前n项和.

【答案】(1)，，；

(2)是等比数列，理由见解析；

(3).

【解析】

【分析】

（1）根据递推关系写出、，进而可得，，

（2）由题设可得，结合题设等量关系即可判断是否为等比数列.

（3）应用分组求和及等比数列前n项和公式求.

(1)

由题设，，，

所以，，.

(2)

由题设，，而，

所以是首项为，公比为的等比数列，又，

所以是首项为，公比为的等比数列.

(3)

由（2）知：，则.

8．（2022·四川·仁寿一中二模（文））数列与满足：，是与的等差中项，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意，，转化可得，即，由等比数列的通项公式即得解；

（2）代入可得，分组求和即可

(1)

∵是与的等差中项，

∴.∴.

∴，即.

∴.

∴数列的通项公式为.

(2)

由（1）知：.

∴.

∴.

∴

.

9．（2022·四川泸州·二模（文））设正项数列的前n项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：①，；②；③.请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，且数列的前n项和为，求n的值.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解；

（2）根据上一问结论先化简，再利用裂项抵消法进行求解.

(1)

解：选①：由得：

， 所以，

又因为，因此数列为等比数列，

设数列的公比为，则，由，

解得或（舍去），

所以；                                                                              

选②：因为，

当时，，又，

所以，即，所以，

所以当时，，

两式相减得，

即，

所以数列是，公比为2的等比数列，

所以；

选③：因为，

当时，，

所以，即，

当时，，

两式相减，得，

即，

当时，满足上式．

所以；

(2)

解：因为

，

设，

则；

令，得.

10．（2022·山西·一模（文））已知各项都不相等的等差数列中，，且，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用等比中项的性质及等差数列通项公式求基本量，即可得的通项公式；

（2）由（1）有，应用分组求和，结合等差、等比数列前n项和公式求.

(1)

若的公差为，则，

所以，解得，则.

(2)

由（1）知：，

所以.

11．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））在递增的等比数列中，前n项和为，若，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

小问1：由得，化为，从而求得公比，即可求通项公式；

小问2：利用的通项公式求得，根据等差求和公式即可求解．

(1)

设等比数列的公比为q，由得．

∴，即，∴.依题意，可知．

∴．

(2)

由（1）可得，∴，

故．

12．（2022·山西吕梁·一模（文））已知正项数列的前n项和为，且满足.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

小问1：利用通项公式与的关系即可求出；

小问2：根据(1)可得，结合错位相减法即可求出前n项和．

(1)

已知①

当时，由解得

则当时，，②

①②两式相减得

整理得，

因为，所以

所以数列是以为首项，公差为2的等差数列

(2)

由（1）得，所以

所以

两式相减得

所以

13．（2022·全国·模拟预测（文））已知数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)当时，求数列的前n项和为．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）当时可得，令，则，即可得到数列是首项为，公比为的等比数列，从而求出，即可求出数列的通项公式；

（2）利用分组求和法及等差数列前项和公式求和即可；

(1)

解：当时，，则，令，则，

又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，即，从而；

(2)

解：因为，

所以

．

14．（2022·全国·贵阳一中二模（文））已知正项数列的前n项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据，利用数列通项与前n项和的关系求解；

（2）由（1） 得到，进而得到，再分n为偶数和奇数，两种情况，利用并项求和法求解.

(1)

解：由，

得，

两式相减得：，

则，

即，

因为，

所以，

又，解得或（舍去），

所以数列是以4为首项，以2为公差的等差数列，

所以；

(2)

由（1）知：，

所以，

则，

当n为偶数时，，

，

；

当n为奇数时，，

，

.

所以.

15．（2022·全国·模拟预测（文））已知数列的前n项和为，，且对任意，都有．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)（）；

(2)（）.

【解析】

【分析】

（1）利用与的关系可得，即得；

（2）利用错位相减法即得.

(1)

因为，所以，

因为，所以，

当时，，，

两式相减得，，   

因为，

所以对任意，都有，

所以（）．

(2)

由题可得，

∴，

，

两式相减得，，

所以（）．