回归教材重难点05 函数与导数-【查漏补缺】2022年高考数学（文）三轮冲刺过关

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回归教材重难点05 函数与导数

函数与导数解答题是高考数学必考内容，该考点命题相对稳定，难度较大.
函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：
(1)含参函数的单调性、极值与最值；
(2)函数的零点问题；
(3)不等式恒成立与存在性问题；
(4)函数不等式的证明.
(5)导数中含三角函数形式的问题
其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点.

1.含参数函数单调性讨论
（1）导函数为含参一次型的函数单调性
导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间.
（2）导函数为含参二次型函数的单调性
当主导函数(决定导函数符号的函数)为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题.对于此二次函数根的判定有两种情况：
①若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；
②若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性.
（3）导函数为含参二阶求导型的函数单调性
当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰.“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器.
在此我们首先要清楚之间的联系是如何判断原函数单调性的.
①二次求导目的：通过的符号，来判断的单调性；
②通过赋特殊值找到的零点，来判断正负区间，进而得出单调性.
2.双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
3.证明不等式
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
4.极最值问题
利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
5.零点问题
函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
6.不等式恒成立问题
（1）利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
（2）利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
①，；
②，；
③，；
④，.
（3）不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
①若，，有成立，则；
②若，，有成立，则；
③若，，有成立，则；
④若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
7.函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
（1）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
（2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.


【真题演练】
1．（2020·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
【答案】（1）详见解析；(2).
【解析】
【分析】
（1），对分和两种情况讨论即可；
（2）有三个零点，由（1）知，且，解不等式组得到的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.
【详解】
（1）由题，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
令，得或，所以在上单调递减，在
，上单调递增.
（2）由（1）知，有三个零点，则，且
即，解得，
当时，，且，
所以在上有唯一一个零点，
同理，，
所以在上有唯一一个零点，
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为.
【点晴】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.
2．（2020·全国·高考真题（文））已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】
（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
【点睛】
本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.
3．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间
【解析】
【分析】
（1）[方法三]不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数 ，再求导得到，根据的正负，判断 的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性.
【详解】
（1）
[方法一]【最优解】：
等价于．
设，则．
当时，，所以在区间内单调递增；
当时，，所以在区间内单调递减．
故，所以，即，所以c的取值范围是．
[方法二]：切线放缩
若，即，即当时恒成立，
而在点处的切线为，从而有，
当时恒成立，即，则．所以c的取值范围为．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数的定义域为：
，
设，则有 ，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范围为．
（2）且
因此，设 ，
则有，
当时，，所以， 单调递减，因此有，即
，所以单调递减；
当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减，
所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间.
【整体点评】
(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用；
方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是使用切线放缩的基础.
方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.
4．（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【详解】
(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
(2)若选择条件①：
由于，故，则，
而，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.



，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于，故，则，
当时，，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
当时，构造函数，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
注意到，故恒成立，从而有：，此时：
，
当时，，
取，则，
即：，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.



，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
5．（2021·全国·高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
【点睛】
方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
6．（2021·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2) 和.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
【详解】
(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
切线方程为：,
与联立得，
化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为
解得,
，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
【点睛】
本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.


【好题演练】
1．（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知函数，函数的最大值为．
(1)求的值；
(2)求证：
①与的一条公切线过原点；
②．
【答案】(1)；
(2)① 证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）分类讨论，利用导数求函数的最值即得；
（2）利用导数的几何意义可得函数的过原点的切线，即证；进而可得只需证，构造函数，利用导数求最值即得.
(1)
显然，，由得，
若，当时，；当时，．有最小值，不符合题意．
若，当时，；当时，．
有最大值，
故．
(2)
①由，得，设切点坐标为，
切线为，又过原点，
所以，故，
故切线方程为
由题知，
设的切点为，切线为
由切线过原点，得，故切线方程为．
所以与有一条公切线过原点．
②由①知要证，
即证，即且（等号不同时成立）
令，，
当时，；当时，．
所以，
所以，当且仅当时取等号．
令，所以．
所以，当时，；当时，．
故，
所以，当且仅当时取等号．
综上，.
【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
2．（2022·陕西汉中·二模（文））已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数的值及函数的单调区间；
(2)若时，，求的最大值（注：表示不超过实数的最大整数）.
【答案】(1)，减区间是，增区间是；
(2)2
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，由求得，由得增区间，得减区间；
（2）不等式变形为，设，求出导函数，利用第（1）小题结论得出在上存在唯一零点，得的最小值，由此可得结论．
(1)
，，又，所以，，
，
时，，时，，
所以减区间是，增区间是；
(2)
时，，，
，
设，则，
由（1），，
，，
所以在上存在唯一零点，设零点为，，
所以时，，递减，时，，递增，
，
，所以满足题意的的最大整数为2．即．
3．（2022·陕西宝鸡·三模（文））已知函数
(1)函数为的导函数，讨论当时的单调性；
(2)当时，证明：存在唯一的极大值点.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由导数分析单调性求解，
（2）由导数分析单调性，及零点存在性定理证明．
(1)
，设，则.
当时，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)
证明：当时，，，
由（1）可知的最小值为，而，又，
由函数零点存在定理可得存在使得，又在上单调递减，
所以当时，，当时，，故为的极大值点，
又在上单调递增，故在上不存在极大值点，
所以存在唯一的极大值点，
4．（2022·甘肃·二模（文））已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数，证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分类讨论求解单调区间即可.
（2）首先将题意转化为证明，设，运用隐零点求出函数的单调区间和最小值，再令求解即可.
(1)
的定义域.

当时，分下面三种情况讨论：
①当时，恒成立，所以在单调递增；
②当时，，令，得，或，
所以在和单调递增，在单调递减；
③当时，，令，得，或，所以在和单调递增，在单调递减.
综上，当时，在和为增函数，在为减函数；时，在为增函数；
当时，在和为增函数，在为减函数.
(2)
（2）当时，要证明，
即证.
设，则，
又函数在为增函数，而，
所以存在，使得，且有，
所以在为减函数，在为增函数.
所以，
令，显然在为减函数，所以，
即，而，所以，
即，
故当时，恒成立.
5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模（文））已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)设，是函数图象上的两个相异的点，若恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，.
(2).
【解析】
【分析】
（1）对求导，根据其导函数与极值的关系即得；
（2）由题得，构造即有，进而转化为在上恒成立，即可求范围.
(1)
当时，，
由，得或，
x







0

0

y

极大值

极小值


，.
(2)
不妨设，由，得
，即，
设，则有时，，
则在单调递增，在恒成立，
又，，得，
又，当且仅当时，取等号，
，
.
6．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））已知函数，其中a为实数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)令，若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求导函数，分时，时，讨论导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）对函数求导函数，分析其导函数的符号，得出函数的单调性和最值，由恒成立思想建立不等式，求解即可.
(1)
解：函数的定义域为，．
①当时，，此时函数单调递增，函数的增区间为，没有减区间，
②当时，令，可得，
此时函数的减区间为，增区间为；
(2)
解：由，
有．
令，得，所以函数的增区间为，减区间为，
所以，
若恒成立，必有，解得，
若恒成立，则实数a的取值范围为．
7．（2022·陕西·模拟预测（文））已知函数．
(1)若在处取得极值，求的单调区间；
(2)若函数有1个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为
(2)或
【解析】
【分析】
（1）求导，因为函数再处取得极值，所以（1），解得，进而可得函数的解析式，再求导，分析函数的单调性．
（2）分类讨论，利用导数判断函数的单调性，根据函数的零点个数，确定函数的最值情况，从而求得答案.
(1)
，
，
因为函数在处取得极值，
所以，
所以，
所以，，
故当时，所以，函数单调递减，
当 时，，函数单调递增，
所以函数在处取得极小值，所以实数的值为2，
函数的单调减区间为，单调增区间为．
(2)
当 时，，而 ，此时函数无零点，不合题意；
当时，， ，
函数单调递减，
作出函数   的大致图象如图：

此时在的图象在 内有一个交点，即在有一个零点；
当时，，
当时，，函数递增，
当时，，函数递减，
故 ，
作出函数的大致图象如图

此时要使函数有1个零点，需使得，
即，解得 ，
综合上述，可知求a的取值范围为 或 .
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的单调区间以及函数零点问题，解答时要明确函数的单调性以及极值和导数之间的关系，解答的关键是分类讨论，利用导数判断函数单调性，确定函数零点有一个的处理方法.
8．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数，若恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解；
（2）求导，令，分，和讨论求解.
(1)
解：当时，，
所以，
所以，
所以在点处的切线方程为：，
即：.
(2)
，
则，
令，
当时，当时，，
当时，，得，
所以当时，在上单调递增，且，
所以时，，此时；
时，，此时；
当时，，此时有两个零点，设为，且，
因为，
所以，
在上单调递减，所以此时，
即不恒成立.
综上所述：.
9．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知函数．
(1)若仅有一个零点，求a的取值范围；
(2)若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由导数讨论函数单调性后列不等式求解
（2）由导数分类讨论函数单调性后求最值
(1)

①时，恒成立，在上单调递增，易知其有1个零点，满足题意
②时，时，时
故在和上单调递增，在上单调递减
，
由题意仅有1个零点，故，解得
综上，的取值范围是
(2)
由（1）可知
①时，在区间上单调递增，
②即时，在区间上单调递减，
③即时，在区间上单调递减，在上单调递增
，，
故
综上，
可得
10．（2022·安徽黄山·二模（文））已知函数.
(1)求的极值；
(2)当时， 求证：.
【答案】(1)极小值为，无极大值；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数及零点，再探讨在零点左右值的符号即可作答.
（2）在给定条件下，等价变形要证不等式，再构造函数，借助单调性推理作答.
(1)
函数定义域为R，求导得，由得x=0，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取极小值，无极大值.
(2)
因，有，，
令，求导得，
当时，，，即，则，
因此，在上单调递增，当时，，即，
所以当时，成立.
【点睛】
关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
11．（2022·新疆·三模（文））已知函数．
(1)若曲线在点处的切线l与y轴垂直，求实数a的值；
(2)当时，若函数在处取得极大值，求证．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由导数的几何意义列方程求解
（2）由导数研究单调性后用表示，代入解析式计算证明
(1)
因为，
所以，依题意得，解得．
(2)
令，即，
因为，所以上述方程有两不等实根，，且，
不妨设，因为，
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，在处有极大值．
由可得，
因此，由及可得，所以

．得证
12．（2022·贵州·模拟预测（文））已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数在（为自然对数的底数）上有零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导，得，然后对进行分类讨论即可求解
（2）在上有零点等价于方程在上有根，即在上成立，然后，令，进而利用导数讨论的范围，进而可求解
(1)
，
①当，时，，当时，，则函数在上单调递减，在和单调递增；
②当时，在恒成立，则函数在上单调递增；
③当，时，，当时，，则函数在上单调递减，在和上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递减，在和上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.
(2)
在上有零点等价于方程在上有根，
即在上成立.
令，因为.
当时，，，所以，所以，所以在上单调递增.
又，
所以，，所以实数a的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：（1）主要利用分类讨论的方法处理含参单调性问题；（2）把转化为，的有解问题，难点在于讨论的情况，属于难题
13．（2022·安徽合肥·二模（文））已知函数．
(1)设函数，若是区间上的增函数，求的取值范围；
(2)当时，证明函数在区间上有且仅有一个零点．
【答案】(1)
(2)证明见及解析
【解析】
【分析】
（1）求导．令，求导，根据函数是区间上的增函数，由在区间上恒成立求解；
（2）求导．利用导数法证明.
(1)
解：．
设，则．
∵函数是区间上的增函数，
在区间上恒成立
若，则恒成立，此时；
若，此时，
恒成立，即恒成立；
．
综合上：的取值范围是．
(2)
当时，，
则．
在区间上单调递增．
，，
∴存在，使得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又，，
∴函数在区间上有且仅有一个零点．
14．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为，，单调递增区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接利用导数求单调区间；
（2）把问题转化为恒成立，令，利用导数判断单调性，求出，即可求出实数m的取值范围.
(1)
由题意知.∵，∴，解得或，，解得，
∴的单调递减区间为，，单调递增区间为.
(2)
∵对任意的恒成立，∴.
令，则.
令，则，易得在上单调递增，∴在上恒成立.
∴在上单调递增，在上恒成立.
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴.
∴，即实数m的取值范围是.
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
15．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用零点讨论法即得；
（2）由题可知，利用函数的性质求最值即得.
(1)
当时，.
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以无解；
当时，，解得，所以
综上所述，不等式的解集是.
(2)
由题意知，只需满足即可.
因为，
所以.
又，所以
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
由，得,
即，所以，
即实数的取值范围为.
16．（2022·陕西榆林·三模（文））已知函数.
(1)若在上不单调，求的取值范围；
(2)证明：当时，对任意的，都有.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求的导函数，讨论、、结合的单调性及题设列不等式组求范围即可.
（2）利用导数研究的区间单调性，进而判断区间最大函数值符号，即可证结论.
(1)
因为，所以，
当时递增，只需，，可得；
当时，此时单调，不合题设；
当时递减，只需，，可得；
综上，的取值范围为.
(2)
令得：，即使.
当时，单调递减；当时，单调递增.
又，，所以，，得证.