查补易混易错点03 不等式-【查漏补缺】2022年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）

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查补易混易错点03 不等式1．相等关系与不等关系（1）等式与不等式的性质梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。（2）基本不等式理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。2．从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（1）从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。（2）从函数观点看一元二次不等式①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集。②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。等式与不等式在高考中独立考查的题目不是很多，大都与其他知识点结合考查，例如2021年新高考全国卷Ⅰ中便考查了利用基本不等式求积的最大值与平面解析几何的综合；当然不等式也长会与函数、导数以及数列等知识相结合进行考查。易错点01不等式性质应用不当不等式基本性质是不等式的基础，有些性质是条件不等式，在使用这些性质解题时，务必要检验成立条件，不能想当然套用，忽视了就会出错。易错点02  忽视等号同时成立的条件，扩大了范围在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式。易错点03  去分母时没有判断分母的符号解分式不等式的依据是分式的基本性质a>b,c>0a c >b c；a >b,c<0a c <b c。解分式不等式基本思想是通过去分母将分式不等式转化为整式不等式，但在去分母之前必须对分母的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论。易错点04  解含参数不等式时分类讨论不当含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合。易错点05  忽视均值不等式应用条件均值不等式≥2（）取等号的条件是“一正，二定，三相等”。在解题过程中，务必要先检验取等号的三个条件是否成立。常规的解法是①如果积或和不是定值，设法构造“定值”；② 若是不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；③若是等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用单调性求解。易错点06 平面区域不明一条直线把平面分成两个半平面，在每个半平面内的点（x，y）使值的符号一致。鉴于此，作不等式对应的平面区域方法是画线定界，取点定域，若含等号画实线，否则画虚线。易错点07  求目标函数最值时忽视的系数的符号解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时，动直线在y轴上的截距越大，目标函数值越大，截距越小，目标函数值越小；反之，当B<0时，动直线在y轴上截距越大，目标函数值越小，截距越小，目标函数值越大。其中的系数的符号是解题的关键，也是同学们经常忽略的地方。【真题演练】1．（2021·全国·高考真题（文））若满足约束条件则的最小值为（       ）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.【解析】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【解析】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.4．（2021·江苏·高考真题）已知函数的定义域是.（1）求实数的取值范围;（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出恒成立，然后通过即可得出结果；（2）本题首先可根据得出，然后通过计算即可得出结果.【解析】（1）因为函数的定义域是，所以恒成立，则，解得，的取值范围为.（2），即，因为，所以，即，解得，故不等式的解集为.【模拟演练】
一、单选题1．（2021·河北唐山·三模）已知函数，则不等式的解集为（       ）A．  B． C．  D．【答案】D【分析】将代入解析式翻译出来化简即可转化为常规的一元二次不等式问题.【解析】由得即整理得：.所以，，解得故选D.2．（2021·福建泉州·二模）设集合，，若，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解一元二次不等式得集合，根据集合之间的关系可得结果.【解析】根据题意得，，∵，∴.故选：D.3．（2021·山东泰安·三模）已知集合，，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式，化简集合，然后求并集即可.【解析】易得，又∴，故选：A4．（2021·湖北·一模）已知正数是关于的方程的两根，则的最小值为（       ）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【解析】由题意，正数是关于的方程的两根，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，经检验知当时，方程有两个正实数解.所以的最小值为.故选：C.5．（2021·湖南·长沙一中一模）已知向量，，则的最大值为（       ）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】将坐标代入计算可得，然后讨论的大小并结合基本不等式计算可得结果.【解析】由题意可得，当时，上式小于等于0，当时，原式，当且仅当时等号成立，故最大值为1.故选：D6．（2021·广东佛山·一模）已知正实数a，b满足：，则的最小值为（       ）A． B． C．6 D．无最小值【答案】B【分析】对去分母得，代换中的，再结合“1”的妙用即可求解【解析】由，则，，当且仅当时取到等号，故的最小值为.故选：B7．（2021·广东珠海·二模）已知，满足，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由给定条件分析出a>0，b<0及a与b间的关系，针对各选项逐一讨论即可得解.【解析】因，，则a>0，b<0，，A不正确；，则，B不正确；又，即，则，，C正确；由得，D不正确.故选：C8．（2021·江苏南京·三模）在正方形中，为两条对角线的交点，为边上的动点.若，则的最小值为（       ）A．2 B．5 C． D．【答案】C【分析】以点为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，求出已知点的坐标，然后设出点的坐标，代入已知关系式，即可求出，的关系式，然后根据基本不等式即可求解．【解析】如图所示，以点为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则，，，，则根据中点坐标公式可得，设点的坐标为，则由，可得，，，所以，则，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为，故选：C二、多选题9．（2021·江苏南通·一模）已知，，则（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据基本不等式及其性质，结合“1”的妙用以及对勾函数的性质，逐项进行分析判断即可得解.【解析】对于A，因为，所以，从而，正确.对于B，因为，所以，解得，所以，正确.对于C，令()，，在为增函数，所以在上单调递增，从而，即，错误.对于D，因为，所以，正确.故选：ABD10．（2021·广东梅州·二模）若，下列不等式中正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据题中条件，先得到；由特殊值，，可排除BD；利用作差法比较与，可判断A正确；作差比较与，可判断C正确.【解析】因为，所以；A选项，，即A正确；B选项，若，，则，故B错；C选项，因为，，，所以，即C正确；D选，若，，则，故D错.故选：AC.11．（2021·湖南湘潭·一模）若，，则（       ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】对于A，有，所以A正确；对于B，分析得，所以B不正确；对于C，分析得到，所以C正确；对于D，作差法得到 ，所以D正确.【解析】由已知，有，．对于A，有，所以A正确；对于B，因为，且，，，所以，得，所以B不正确；对于C，因为，且，，，所以，所以C正确；对于D，因为，而，因为，所以，故，所以D正确.故选：ACD．12．（2021·山东聊城·三模）已知实数a、b，下列说法一定正确的是（       ）A．若，则B．若，则C．若，，，则的最小值为8D．若，则【答案】BC【分析】根据指对数函数的性质及基本不等关系对选项进行一一分析即可.【解析】对于A，当时，，故A错误；对于B，若，则，两边取对数得，故B正确；对于C，若，，，则，当且仅当，即时等号成立，故C正确；对于D，取，，故D错误；故选：BC三、填空题13．（2021·江苏南通·三模）已知，则的最小值为_____________．【答案】【分析】直接利用1的代换，结合基本不等式，即可得答案；【解析】，等号成立当且仅当，即.故答案为：.14．（2021·广东汕头·三模）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.【答案】【分析】根据指数函数的图像性质求出A点坐标，代入直线方程，利用均值不等式即可求解.【解析】解：函数（且）的图象恒过定点A，，点A在直线上，，又，，，，当且仅当，即时等号成立，所以mn的最大值为，故答案为：.15．（2021·湖南怀化·一模）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为________________．【答案】【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把用表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．【解析】由不等式解集知，由根与系数的关系知，则，当且仅当，即时取等号．故答案为：．16．（2021·山东·泰安一中模拟预测），若2是与的等比中项，则的最小值为___________.【答案】3【分析】根据等比中项列方程，结合基本不等式求得的最小值.【解析】由题可得，则，当且仅当时等号成立.故答案为：四、解答题17．（2021·福建漳州·一模）∆ABC的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求∆ABC面积的最大值；（2）若为边上一点，，，且，求.【答案】（1）最大值为；（2）.【分析】（1）根据正弦定理求出角，再根据余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可确定三角形的面积的最大值；（2）首先求出，再求出，再在∆ABC中利用正弦定理即可求出的长.【解析】（1）根据及正弦定理，可得，即，可得.，.，.根据余弦定理可得，，当且仅当时等号成立，∆ABC的面积为，∆ABC的面积的最大值为.（2）由可得，，，.在∆ABC中，利用正弦定理可得，即，解得.18．（2021·湖南·模拟预测）设个互异的正偶数与个互异的正奇数的和为99．（1）求证：；（2）求的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）13．【分析】（1）记个互异的正偶数为，，，，个互异的正奇数为，，，，运用等差数列的求和公式和不等式的性质，即可得证；（2）由均值不等式可得，化简整理，结合，为正整数，可得所求最大值．【解析】解：（1）记个互异的正偶数为，，……，；个互异的正奇数为，，…，，易知，①，②由①②及已知条件，得．（2）由（1）知，，即．由平均值不等式，得，化简得，即．注意到为正整数，且，得．取，，易知，且可取6个互异的正偶数2，4，6，8，10，20和7个互异的正奇数1，3，5，7，9，11，13，满足．可知完全符合题目条件要求，故中等号取得到．所以的最大值为13．19．（2021·广东·普宁市普师高级中学二模）已知函数．（1）解不等式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出函数的导数，得出函数的单调性，再结合奇偶性，求解即可；（2）设出切点坐标，表示出切线方程，由在切线上  得，由题知方程应有3个解，从而构造函数，求出m的范围即可．【解析】（1）定义域为R，，  为奇函数，，为单调递增函数．所以，所以，不等式解集为．（2）设切点为，则切线方程为．在切线上，，即.由题意得，关于的方程有三个不等的实根，设，则，令，则或，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以的极小值为，极大值为.故．