查补易混易错点04 数列-【查漏补缺】2022年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）

查补易混易错04  数列

1.数列概念

通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。

2.等差数列

①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。

②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。

③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。

④体会等差数列与一元一次函数的关系。

3.等比数列

①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。

②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。

③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。

④体会等比数列与指数函数的关系。

4.数学归纳法：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。

数列在高考中的考查题量虽然不大，但却是高考的必考点，尤其在进行新高考改革后，数列题的考查有增多的趋势，例如在2021年新高考全国卷Ⅰ中填空题中的第16题考查了利用错位相减法求和，难度一般；解答题的第17题考查了由递推数列研究数列的有关性质，难度一般。

易错点01  由求时忽略对“”检验

在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验。

易错点02  忽视两个“中项”的区别

若成等比数列，则为和的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。

易错点03  等比数列求和时忽视对讨论

与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为0，等比数列的其前n项和为分段函数，其中当q=1时，。而这一点正是我们解题中被忽略的。

易错点04  用错了等差、等比数列的相关公式与性质

等差、等比数列各自有一些重要公式和性质，这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。

易错点05  用错位相减法求和时项数处理不当

如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分①原来数列的第一项；②一个等比数列的前n-1项和；③原来数列的第n项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共项，有时只有项。另外，如果公比为字母需分类讨论。

易错点06  数列中的最值错误

数列的通项公式与前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于用函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，有时即使考虑了n为正整数，但对于n为何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。

【真题演练】

1．（2021·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（       ）

A．9 B．10 C．11 D．12

2．（2021·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（       ）

A． B． C． D．

3．（2021·全国·高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

4．（2021·全国·高考真题）设正整数，其中，记．则（       ）

A． B．

C． D．

5．（2021·江苏·高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.

6．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

7．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

8．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：

①，且；

②；

③，．

（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；

（2）若数列是数列，求；

（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．

【模拟演练】

一、单选题

1．（2021·江苏省天一中学三模）电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道:三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀?舟妹唱道；九十九条圩上卖，九十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才）.事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把条狗分成群，每群都是单数，群少，群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分?舟妹已唱出其中一种分法，即，那么，所有分法的种数为（       ）

A． B．

C． D．

2．（2021·湖北·襄阳四中一模）已知递增等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则（       ）

A． B． C． D．

3．（2021·江苏盐城·三模）已知数列的通项公式为，则其前项和为（       ）

A． B． C． D．

4．（2021·山东省实验中学二模）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（       ）

A． B． C． D．

5．（2021·福建莆田·二模）已知等差数列满足，则的值为（       ）

A． B． C． D．

6．（2021·广东佛山·一模）已知数列的前n项和，，则k的值为（       ）

A．2 B． C．1 D．

7．（2021·湖南衡阳·二模）在等差数列中，，则此等差数列的前9项之和为（       ）

A．5 B．27 C．45 D．90

8．（2021·河北衡水中学三模）已知数列是等比数列，是其前项之积，若，则的值是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题

10．（2021·广东·红岭中学二模）已知数列{an}，{bn}均为递增数列，{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Tn．且满足an+an+1＝2n，bn•bn+1＝2n（n∈N*），则下列说法正确的有（       ）

A．0＜a1＜1 B．1＜b1 C．S2n＜T2n D．S2n≥T2n

11．（2021·江苏·常熟中学三模）斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a米的铁丝，需要截成n(n>2)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是（       ）

A．100 B．143 C．200 D．256

12．（2021·湖南衡阳·一模）设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”.则下列数列为“吉祥数列”的有（       ）

A． B． C． D．

三、填空题

13．（2021·山东菏泽·二模）已知正项数列的前n项和为，且，则不超过的最大整数是_____________．

14．（2021·江苏苏州·三模）已知等差数列{an}的前n项和为{Sn}，公差为d，若，则d=______．

15．（2021·福建福州·二模）已知正项等比数列的前项和为，，则__________.

16．（2021·河北唐山·三模）已知等差数列的前n项和为，，，则__________．

四、解答题

17．（2021·江苏南京·二模）设非常数数列满足，，其中常数，均为非零实数，且.

（1）证明：数列为等差数列的充要条件是；

（2）已知，，，，求证：数列与数列中没有相同数值的项.

18．（2021·广东湛江·二模）已知：数列中，，，，.

（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

19．（2021·湖北武汉·三模）已知各项均为正数的数列的前项和为，，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

20．（2021·湖南·长沙一中一模）设等比数列的前n项和为，已知，且成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前n项和．