查补易混易错点05 空间向量与立体几何-【查漏补缺】2022年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）

查补易混易错点05 空间向量与立体几何

1．立体几何初步

（1）基本立体图形

①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。

③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。

（2）基本图形位置关系

①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理。

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。

定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明。

③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明。

④能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。

2．空间向量与立体几何

（1）空间直角坐标系

①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置。

②借助特殊长方体（所有被分别与坐标轴平行)顶点的坐标。

（2）空间向量及其运算

①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。

②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

（3）向量基本定理及坐标表示

①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。

④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）。

（4）空间向量的应用

①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。

②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。

③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。

④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

空间向量与立体几何基本是高考的必考题，在2021年的新高考全国卷Ⅰ中考查了3道，分别为第3题，第12题和第20题；其中第3题较为简单，主要考查了圆锥中截面的有关计算；第12题较难，属于压轴题，主要考查了空间向量数量积的求解；解答题中的第20题难度一般，主要考查了锥体体积的有关计算问题。

易错点01  不会将三视图还原为几何体

在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规则，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为实线。在还原几何体形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。

易错点02  对斜二测法规则掌握不牢

由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半。对此考生常见的错误有①不会建新坐标系，②不会用“倒过去”的方法还原几何体，③“位置规则”和“长度规则”不清楚。

易错点03 空间点、线、面位置关系不清

空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。

易错点04  平行关系定理使用不当

证明空间平行关系的基本思想是转化和化归，但要正确应用定理并注意定理的应用条件。如在证明直线a//平面α时，不能忽略直线a在平面α外。证明有关线线，线面，面面平行时使用定理应注意找足条件，书写规范，推理严谨。

易错点05 　垂直关系定理使用不当

证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在证明线线垂直时，可先把其中一条直线视为某平面内的直线，然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另一条直线垂直于这个平面，进而达到证明线线垂直的目的。

易错点06 利用空间向量求线面角几种常见错误

若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。

易错07  二面角概念模糊

若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，在解此类题时，应先求出两个平面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。

利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为①建立空间坐标系，写出相关点的坐标；②用向量表示相应的直线；③进行向量运算；④将运算结果转化为相应的位置关系。解此类问题常见错误有①不会将空间问题转化为向量问题；②不会建系，不会用向量表示直线，③计算错误，④使用定理出错，⑤书写不规范。

【真题演练】

1．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（       ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（       ）

A． B．

C． D．

3．（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（       ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线相交，直线平面

D．直线与直线异面，直线平面

4．（2021·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（       ）

A． B． C． D．

5．（2021·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（       ）

A．当时，的周长为定值

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，有且仅有一个点，使得

D．当时，有且仅有一个点，使得平面

6．（2021·山东·高考真题）已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（       ）

A．假设，，那么

B．假设，，，那么

C．假设，，那么

D．假设，，，，那么

7．（2021·山东·高考真题）直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，那么直棱柱的侧面积是______．

8．（2021·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.

9．（2021·山东·高考真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．

（1）求与所成角的余弦值；

（2）求证：．

10．（2021·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

11．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

（I）求证：平面；

（II）求直线与平面所成角的正弦值．

（III）求二面角的正弦值．

【模拟演练】

一、单选题

1．（2022·河北保定·一模）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（       ）

A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3

2．（2021·福建省南安第一中学二模）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（       ）（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）．

A． B． C． D．

3．（2022·山东聊城·一模）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·湖北·一模）设，为两个不同的平面，则的一个充要条件可以是（       ）

A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面

C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线

5．（2022·湖南岳阳·二模）已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·广东茂名·二模）若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥的侧面积是（       ）

A． B． C． D．

7．（2022·江苏·金陵中学二模）为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（       ）

A． B．若平面PAC，则

C．若为钝角三角形，则 D．若，则为锐角三角形

8．（2021·江苏南京·一模）钺（yuè）的本字其实是“戊（yuè）”，是一种斧头．在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出，“越人”的“越”，其含义可能由“戊”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一样，也是指斧头．如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔（xie）形”，其尺寸如图标注（单位：cm），已知铁的比重为，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g）所在的区间为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2021·江苏南通·二模）在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法中正确的有（       ）

A．平面

B．与所成角的余弦值为

C．三棱锥的体积为定值

D．平面内存在与和底面交线平行

10．（2021·广东佛山·一模）如图，已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（       ）

A．外接球的表面积为

B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则

C．过点P作平面截圆锥的截面面积的最大值为

D．设长方体为圆锥的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为

11．（2021·湖南·三模）如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（       ）

A．平面平面

B．三棱锥四个面都是直角三角形

C．与所成角的余弦值为

D．过的平面与交于，则面积的最小值为

12．（2021·湖北·武汉市第一中学二模）如图，已知四棱锥中，平，，，为中点，在上，，，则下列结论正确的是（       ）

A．面

B．与平面所成角为30°

C．四面体的体积为

D．平面平面

三、填空题

13．（2021·山东菏泽·二模）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，若侧面BCC1B1（含边界）内动点P满足BP=2PC，则线段DP长度的最大值为_________ ．

14．（2021·福建省南安第一中学二模）如图，在长方体中，，，，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是_________．

15．（2021·河北保定·一模）已知为等边三角形，底面，三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值是___________．

16．（2021·江苏南通·一模）已知正三棱锥的所有棱长均为1，，，分别为棱，，上靠近点的三等分点，则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面圆的周长为___________.

四、解答题

17．（2021·江苏淮安·二模）如图1所示，梯形ABCD中，AD＝2AB＝2BC＝2CD＝4．E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）

(1)求证：AF⊥CD；

(2)求平面AFC与平面ADE所成的二面角的正弦值．

18．（2021·广东广州·三模）如图，在棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，底面ABCD为平行四边形，CD=2AD=4，∠BAD，且D′在底面上的投影H恰为CD的中点.

（1）过D′H作与BC垂直的平面α，交棱BC于点N，试确定点N的位置，并说明理由；

（2）若二面角C′﹣BH﹣A为，求棱柱ABCD﹣A′B′C′D′的体积.

19．（2021·湖南湘潭·一模）如图，在三棱锥中，底面，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小．

20．（2021·湖北·黄冈中学三模）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，.

(1)求证: 平面;

(2)设，若直线与平面所成的角为 ，求二面角的余弦值.