查补易混易错点07 计数原理与概率统计-【查漏补缺】2022年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）

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查补易混易错点07 计数原理与概率统计1．计数原理（1）两个基本计数原理：通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。（2）排列与组合：通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式。（3）二项式定理能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理（参见案例17，18），会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。2．概率（1）随机事件的条件概率①结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率。②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系。③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率。④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率。*了解贝叶斯公式。（2）离散型随机变量及其分布列①通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布及其数字特征（均值、方差）。②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题。③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题。（3）正态分布①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量。通过具体实例、借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征。②了解正态分布的均值、方差及其含义。3．统计（1）成对数据的统计相关性①结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系。②结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性。（2）一元线性回归模型①结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件。②针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测。（3）2×2列联表①通过实例，理解2×2列联表的统计意义。②通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用。计数原理与概率统计，在选择题和解答题中均有考查，2021年新高考中选择题考查了2道（第8、9题）解答题考查了1道（第18题），其中第8题考查了独立事件的判断，难度一般；第9题考查了总数、平均数、中位数的比较，较为简单；第18题为解答题，主要考查了简单离散型随机变量的分布列，难度较小。易错点01 互斥事件与对立事件关系模糊“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件A与事件B在一次实验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B在一次实验中有且只有一个发生，因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。易错点02  使用概率加法公式没有注意成立条件概率加法公式是指当事件A、B为互斥事件时，则有，否则只能使用一般的概率加法公式P(A+B)＝P(A)+P(B)- P(A∩B)。解此类题关键是要分清已知事件是由哪些互斥事件组成的，然后代公式P(A+B)＝P(A)+P(B)求解，若已知事件不能分解为几个互斥事件的和，则只能代一般的概率加法公式。易错点03 运用古典概型概率公式解题时计数出错运用古典概型的概率公式解题时，需确定全部基本事件的个数，及所求事件A包含的基本事件数，然后代公式为。为此，计数是解题的关键，求解时①要分清是“分类”还是“分步”，分类时要不重不漏，分步时要注意连续性；②要分清“有序”还是“无序”， 有序用排列，无序用组合；③ 要分清“放回”还是“不放回”。 易错点04  将其它问题转化为几何概型时出错几何概型具有两大特点：一是试验的可能的结果为无限个；二是试验的结果在一个区域内均匀分布。解题的关键是判断试验的结果在哪个区域内是均匀的。易错点05  使用直方图解题时错把纵坐标当成频率统计学的基本思想之一是用样本的频率分布估计总体的概率分布，其中最常用来表示频率分布图形是直方图。解与直方图有关的识图题时，一定要看清图中横坐标和纵坐标分别表示什么，单位是什么，唯有这样才能正确求解。易错点06  对样本数字特征认识不到位统计学的另一基本思想是通过科学合理地获取样本，再通过对样本数据的处理，用样本数字特征去估计总体的相应数字特征。对此我们要有一个辩证的理解，即有时会出现偏差，而解决这一问题的方法是适度增加样本容量，当样本容量越大，它对总体接近程度越大，可信度越高。易错点07  在求离散型随机变量分布列时忽视所有事件概率和为1解答此类题常见的错误为①事件的概率不会求；②所求的事件概率不满足。对于②我们通常先求出一些简单事件的概率，如果某事件的概率不好求，在确保其它事件的概率正确的前提下，可用性质求解。【真题演练】1．（2021·山东·高考真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（       ）A．0 B． C． D．322．（2021·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（       ）A． B． C． D．3．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（       ）A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等4．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（       ）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立5．（2021·全国·高考真题）下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（       ）A．样本的标准差 B．样本的中位数C．样本的极差 D．样本的平均数6．（2021·全国·高考真题）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（       ）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同7．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．8．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)【模拟演练】一、单选题1．（2021·河北秦皇岛·二模）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的名男医生(含一名主任医师)､名女医生(含一名主任医师)中分别选派名男医生和名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（       ）A． B． C． D．2．（2021·福建莆田·二模）“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即．下图是我国年数据根据图中数据，年我国的平均增长量为（       ）A．4.60万亿元 B．5.39万亿元 C．6.74万亿元 D．8.99万亿元3．（2021·山东菏泽·二模）下列说法错误的是（       ）A．用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好B．已知随机变量，若，则C．某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量．则D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大4．（2021·湖北武汉·二模）一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为（       ）A．2 B．3 C．4 D．55．（2021·湖南湘潭·一模）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？问题二：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（       ）A．7% B．8% C．9% D．30%6．（2021·广东深圳·二模）五国际劳动节放假三天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（       ）A． B． C． D．7．（2021·广东广州·二模）如图，有一种变压器，铁芯的截面是正十字形（阴影部分，其中矩形绕其对称中心按顺时针方向旋转后与矩形重合），已知，正十字形有一个外接圆，从外接圆内部随机取一点，此点取自正十字形的概率为，则（       ）A． B． C． D．8．（2021·江苏苏州·三模）已知，则（       ）A．15 B．20 C．60 D．160二、多选题9．（2021·河北石家庄·二模）某校举行学习党史知识比赛，甲、乙两个班各有10名同学参加，根据成绩绘制茎叶图如下，则（       ）A． B． C． D．10．（2021·福建·漳州三中三模）已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第项的系数为，二项式系数为，，则下列结论正确的是（       ）A．数列是等比数列B．数列的所有项之和为729C．数列是等差数列D．数列的最大项为2011．（2021·山东淄博·三模）下列说法正确的是（       ）A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取20名学生B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点C．命题“，”的否定是“，"D．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小12．（2021·湖北十堰·二模）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（       ）A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64C．常数项为 D．常数项为135三、填空题13．（2021·湖南·长沙一中一模）已知，则_____________．14．（2021·广东珠海·二模）已知某校期末考试数学平均分，则___________.附：，15．（2021·江苏淮安·三模）在的二项展开式中，常数项为___________.16．（2021·江苏南通·二模）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．四、解答题17．（2021·江苏徐州·二模）甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．18．（2021·河北邯郸·三模）现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率约为，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同，在一次演习中，红方的甲、乙两名优秀飞行员发射1枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为和，两名飞行员各携带枚空对空导弹．(1)甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻击相互独立，求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率；(2)蓝方机群共有架战机，若甲、乙共同攻击（战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，甲、乙不同时攻击同一架战机），一轮攻击中，每人只有两次进攻机会．①记一轮攻击中，击中蓝方战机数为，求的分布列；②若实施两轮攻击（即用完携带的导弹），记命中蓝方战机数为，求的均值．19．（2021·福建福州·二模）某种病菌在某地区人群中的带菌率为，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法.现引进操作易、成本低的新型检测方法：每次只需检测，两项指标，若指标的值大于4且指标的值大于100，则检验结果呈阳性，否则呈阴性.为考查该检测方法的准确度，随机抽取50位带菌者（用“*”表示）和50位不带菌者（用“+”表示）各做1次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图：（1）从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，求检测结果呈阳性的概率；（2）能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关？（3）现用新型检测方法，对该地区人群进行全员检测，用频率估计概率，求每个被检者“带菌”且“检测结果呈阳性”的概率.附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828 20．（2021·山东菏泽·二模）“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：；，其中， ，， 均为常数，为自然对数的底数令，经计算得如下数据：，，，，，，，，，，问：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立，关于的回归方程（系数精确到0.01）（3）若希望2021年盈利额y为500亿元，请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到0.01）附：①相关系数r＝回归直线中：，参考数据：，．