专题04 立体几何（文科专用）-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训（全国通用）

专题04 立体几何

立体几何作为高考数学必考大题，一般出现在19或20题左右，文科方面主要是分两问，第一问主要考查线面间位置关系，第二问主要考查空间距离问题，表面积体积问题，主要牵涉到方法等体积法求距离问题。

类型一：空间几何体体积问题

例题1．在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，∠SCA=90°，D为SA的中点，SC=BD=2.

(1)如图，过BD画出三棱锥S—ABC的一个截面，使得这个截面与侧面SAC垂直，并进行证明；

(2)求（1）中的截面将三棱锥S—ABC分割成两个棱锥的体积之比.

【答案】(1)答案见解析  (2)1:3

【解析】

(1)：取的中点，连接BE、DE，则即为所作的截面，如图所示.

下面证明：因为是的中位线，所以，

又，所以.

因为是等边三角形，所以.

又，平面，所以平面.

又平面，所以平面平面.

(2)：由是的中位线，得；

由是边长为2的等边三角形，得；

又，所以，由勾股定理的逆定理，得，即，

由（1）得平面平面，平面平面，所以平面.

；

，

故截面将三棱锥分割成两个棱锥的体积之比为.

类型二：折叠问题

例题 2 边长为2的正方形ABCD中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P.

(1)证明：平面平面PMN；

(2)求多面体APCMN的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

证明：在正方形中有，

∴，，又平面PMN,

所以平面PMN，

而平面APN，

所以平面平面PMN.

(2)：易知，，∴

∴

由得（其中h为点P到底面AMN的距离）

即，∴.

因此该多面体的体积.

类型三： 存在性问题

例题 3  如图，三棱柱中，底面为正三角形，平面，且，是的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，若存在，求长；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【解析】三棱柱中，平面，则，

底面为正三角形，且是的中点，则，

，则平面，

平面，平面平面.

(2)，

底面为边长为2的正三角形，是的中点，，

, ，解得，

即，

在侧棱上是存在一点，且，使得三棱锥的体积是.

类型四： 空间几何体综合问题

例题 4 如图，在三棱柱中，为棱的中点，平面．

(1)试确定点的位置，并证明平面；

(2)若是等边三角形，，，且平面平面，求四面体的体积．

【答案】(1)延长，交的延长线于点N；证明见解析；(2).

【解析】(1)延长，交的延长线于点N．

∵，平面，

∴平面．

又∵，∴平面，点N即为所求．

连接，交直线于点O，连接OM．

∵，∴．

又∵M为线段的中点，

∴，即M为线段NB的中点．

在三棱柱中，四边形为平行四边形，

∴O为线段中点，∴OM为中位线，∴．又∵平面，平面，

∴平面．

(2)取线段的中点G，连接．

由条件知，为等边三角形，∴，且．

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，即是三棱锥的高．

又∵，∴．

由（1）知，，，

∴，

∴四面体的体积．

1．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知四边形为等腰梯形，，，四边形为矩形，点，分别是线段，的中点，点在线段上．

(1)探究：是否存在点，使得平面∥平面？并证明；

(2)若，线段在平面内的投影与线段重合，求多面体的体积．

【答案】(1)存在点I为线段AD的中点时，平面GHI∥平面ACN；证明见解析；(2).

【解析】

(1)当点为线段的中点时，平面∥平面．

证明过程如下：在矩形中，，分别是线段，的中点，，

又平面，平面，故∥平面．

在中，，分别为，的中点，，

又平面，平面，∥平面．

，，，

平面∥平面；

(2)如图，过点作于，线段在平面内的投影与线段重合，

故平面平面，而平面平面，

平面，故平面，同理，平面．

在(1)的条件下，连接，，

在中，，，，同理可得．

又，故等边三角形的高为，即．连接．

故

．

2．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为垂足．

(1)当点在线段上移动时，判断是否为直角三角形，并说明理由；

(2)若，当点是的中点，且时，求三棱锥的体积．

【答案】(1)是直角三角形；理由见解析(2)

【解析】(1)解：是直角三角形．理由如下：

平面，

，又底面是矩形，

，且，平面，又平面，

，又，且，

平面，又平面，

，即，

当点在线段上移动时，是直角三角形．

(2)：平面平面，

，又，

平面，又平面，，

，又是矩形，，

，，，

，又，点是的中点，所以，

又因为平面，取的中点，连接，则有，且，

平面，即为三棱锥的高，

，

，

三棱锥的体积为．

3．（2022·山西运城·高三期末（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点．

(1)证明：平面PAB；

(2)若点N到平面PCM的距离为，求的值．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】(1)

证明：连接AC

在中，因为，，，

所以，因为，，所以是等边三角形．

因为点是的中点，所以，

在中，，，，

满足，所以，

而，所以平面；

(2)过点作，垂足为，

由（1）可知平面，因为平面，

所以平面平面，平面平面，

所以平面．由得，

，

解得，所以.

4．（2022·河南·模拟预测（文））如图，直四棱柱的底面为菱形，，，，分别为，的中点．

(1)证明：平面；

(2)平面将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的体积为，较小的体积为，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】【分析】

(1)证明：连接，交于点，连接，，

因为，分别为，的中点，所以，且，

因为为的中点，所以，且，

所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，故平面．

(2)：延长，交于点，

则，分别为，的中点，，，

再连接，交于点，则为的中点，，连接，

所以平面将该直四棱柱分成两部分中体积较小的部分为三棱台．

因为三棱台的体积等于三棱锥的体积减去三棱锥的体积，

所以

．

又直四棱柱的体积为，

所以，故．

5．（2022·全国·高三专题练习）如图①，在菱形ABCD中，，，E为AD的中点，将折起至使，如图②所示.

(1)求证：平面平面；

(2)若P为上一点，且平面BPD.求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】(1)，，

，又，，，，，

，即，又平面，又平面，

∴平面平面.

(2)连接CE，得平面平面，如图，

又平面BPD，，

由知，即，

，，即.

6．（2022·甘肃靖远·高三期末（文））如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．

(1)证明：平面平面．

(2)若为的中点，，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见详解；

(2).

【解析】(1)证明：因为圆所在的面，即平面，

而平面，所以，

因为是圆的直径，为圆周上一点，所以，

又，所以平面，而平面，则，

因为，，所以，

又，所以，

又为线段的中点，所以，

又，所以平面，而平面，

故平面平面.

(2)

解：由（1）得，平面，平面，

则，平面，

由题可知，为的中点，，则，

，

由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

而，

，

由于平面，则点到平面的距离为，

设点到平面的距离为，

由，即，

则，解得：，

所以点到平面的距离为.

1．（2021·全国·）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）因为底面，平面，

所以，

又，，

所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（2）[方法一]：相似三角形法

 由（1）可知．

于是，故．

因为，所以，即．

故四棱锥的体积．

[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法

     由（2）知,所以．

建立如图所示的平面直角坐标系，设．

因为，所以，，，．

从而．

所以，即．下同方法一.

2．（2021·全国·）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.

（1）求三棱锥的体积；

（2）已知D为棱上的点，证明：.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）先证明为等腰直角三角形，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；

（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.

【详解】

（1）由于，，所以，

又AB⊥BB1，，故平面，

则，为等腰直角三角形，

，.

（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，

正方形中，为中点，则，

又，

故平面，而平面，

从而.

3．（2020·全国·）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，

在上，，

是圆内接正三角形，，≌，

，即，

平面平面，平面平面；

（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，

，解得，，

在等腰直角三角形中，，

在中，，

三棱锥的体积为.

4．（2020·全国·）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）分别为，的中点，

又

在等边中，为中点，则

又侧面为矩形，

由，平面平面

又，且平面，平面，

平面又平面，且平面平面

又平面平面平面

平面平面

（2）过作垂线，交点为，画出图形，如图

平面平面，平面平面

又

为的中心.

故：，则，

平面平面，平面平面，

平面平面

又在等边中

即由（1）知，四边形为梯形

四边形的面积为：

，为到的距离，

.

5．（2020·全国·）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：

（1）当时，；

（2）点在平面内．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）因为长方体,所以平面,

因为长方体,所以四边形为正方形

因为平面,因此平面,

因为平面,所以；

（2）在上取点使得,连,

因为,所以

所以四边形为平行四边形，

因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形， ，所以四点共面，

因此在平面内