专题07 参数方程极坐标方程-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训（全国通用）

专题07 极坐标系与参数方程

极坐标与参数方程作为高考选做题目之一，相对来说难度较小，一般考查极坐标方程，参数方程与标准方程之间的转化。重点题型是在直线的标准参数方程中t的绝对值的几何意义，利用极坐标求长度面积等。

类型一：利用t的几何意义

例题1已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为.

(1)求C的普通方程以及l的直角坐标方程；

(2)若l与C交于M，N两点，求的值.

【答案】(1)，(2)

【解析】（为参数），

故C的普通方程为.由l的极坐标方程可得，

即，故l的直角坐标方程为.

(2)依题意，l的参数方程可写为（t为参数），

将l的参数方程代入中，整理得.

则，设，是方程的两个实数根，则，，

故.

例题2 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程；

(2)已知直线与曲线交于两点，，求证：为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】(1)由已知两边同乘得，

由得曲线的普通方程为；

(2)设交点两点对应的参数分别为，

将（为参数）代入得，

由韦达定理得，，

∴ ，，

∴，

故为定值1.

类型二：极坐标与参数方程综合应用

例题 3 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，m为常数）以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)若曲线C与直线l有公共点，求m的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【解析】(1)由曲线C的极坐标方程得，，

即曲线C的直角坐标方程为．

由（t为参数，m为常数）得，，

即直线l的普通方程为．

(2)

由（1）知曲线C是以点（1，1）为圆心，2为半径的圆，圆C与直线l有公共点，

即圆心（1，1）到直线l的距离，

即，故，

则m的取值范围是．

例题 4 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于，两点.

(1)求的值；

(2)若点是曲线上不同于，的动点，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【解析】

(（1）可化为：，

将代入，得曲线的直角坐标方程为：.

将直线的参数方程为，代入化简可得：，

设点，所对应的参数方程分别为，，满足，由

由直线参数的几何意义得，.

(2)将直线的参数方程化为普通方程得： ，

设，得点到直线的距离为：

，

即：.

由（1）知，当取最大值时，，

所以面积的最大值为.

1．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程（t为参数），在以原点О为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点到直线距离的最小值．

2．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），其中是的倾斜角，且．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的直角坐标方程和焦点坐标；

(2)记直线与轴、轴分别交于、两点，与曲线分别交于、两点． 若、、成等比数列，求直线的直角坐标方程．

3．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)若点的极坐标为，直线与曲线交于两点，求的值.

4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；

(2)设直线与坐标轴交于两点，点在椭圆上运动，求面积的最大值.

一、解答题

1．（2021·全国·（理））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程;

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

2．（2021·全国·（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．

3．（2020·全国·（理））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

4．（2020·全国·（理））已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

5．（2020·全国·（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.

（1）求||：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.