专题04 以椭圆为情景的最值与范围问题——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

椭圆必会十大基本题型讲与练

04   以椭圆为情景的最值或范围问题

典例分析  

类型一：利用函数思想求范围或最值

1．如图，已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围（    ）

A．[-1，1] B． C． D．(-1，0)

2．已知曲线，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C.记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为.求的最小值.

3．已知点是椭圆上任一点，那点到直线：的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

4．椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

类型二：利用不等式思想求范围或最值

1．椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

2.如图，过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若<k<，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

类型三：利用数形集合思想求范围或最值

1．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点.点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足，，则|MN|的最大值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

2．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________.

3．椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，的面积是___________.

方法点拨

一、与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求最值或取值范围.

(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．

(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．

(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．

二、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

（1）几何法：特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

（2）代数法：常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

三、椭圆几何性质的应用技巧

(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．要理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量之间的内在联系．

(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，三角形两边之和大于第三边．在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．

巩固练习 

1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞)

C．(0,1)∪(1,5)  D．[1,5)∪(5，＋∞)

2．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为（    ）

A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11

3．已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为12，则m的值是（    ）

A．2 B． C．3 D．

4．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．已知椭圆方程为，是上､下顶点，为椭圆上的一个动点，且的最大值为120°，若，则的最小值为（    ）

A．9 B．3 C． D．

7．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（    ）

A．16 B．9 C．7 D．25

8．已知三个顶点都在曲线上，且（其中O为坐标原点），分别为的中点，若直线的斜率存在且分别为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．已知点在椭圆上，过点分别作斜率为-2，2的直线，与直线，分别交于，两点.若，则实数的取值可能为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

11．已知，是椭圆的左，右焦点，动点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

12．（多选）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（    ）

A．的最大值大于3

B．的最大值为4

C．的最大值为60°

D．若动直线垂直于轴，且交椭圆于两点，为上满足的点，则点的轨迹方程为或

13. 如图，点A，B分别是椭圆＋＝1(0＜b＜5)的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为x＋y－4＝0，且·＝0，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，则椭圆上的点到点M的距离d的最小值为________．

14．已知直线：与椭圆：相交于、两点，若椭圆上存在点，使得，则实数的取值范围是_________.

15．设椭圆：的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，那么的周长的取值范围为__________．

16．己知椭圆，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为M，则点M的纵坐标的最大值为__________．

17．已知椭圆的左､右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，O为坐标原点.

（1）若直线与的斜率之积为，求椭圆C的离心率；

（2）若，证明直线的斜率k满足大于．

18．椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；

19．已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆的左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值．

20．已知直线与椭圆交于、两点，且在直线 的上方（如图所示）.

（1）求常数的取值范围；（2）若的面积最大，求直线的斜率的大小．