专题10基本初等函数第六缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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A.a=-1 B.a=1 C.a=2 D.a 的值不唯一
【答案】B
【解析】函数f(x)=22x-2-acs(1-x) 的图象关于直线x=1 对称.
又方程只有一个实数解，所以f(1)=0. 得a=1 .
当a=1 时,f(x)=2|2x-2|-cs(1-x)≥1-1=0 ,当且仅当x=1 时取等号.
即方程22x-2-acs(1-x)=0 只有一个实数解，符合题设.
选B.
2．【2021年吉林预赛】已知函数f(x)=x2,xa C．b>a>c D．c>b>a
【答案】C
【解析】
a=lg235>1,b=lg23>1,c=23a C．b>a>c D．c>b>a
【答案】C
【解析】
a=lg235>1,b=lg23>1,c=23a C．b>a>c D．c>b>a
【答案】C
【解析】
a=lg235>1,b=lg23>1,c=231时，f'x=1-x+x21-x+⋅⋅⋅+x20161-x0,
f2=1+2-222+233-244+⋅⋅⋅+220172017-220182018
=1+0+83-4+⋅⋅⋅+220172017-2201820182a；
③对任意正整数a，都有Z3a=3a-1.
其中所有真命题的序号为（ ）.
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【解析】
注意到1+2+⋅⋅⋅+m=mm+12.
在①中，使得pmm+12，即2pmm+1，注意到p为奇质数，有pm或者pm+1，从而m的最小值为p-1，因此①正确.
在②中，由2amm+12知2a+1mm+1，注意到m,m+1=1，于是有2a+1m或者2a+1m+1，故Z2a=2a+1-1>2a，因此②正确.
在③中，由3amm+12知2⋅3amm+1，注意到2mm+1及2,3=1，
因此等价于3amm+1，又注意到m,m+1=1，于是有3am或者3am+1，
故Z3a=3a-1，因此③正确.
故答案为：D
23．【2018年辽宁预赛】方程ax2+b|x|+c=0(a,b,c∈R,a≠0)在复数集内不同的根的个数为（）.
A．2或4个B．至多4个
C．至多6个D．可能为8个
【答案】C
【解析】
由题设知x为实数或纯虚数，方程至多有4个实数根、2个纯虚数根，故至多6个根.当a=1,b=-3,c=2时，x=±1,±2,-3+172i,3-172i共6个根.
故答案为：C
24．【2017年天津预赛】如果x∈0,1,且lg2lg22x+2+22x+2为整数,则满足此条件的实数x有()
(A)12个(B)13个(C)14个(D)15个
【答案】C
【解析】提示：令fx=lg2lg22x+2+22x+2,x∈0,1,则fx为增函数,且f0=4,f1=17,所以fx的值域为4,17.可见fx-共能取14个整数值,从而相应的x有14个.故选C.
25．【2017年吉林预赛】若fx=1+x1-3x,f1x=ffx,f2x=ff1x,⋯,fn+1x=ffnx,则f2017-2=()
(A)-17(B)17(C)-35(D)35
【答案】D
【解析】fx=1+x1-3x,f1x=ffx=x-13x+1，f2x=ff1x=fx-13x+1=x，f3x=ff2x=fx=1+x1-3x，
所以f3n+1(x)=f1(x)=x-13x+1,f3n+2(x)=f2(x)=x，f3n+3x=f3x=1+x1-3x，
所以f2017x=f1x=x-13x+1,所以f2017-2=-3-5=35.
26．【2017年吉林预赛】已知lgab+3lgba=132,当a>b>1时,a+b4a2+b2的值为()
(A)13(B)4(C)2(D)1
【答案】D
【解析】设lgab=t,则t+3t=132,解得t=12或t=6,即b=a或b=a6(舍),故a+b4a2+b2=a+a2a2+a=1.
27．【2017年吉林预赛】已知f是从集合M到集合N的映射,其中M={a,b,c},N={-3,-2,-1,0,1,2,3}则满足fa+fb+fc=0的映射f的个数为()
(A)19(B)30(C)31(D)37
【答案】D
【解析】fa+fb+fc=0+0+0型:1个；
fa+fb+fc=-1+0+1型:A33=6个;
fa+fb+fc=-2+0+2型:A33=6个；
fa+fb+fc=-3+0+3型:A33=6个；
fa+fb+fc=-2+-1+3型:A33=6个;
fa+fb+fc=2+1+-3型:A33=6个；
fa+fb+fc=1+1+-2型:3个;
fa+fb+fc=-1+-1+2型:3个.
共计37个.
28．【2017年陕西预赛】已知函数fx=2x2+4x+1,x