专题46平面解析几何第六缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题46平面解析几何第六缉
1．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】在椭圆中，F为一个焦点，A、B为两个顶点若|FA|=3，|FB|=2，求AB的所有可能值.
【答案】答案见解析
【解析】不妨设平面直角坐标系中椭圆Γ的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
并记c=a2-b2.由对称性，可设F为Γ的右焦点.
易知F到Γ的左顶点的距离为a+c，到右顶点的距离为a－c，到上下顶点的距离均为a.分以下情况讨论:
(1)A、B分别为左、右顶点.此时a+c=3，a－c=2，故|AB|=2a=5(相应地，b2=(a+c)(a－c)=6，Γ的方程为4x225+y26=1).
(2)A为左顶点，B为上顶点或下顶点.此时a+c=3，a=2，故c=1，进而b2=a2-c2=3，
所以|AB|=a2+b2=7(相应Γ的方程为x24+y23=1).
(3)A为上顶点或下顶点，B为右顶点.此时a=3，a－c=2，故c=1，进而b2=a2-c2=8，
所以|AB|=a2+b2=17(相应Γ的方程为x29+y28=1).
综上可知，|AB|的所有可能值为5,7,17.
2．【2018年福建预赛】已知△DEF三边所在的直线分别为l1:x=－2，l2：x+3y－4=0，l3：x－3y－4=0，⊙C为△DEF的内切圆.
（1）求⊙C的方程；
（2）设⊙C与x轴交于A、B两点，点P在⊙C内，且满足PC2=PA⋅PB.记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1 k2的取值范围.
【答案】（1）x2+y2=4.（2）(－1，0]
【解析】
（1)解法一：设C(a，b)，⊙C半径为r，则
a+2=a+3b-42=a-3b-42=r，
结合点C(a，b)在△DEF内，可得a+2=-(a+3b-4)2=-(a-3b-4)2=r.
解得a=b=0，r=2.
∴⊙C的方程为x2+y2=4.
解法二：设C(a，b)，⊙C半径为r.

如图，由条件知，l2、l3的倾斜角分别为150°和30°，且它们关于x轴对称，同时l1⊥x轴.
因此，△DEF为正三角形.
∴点C在x轴上，且a=－2+r，b=0.
由l2、l3交x轴于点D(4，0)，知△DEF的高为6.
∴r=13×6=2，a=0.
∴⊙C的方程为x2+y2=4.
（2）由（1）知，C(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设P(x，y)，则x2+y20）的离心率e=22，直线y=2x－1与C交于A、B两点，且AB=895 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M(2，0)的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在点F、M之间），记λ=SΔOMESΔOMF，求λ的取值范围．
【答案】（1）x22+y2=1（2）02，且y1+y2=-4mm2+2，y1⋅y2=2m2+2 ①
由λ=SΔOMESΔOMF=12×OM×y112×OM×y2得，y1=λy2 ②
由①②得λ(1+λ)2=m2+28m2=18+14m2
所以18