专题49立体几何与空间向量第一缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题49立体几何与空间向量第一缉1．【2021年江西预赛】如图,边长为2的正方形ABCD中, 是AB的中点,现将 沿EC,ED折起,使EA,EB重合,组成一个四面体,则此四面体的体积是                                          .2．【2021年吉林预赛】如图,在棱长为2的正方体 中, 为BC的中点,点 在线段 上运动.则点 到直线 的距离的最小值为                                           .3．【2021年福建预赛】如图，在长方体 中，已知 ,点M、N分别在棱DA、DC上，二面角 的大小为 .若三棱锥 的体积为 ,则三棱锥 外接球的表面积为        .4．【2021年重庆预赛】设正三棱锥 的底面边长为1,高为 ，过底边BC作此三棱锥的截面，则截面面积的最小值为                                           .5．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】正三棱锥的所有棱长均为1,L,M,N分别为棱的中点,则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为                                          .6．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】已知一个正三棱柱的各条棱长均为3,则其外接球的体积为                   .7．【2020年福建预赛】如图所示,在正方体 中,点 分别在棱 上, 为 的中点， ，记平面EFG与平面 的交线为m.则直线 与平面ABCD所成角的正切值为                                           .8．【2020年甘肃预赛】已知半径为4的球面上有两点A、B, ,球心为O.若球面上的动点 满足二面角 的大小为 ,则四面体OABC外接球的半径为                                           .9．【2020年广西预赛】设三个正四面体的棱长均为整数,它们的体积之和为 则这些正四面体的表面积之和为                                           .10．【2020年吉林预赛】已知正三棱雉 的侧棱长为 ,底面边长为6.则该正三棱雉外接球的表面积为                    .11．【2020年浙江预赛】在四面体 中,棱PA、AB、AC两两垂直,且 分别为 的中点.则EF与平面PBC所成角 的正弦值为                                           .12．【2020年重庆预赛】对于四面体 ,且异面直线AB与CD所成的角为 若四面体ABCD的外接球半径为 ,则四面体ABCD的体积的最大值为                                           .13．【2020年新疆预赛】现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为                                           .14．【2019年全国】如图，正方体的一个截面经过顶点A，C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则的值为                                           .15．【2019年江苏预赛】在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，，，则三棱锥的体积是        .16．【2019年江西预赛】P是正四棱锥V-ABCD的高VH的中点,若点P到侧面的距离为3,到底面的距离为5,则该正四棱锥的体积为                                           .17．【2019年上海预赛】如图所示,分别作正四面体PABC的平行于四个面的截面,使得四面积PABC的四个面均被截成正六边形,截去四个小四面体后得到的多面体记为G.则四面体PABC与多面体G的表面积之比为                                           ,体积之比为                                           .18．【2019年上海预赛】边长为2的正方形经如图所示的方式裁剪后,可围成一个正四棱锥则此正四棱锥体积的最大值为                                           .19．【2019年新疆预赛】一个的长方体由的单位立方体拼在一起构成的，则该长方体的一条对角线穿过                              个不同的单位立方体20．【2019年浙江预赛】如图，在中，，.在边上取一点(不含)，将沿线段折起，得到.当平面垂直平面时，则到平面距离的最大值为                                           .21．【2019年重庆预赛】已知正四面体可容纳10个半径为1的小球，则正四面体棱长的最小值为________.22．【2019年北京预赛】一个正方体木块的体积为,如图,为棱的中点,为棱的中点.过三点的平面切下一个三棱锥,则三棱锥的全表面积是                                           .23．【2019年福建预赛】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面AB，∠ABC=120°，PA=4.若三棱锥P-ABC外接球的半径为，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为                                           .24．【2019年广西预赛】棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体且该四面体可以在正方体内任意转动,则x的最大值为                                           .25．【2019年贵州预赛】若半径为的空心球内部装有四个半径为r的实心球,则r所能取得的最大值为                   cm.26．【2019年吉林预赛】已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E、F分别是AC、BC的中点,∠EPF=60°,则球O的表面积为                                           .27．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】如图，正方体ABCD－EFGH的一个截面经过顶点A、C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则的值为                                           .28．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设三棱锥P－ABC满足PA=PB=3，AB=BC=CA=2，则该三棱锥体积的最大值为                                           .29．【2018年山西预赛】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____.30．【2018年福建预赛】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角E－FD－A的正切值为________.31．【2018年江苏预赛】已知正四面体内切球的半径是1，则该正四面体的体积为________.32．【2018年浙江预赛】四面体P-ABC，,则该四面体外接球的半径为________. 33．【2018年湖南预赛】正方体AC1棱长是1，点E、F是线段DD1，BC1上的动点，则三棱锥E一AA1F体积为___.34．【2018年重庆预赛】顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥HB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O-HPC的体积最大时，OB的长为________．35．【2018年湖南预赛】正方体中，E为AB的中点，F为的中点.异面直线EF与所成角的余弦值是_____.