专题58初等数论第一缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题58初等数论第一缉1．【2021年江西预赛】使得 与 同时成为完全平方数的最小正整数        .2．【2021年福建预赛】若整数 、 、 满足: ,则满足条件的有序数组 共有       组.3．【2021年新疆预赛】由数字1，2和3组成的6位数中，若每个数字至少出现一次，则这样的6位数共有                                           个.4．【2021年新疆预赛】已知n是正整数，且 能被57整除，则n的最小值为        .5．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设有理数,其中为互素的正整数,且整除3600.这样的有理数的个数为                                           .6．【2020年浙江预赛】已知由六个正整数组成的六位十进制数中,其个位上的数字为4的倍数,十位和百位上的数字均为3的倍数,且六位数的数码和为21.则满足上述条件的六位数的个数为                                           .7．【2020年新疆预赛】11个女孩与n个男孩去采蘑菇，所有这些孩子共采到 个蘑菇，并且每个孩子采到的个数都相同，则                                            .8．【2019年江苏预赛】设，.当时，则与的最大公因数的最大值为         .9．【2019年北京预赛】计算         .10．【2019年北京预赛】若都是质数,自然数的约数的个数由公式给出.如,所以12的约数个数为,它们是和.根据给出的计算公式请你回答:在小于的的约数中,不是的约数的数共有                                           个.11．【2019年广西预赛】满足的正整数对(x,y)有         对.12．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】在1，2，3，…，10中随机选出一个数a在－1，－2，－3，…，－10中随机选出一个数b，则被3整除的概率为                                           .13．【2018年山西预赛】集合M中，末尾数字为8的元素之和是________.14．【2018年山西预赛】若正整数n使得恒介于之间，则n=________.15．【2018年山西预赛】有一张印有4月29日生日贺卡上，某位小朋友在4与29之间添加了两个正整数x,y，得到一个五位数4xy29，结果发现，它恰好是自己的生日所对应的正整数T的平方：；则这位小朋友生日对应的数T=________.16．【2018年福建预赛】使为有理数的所有正整数n的和为________.17．【2018年福建预赛】给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a，b，c，其中a，b，c为整数，且c>b>a>64.若对每个正整数n≤753，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次），则b的最小值为________.18．【2018年贵州预赛】方程组的实数解为_______．19．【2018年浙江预赛】在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有________个既约分数.20．【2018年北京预赛】满足的正整数解构成的集合是________.21．【2018年北京预赛】若三位数是一个平方数，并且其数字和也是一个平方数，称为超级平方数，设超级平方数的集合为中元素的个数为中所有元素之和为，则与最接近的整数是_______.22．【2018年北京预赛】在的“九宫格”中填数，使每行、每列及两条对角线上的三数之和都相等，有3个方格已经填的数分别为4,7,2018，如图，则“九宫格”中其余6个方格所填数之和为_______.23．【2018年陕西预赛】设是正整数，当时，的小数部分的前两位数是________.24．【2018年陕西预赛】设是正整数，当时，的小数部分的前两位数是________.25．【2018年湖南预赛】已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____.26．【2018年湖南预赛】四次多项式的四个根中有两个根的积为-32，则实数k=_____.27．【2018年安徽预赛】设n是正整数，且满足，则n=__________.28．【2018年河南预赛】若，则被3除的余数是______．29．【2018年江西预赛】为正整数，满足，则所有正整数对的个数为______．30．【2018年江西预赛】对于正整数，将其各位数字之和记为，各为数字之积记为。若成立，就称为“巧合数”。则所有巧合数的和为__________。31．【2018年山西预赛】将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后这样分段，使得第一段有1个数，第二段有3个数，……，第n段有2n-1个数；那么，第20段中的第18个数是________.32．【2018年山西预赛】有一张印有4月29日生日贺卡上，某位小朋友在4与29之间添加了两个正整数x,y，得到一个五位数4xy29，结果发现，它恰好是自己的生日所对应的正整数T的平方：；则这位小朋友生日对应的数T=________.33．【2017年河北预赛】设为正整数,若用去除所得的余数相同,则称与关于同余,记作那么以下论断中:(1)若是的正约数,则;(2)若,则;(3)若为正整数,,则;(4)设,若,则.正确命题的序号为         .(写出所有正确命题的序号)34．【2017年山西预赛】的正因数个数是         .35．【2017年山西预赛】的末位数字是       .36．【2017年山东预赛】设为一个三位数,其中以为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,这样的三位数有                                          .37．【2017年湖北预赛】将与70互质的所有正整数从小到大排成数列,这个数列的第2017项为         .38．【2017年贵州预赛】方程的正整数解的对数有         对.39．【2017年安徽预赛】在不大于2017的正整数中,共有         个数可被12整除但不能被20整除.40．【2017年江苏预赛】设,则中能被2整除但不能被4整除的数的个数是       .