专题63平面几何第三缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题63平面几何第三缉1．【2017年辽宁预赛】如图,为的内心,的外接圆圆心为与圆交于点与交于点.证明:.2．【2017年福建预赛】如图,分别是圆的切线和割线,其中为切点,为切线的中点,弦相交于点,弦延长线上的点,满足求证：三点共线的充分必要条件是三点共线.3．【2017年江西预赛】如图,相交于两点,是经过点的一条线段,其中点分别在上,过线段上异于端点的任意一点,作,点分别在上,又向形外方向,作,其中在上,在上.证明:.4．【2017年河南预赛】如图,四边形内接于相交于点相交于点,对角线相交于点切于点,过点作的切线,切点为.求证:(1);(2)四点共线.5．【2017年陕西预赛】如图,与相交于、两点,直线是两圆距离点较近的公切线,且分别与切于点设的延长线分别交于点、,求证:.6．【2017年黑龙江预赛】如图,已知是的切线,是切点,直线交于两点,是的中点,连结并延长交于点,若.(1)求的大小;(2)求的长.7．【2017年安徽预赛】如图,设是的垂心,在直线上,且满足,四边形是平行四边形.证明:五点共圆.8．【2017年广西预赛】如图所示,已知圆内接四边形中,和相交于点,满足.设为的中点,求证:.9．【2017年江苏预赛】如图,是四边形的内切圆,切点分别为与交于点与交于点与交于点与交于点.求证：四边形是平行四边形.10．【2017年江苏预赛】已知圆的内接五边形中与相交于点的延长线交圆于点,且求证:.11．【2016年陕西预赛】如图，⊙O1与⊙O2交于P、Q两点，⊙A的弦以与⊙O2相切，⊙O2的弦PB与⊙O1相切，直线PQ与△PAB的外接圆⊙O交于另一点R.证明：PQ=QR.12．【2016年福建预赛】如图，⊙O为△ABC的外接圆，DA为⊙O的切线，且∠DBA=∠ABC，E为DB与⊙O的另一交点，点F在⊙O上，且BF∥EC，G为CF的延长线与DA的交点.证明：AG=AD.13．【2016年安徽预赛】设的内切圆与三边切于点D、E、F.证明：相似当且仅当为正三角形.14．【2016年山西预赛】在△ABC中，M、N分别为边AB、AC上的点，且满足.证明：线段MN经过△ABC的重心．15．【2016年全国】如图，在中，X、Y为直线BC上两点（X、B、C、Y顺次排列），使得.设的外心分别为，直线与AB、AC分别交于点U、V.证明：为等腰三角形.16．【2016年上海预赛】在锐角△ABC中，已知∠A=75°，AC=b，AB=c。求△ABC的外接正三角形面积的最大值。17．【2016年上海预赛】如图，正的边长为5，延长BA至点P，使得． D为线段BC上一点（包括端点），直线AD与的外接圆交于E、F两点，其中，．（1）设，试将表示为关于x的函数；（2）求的最小值．18．【2016年辽宁预赛】如图,在锐角△ABC中,其外接圆圆心为O,半径为R,AO的延长线与△BOC的外接圆交于点,BO的延长线与△AOC的外接圆交于点,CO的延长线与△AOB的外接圆交于点．证明：.19．【2016年江苏预赛】如图，在圆内接四边形ABCD中，边BA、CD的延长线交于点P，分别为的内心，直线交于点H．证明：．20．【2016年湖南预赛】在正方形中，为边上一点（点与顶点不重合）. 延长，与的延长线交于点. 设的内切圆半径分别为.（1）证明：，并指出点在什么位置时，等号成立；（2）若，证明：.21．【2016年河南预赛】如图，的切线，为切点，为线段的中点，为一条割线，直线分别交于三点。证明：（1）;（2）.22．【2016年北京预赛】如图，点在线段上，分别以为直径作半圆、半圆、半圆，形成的阴影图形称作“皮匠刀形”，过点的垂线与半圆交于点，半圆、半圆的外公切线为.证明：.23．【2016年北京预赛】如图，在锐角中，垂心关于边的对称点分别为，关于边的中点的对称点分别为.证明：（1）六点共圆；（2）；（3）.24．【2016高中数学联赛（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点.以F为焦点、O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且|PQ|=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与x轴相切.求点F的坐标，使圆C1与C2的面积之和取到最小值.25．【2016高中数学联赛（第02试）】如图所示，在△ABC中，X、Y是直线BC上两点(X，B，C，Y顺次排列)，使得.设△ACX、△ABY的外心分别为，直线与AB、AC分别交于点U、V.证明:△AUV是等腰三角形.26．【2015年全国】如图，内接于为弧上一点，点在线段上，使得平分. 过三点的圆与边交于点，联结与圆交于点，联结并延长，与边交于点.证明：27．【2015年上海预赛】如图，的面积为1，过内一点O分别引三条边的平行线DE、FG、HI，点D、E、F、G、H、I均在的边上.求六边形DGHEFI面积的最小值.28．【2015年北京预赛】由上的点引三条弦，使得.证明：.29．【2015年北京预赛】如图，的内角平分线，且.证明：（1）；（2）30．【2015年陕西预赛】如图，设为锐角的垂心，过点的垂线，与交于点，过点的垂线，与交于点，过点的垂线，与直线交于点.证明：.31．【2015年山西预赛】如图，的外接圆上的点，满足，P为上的任意一点.若直线与BC、与AC、与AB分别交于点D、E、F，证明:D、E、F三点共线.32．【2015年辽宁预赛】如图, 外接圆圆心为,过点的垂线,垂足为,作分别与弧、边切于点类似地,作与弧、边相切.设的半径分别为的内切圆半径为.证明: .33．【2015年江西预赛】如图，为锐角的垂心，在线段上任取一点，延长到点，使，作于点于点为线段的中点，分别为的外接圆圆心、的外接圆圆心，的另一交点为.证明：（1）四点共圆；（2）四点共圆。34．【2015年江苏预赛】如图，E、F分别为△ABC、△ACDA 的内心，AC 平分∠BAD，,延长EC，与△BCE的外接圆交于点R，若RK∥EF，证明：A为△BCD的外心.35．【2015年湖南预赛】如图所示，已知的斜边，为其内心.若的外接圆半径为的内切圆半径为，证明：.36．【2015年福建预赛】如图，分别为的内心、旁心，分别切于点的交点.证明：（1）；（2）若的中点，则.37．【2015高中数学联赛（第02试）】如图，△ABC内接于圆O，P为弧BC上一点，点K在线段AP上，使得BK平分∠ABC.过K，P，C三点的圆与边AC交于点D，联结BD交圆厂于点E，联结PE并延长与边AB交于点F.证明：∠ABC=2∠FCB.