专题03 【大题限时练3】-备战2022年湖南高考数学满分限时题集

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专题03 大题限时练31．记正项等差数列的前项和为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）已知等比数列满足，，若，求数列前项的和．【答案】（1）；（2）3906【详解】解：（1）设正项等差数列的公差为，，，，解得．．（2）等比数列满足，，，，公比，，，，解得，数列前6项的和．2．已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图，将该函数图象向右平移个单位后，再把所得曲线上的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数f（x）的图象．设g（x）＝f（x）•．（1）求函数g（x）的最小正周期T；（2）在△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，AD＝，设∠BAC＝θ，cosθ＜0，，求△ABC的面积．【答案】（1）T＝π（2）【详解】解：（1）由图知A＝1，＝2（），解得ω＝2，∴，∵，∴，∴y＝sin（2x+），f（x）＝sin（x+），∵sinxsin（x+）＝sinx（sinx+cosx）＝＝，∴g（x）＝，∴T＝π．（2）∵g（θ）＝，∴sin（2）＝0，∵cosθ＜0，即，∴θ＝，设BC＝2m，AC＝x，∵∠ADB+∠ADC＝π，∴cos∠ADB+cos∠ADC＝0，∵AB＝6，AD＝，∴分别在△ADB和△ADC中，由余弦定理得，∴4m2＝2x2﹣4，在△ABC中，由余弦定理得（2m）2＝36+x2cos∠BAC＝36+x2+6x，∴2x2﹣4＝36+x2+6x，∴x＝﹣4（舍），或x＝10，即AC＝10，∴△ABC的面积为：S△ABC＝．3．如图，正四面体，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）证明：为的中点．，，，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）设，，，设正四面体的边长为1，则则，，则，则，设平面的法向量为，则，，①，，②由①②令，可得，平面的法向量为，，，，为的中点．，又，，又，与平面所成角为．则，．与平面所成角的正弦值为．4．甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制（即有一运动员先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的运动员积3分，负者积0分，以取胜的运动员积2分，负者积1分，已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．（1）甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率．【答案】见解析【详解】解：（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，，，的分布列为：0123数学期望；（2）记“甲、乙比赛两场后，两名运动员积分相等”为事件，设第场甲、乙两名运动员积分分别为，，则，，2，因两名运动员积分相等，，即，则，．5．在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线，的斜率分别为，．①求证：为定值；②求面积的最大值．【答案】（1）；（2）见解析【详解】解：因为，所以，又，所以，所以，，所以椭圆的标准方程为．（2）①当的斜率为0时，显然，．当的斜率不为0时，设，由得，设，，，，故有，所以．因为，所以．综上所述，恒有为定值．②，即，当且仅当，即时取等号 （此时适合△，所以面积的最大值为．6．已知函数，．（1）求函数在，上的最小值；（2）证明：当时，．【答案】（1）当时，；当时，；（2）见解析【详解】解：（1）当时，令得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故：①当时，显然，故在上单调递减，在上单调递增，故此时；②当时，在，上单调递增，故；综上可知：当时，；当时，．（2）证明：先证时，，令，，得；得，故在上单调递减，在，上单调递增，故（1），所以时，，即③恒成立，当时，要证，即，结合③式，即证即成立，即证在上恒成立，令，，由得，当时，，时，，故在单调递减，在单调递增，故，即④恒成立，因为③④两式取等号的条件不一致，故当时恒成立，即当时，．