专题07 【大题限时练7】-备战2022年湖南高考数学满分限时题集

专题07 大题限时练7

1．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

在中，角，，所对的边分别为，，，且_____．

（1）求角的大小；

（2）若，求的中线长度的最小值．

【答案】见解析

【详解】解：（1）选择条件①，

由及正弦定理，可得，则，

由余弦定理，得，

因为，所以．

选择条件②，

由及正弦定理，可得，

即．

即．

在中，，

所以，即，

因为，所以，所以．

因为，所以．

选择条件③，

由及正弦定理，可得，

因为，所以．

在中，，可得，

故．

因为，所以，则，故．

（2）因为，所以，整理可得，在中，由余弦定理可得，

因为，当且仅当时取等号，

所以，即，

所以，即，即长度的最小值为．

2．记为数列的前项和，已知，且．

（1）求通项公式；

（2）数列的项依次为：，2，，，，，，，，，，，，，，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前50项的和．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）当时，由，

得，

整理得，

，，

当时，，解得或（舍．

数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，则；

（2）数列中对应的项之前总项数为，

令，解得，

当时，，故中的第50项在与之间．

数列的前50项的和为

．

3．3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作．

（1）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；

（2）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量的分布列．

【答案】见解析

【详解】解：（1）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等．

设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件则该事件共包括不同的结果．

所以．

即3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为．

（2）解法1：随机变量的可能取值为0，1，2，3．

，

．

随机变量的分布列为：

解法2：日参加社区服务的概率均为．

则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数．

，，1，2，3

分布列为：

4．如图，四棱锥中，平面，梯形满足，，且，，为中点，，．

（1）求证：，，，四点共面；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：以点为坐标原点，向量、、方向分别为、、轴的正方向建立坐标系，

则，0，，，0，，，0，，，，，0，，所以，因为，设，，，则，所以，

解得，所以，同理可得，

，，，

令，则，

，，，、、、四点共面．

（2）解：由（1）可知，0，，，0，，，，．

设平面的一个法向量为，则，则，令，则．

取平面的一个法向量为，则，所以，

二面角的正弦值为．

5．已知，，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，设动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作直线的垂线，交曲线于点（异于点，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）依题意，设，则，，

因，则，解得，

而，即，于是得，即，

所以曲线的方程为．

（2）依题意，直线垂直于且与曲线交于、两点，则直线的斜率存在且不为0，

设直线，，，，，

由消去并整理得：，

△，，，

，

由（1）知，直线的斜率，则，直线过点，即，

而点在曲线上，，于是得，即，

，即，

，

当且仅当时取，此时，则有，

所以面积的最大值为．

6．已知函数是自然对数底数）．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：．

【答案】见解析

【详解】解：（1）当，，，

所以，令，，

所以，单调递减，

因为，

当时，，，当时，，，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）证明：，

令，，所以单调递减，

因为，，有，即，

所以时，，，单调递增，

当，时，，，单调递减，

所以函数在时有极大值，

所以，

因为函数在单调递减，

所以，要证，即证，

即证，令（a），，

，则（a）单调递减，

（a）（e），

所以成立，即得证．