专题08 【大题限时练8】-备战2022年湖南高考数学满分限时题集

专题08 大题限时练8

1．已知各项均为正数的数列满足，，其中是数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前100项和．

【答案】（1）；（2）2451

【详解】解：（1）由，，

相减可得：，

，，，

由，时，，解得，

数列从第二项开始为等差数列，公差为1，

，

；

（2）时，

时，；

时，，

数列的前100项和

．

2．法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，．

（1）求；

（2）若，△的面积为，求的周长．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）由，

得，

即，

即

即，

，，

由正弦定理得，

，，

，

，；

（2）如图，连接，，

则，

正△面积，

，

而，则，

△中，由余弦定理得：，

即，则，

在中，，

由余弦定理得，

则，

，，

，

所以的周长为．

3．第24届冬季奥林匹克运动会已于2022年2月4日在北京启幕．某校为了让学生更好的了解冬奥会有关知识特组织了“冬奥”知识竞赛，有、两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分．

已知小明同学能正确回答类问题的概率为0.6，能正确回答类问题的概率是0.8，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

【答案】见解析

【详解】（1）由题意得，的所有可能取值为0，30，100，

，

，

，

故的分布列为

（2）当小明先回答类问题时，由（1）可得，

当小明先回答类问题时，记为小明的累计得分，则的所有可能值为0，70，100，

，

；，

所以的分布列为

，

因为即，

所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题．

4．如图①，已知等边的边长为3，点，分别是边，上的点，且，．如图②，将沿折起到△的位置．

（1）求证：平面平面；

（2）已知问在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析

【详解】（1）证明　由已知得，，，

，，．

又，平面．

又平面，平面平面．

（2）解：法一，，由（1）得，和是两条相交直线，平面．，，两两垂直，

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，设，，，其中，则，，．

易得平面的一个法向量为，1，．

设直线与平面所成的角为，则

，，

解得，

不存在点满足条件．

法二，，由（1）得，和是两条相交直线，平面．，，两两垂直，

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

假设线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，

并且设，则，又’ ，0，，，0，，，

所以，0，，

又平面的法向量为，所以线面角的正弦，

得，解得，

因为，所以线段上不存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为．

5．在平面直角坐标系中，圆，点，过的直线与圆交于点，，过作直线平行交于点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过的直线与交于、两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）因为，又因为，所以，

所以，

所以的轨迹是焦点为，，长轴为4的椭圆的一部分，

设椭圆方程为：，

则，，所以，，

所以椭圆方程为，

又因为点不在轴上，所以，

所以点的轨迹的方程为．

（2）因为直线斜率不为0，设为，

设，，，，联立整理得，

所以△，，，

所以，

，，

设四边形的面积为，

则，

令，

再令，则在，单调递增，

所以时，，

此时，取得最小值4，所以．

6．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，为两个不等的正数，且，若不等恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】解：（1）因为，

所以当，，在上单调递增，

当，，在 单调递减．

（2）令，，

则，

依题意得实数，满足且不等式恒成立，

不妨设，

由（1）知，

由不等式 恒成立知，所以，

，

又函数在单调递减，

，

又，

所以，即，

两边取对数得 对恒成立，

设，

则，

①当 时，对恒成立，此时在上单调递增，故恒成立，符合题意，

②当时，，则，，此时在上单调递减，故，不符合题意；

综上所述，，

若，则由（1）知，，

则当时，不等式恒成立，

当时，不等式，

由上面的过程可知，解得，从而，

综上，只有满足题意，

即的取值范围是．