专题09 【大题限时练9】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集

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专题09 大题限时练91．已知等差数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为．若，为偶数），求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，即，解得，，所以，所以数列的通项公式为：；（2）由（1）得，，所以．因为，为偶数），所以，即，解得，又为偶数，所以．2．在①；②；③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，____，？【答案】见解析【详解】选择①②，因为，所以，由余弦定理，得，因为，所有，因为，所以，即，所以，即，因为，所以，中，由正弦定理得，，即，所以，选择①③，所以，由余弦定理，得，因为，所有，因为，又，所以，因为为三角形内角，，所以，所以，则，中，，选②③，因为，所以，所以，所以或，因为，为三角形内角，所以或因为，且，所以，因为为三角形内角，，所以，所以，则，中，，所以．3．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）设是的中点，判断点是否在平面内，并请证明你的结论．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）取中点，连接、，是以为斜边的等腰直角三角形，所以，，因为，，，所以四边形为边长为1的正方形，所以，又因为，所以，所以，所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，0，，，1，，，1，，，0，，平面的法向量为，1，，，1，，所以直线与平面所成角的正弦值为．（2）连接，，0，，，0，，，，，，，，点到平面的距离为，所以点在平面内．4．某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染．拟采用两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人．先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．（1）求这两种方案检测次数相同的概率；（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．【答案】见解析【详解】（1）由题意，可设甲方案检测的次数是，则，2，3，4，，设乙方案检测的次数是，则，，方案甲与方案乙相互独立，，，，用事件表示方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数，则（D），所以这两种方案检测次数相同的概率为；（2）由（1）可知，，所以，又，所以，所以，所以方案乙检测总费用较少．5．已知函数．（1）若，求实数的取值范围；（2）若函数有两个零点，，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）由题意得，，，令，则，所以在上单调递增，且（1），所以时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值（1），因为，所以，即，证明：（2）不妨设，由（1）得，在上单调递减，在单调递增，所以，，因为，所以，，，设，，则，故在上单调递增，所以（1），故，即，又在上单调递减，所以，所以．6．已知点，在椭圆上，点在第一象限，为坐标原点，且．（1）若，，直线的方程为，求直线的斜率；（2）若是等腰三角形（点，，按顺时针排列），求的最大值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由，，可得椭圆方程为，由，可得或，因为点在第一象限，所以，，且．直线的方程为，由，可得，，直线的斜率；（2）设直线的斜率为，直线的倾斜角为，为直角三角形，直线的斜率为或，，设，，，，，，，由，得，由，得，由可得，，整理可得，△，即，，，，，当时，取得最大值．