专题30 【大题限时练30】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集

专题30 大题限时练30

1．记为等比数列的前项和．已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并判断，，是否成等差数列．

【答案】（1）；（2）见解析

【详解】（1）设等比数列首项为，公比为，

则，则，，

由，，整理得：，解得：，

则，，

的通项公式；

（2）由（1）可知：，

则，，

由，

，

，

，

即，

，，成等差数列．

2．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．

已知中，，，分别为内角，，的对边，，，______，求角及的面积．

【答案】见解析

【详解】若选①，

因为，

所以由正弦定理得，

即，所以，

因为，所以，或，

若，由，

而，，

从而，矛盾，舍去．

故，

接下来求的面积．

法一：设外接圆的半径为，则由正弦定理，得，

，，

，

，

法二：由题意可得，即，

，

，

，

，

或，

当时，又，

，，

由正弦定理，得，

，

当时，同理可得，

故的面积为．

选②，

因为，

所以，

即，，

所以或（舍，

因为，所以，

以下同解法同①．

选③，

由，及正弦定理得，

即，

由余弦定理得，

，，

以下解法同①．

3．某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功．若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

（1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；

（2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分的分布列、期望和闯关成功的概率．

【答案】见解析

【详解】（1）设事件为参赛者甲回答正确第个问题，2，，

所以．

（2）由题意，所有可能取值为，，0，10，20，30，

，

，

，

，

，

，

所以的分布列为：

．

由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为．

4．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．，分别是，的中点，且，平面平面．

（1）证明：平面；

（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的大小．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：连结，则且，

所以四边形为平行四边形，所以且，

所以是正三角形，所以，

因为平面平面，且平面平面，

所以平面，因为平面，

所以，又因为，且，，平面，

所以平面；

（2）解：连结，则，所以，，

在中，，

又，，所以，

故的面积为，

由等体积法可得，

所以，

建立空间直角坐标系如图所示，

则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则有，即，

令，则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则有，即，

令，则，所以，

所以，

所以，

由图形可得，二面角为锐角，

所以二面角的大小为．

5．动点在圆上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为．

（1）求的轨迹的方程；

（2）若，是轨迹上异于的两点，直线，的斜率分别为，，且，，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点坐标及的值．若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）连接，根据题意，，则，

故动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，

设其方程为

可知，，，

所以点的轨迹的方程为．

（2）设，，，，

由题意可得直线的斜率存在，则可设直线的方程为，

代入椭圆方程可得：，

则△，得，

且，

所以

，

由得：，

即，

当，直线，

令，则，显然过定点，舍去，

当，直线一，令，

则，直线过定点，

此时，，解得，存在直线过定点．

当为，的中点时，则，，

此时，

存在定点，，使得为定值．

6．已知，其中．

（1）讨论的极值点的个数；

（2）当时，证明：．

【答案】见解析

【详解】（1）由题意的定义域是，

，

令，则，

①当时，，令，解得：，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故在上有且只有1个极值点，

②当时，，故在上单调递增，

又（1），，

故在上存在唯一零点，记为，

，，的变化如下：

故在上有且只有1个极值点，

③当时，令，解得：，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故，

当时，，故，在单调递增，

故在上无极值点，

当时，，

又（1），，

下面证明，

令（a），则（a），

故（a）在，上单调递增，故（a），

故在上有且只有2个零点，分别记为，，

则，，的变化如下：

故在上有且只有2个极值点，

综上：当时，无极值点，

当时，有2个极值点，

当时，有1个极值点；

（2）由（1）知，当时，（1），故，

即，故当时，，

令，则，

故．