2021学年2.5.2 椭圆的几何性质学案设计

椭圆的几何性质

【学习目标】

1. 掌握椭圆几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；

2. 掌握椭圆标准方程中a、b、c、e之间的关系；

【学习重难点】

1．椭圆的几何性质

2．椭圆的几何性质

【学习过程】

一、探究研究：

1. 范围：

椭圆位于                      所围成的矩形里。

原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x，y）都适合不等式即，

2．对称性：

椭圆关于                  都对称。

原因：在椭圆标准方程里，以-x代x，或以-y代y，或以-x，-y分别代x、y，方程都不变。

3. 顶点：椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫椭圆的顶点。

其中                        是椭圆与x轴的两个交点；

                             是椭圆与y轴的两个交点。

                                 椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为                ，a和b分别叫椭圆的                。

4. 离心率：                                叫做椭圆的离心率。

说明①因为所以。

②e越接近１，则c            ，从而              ，因此椭圆越扁；反之，e越接近于０，c               ，从而       ， 这时椭圆就接近于圆；

③当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆。

5．根据以上知识填写表格：

椭圆两个标准方程的几何性质与特征比较

二、举例应用：

1. 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点的坐标和离心率。

2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）经过点P（-3，0），Q（0，-2）；

（2）长轴长等于20，离心率等于3/5

（3）一焦点是（-3，0），一顶点坐标是（5，4）

3．（1）若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的离心率

（2）若椭圆的两焦点间的距离等于长轴的端点与短轴的端点间的距离，求椭圆的离心率

4．设椭圆上存在一点P，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率的取值范围。