2021-2022学年重庆市南岸区珊瑚初级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年重庆市南岸区珊瑚初级中学八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 北京年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面如图的四个图中，能由如图经过平移得到的是

A.
B.
C.
D.

2. 若分式无意义，则等于

A.  B.  C.  D.

3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，是等边三角形，为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了

A.
B.
C.
D.

5. 不等式的最小整数解为

A.  B.  C.  D.

6. 如果，那么下列不等式成立的是

A.  B.  C.  D.

7. 下列命题的逆命题是假命题的是

A. 等腰三角形两底角相等
B. 全等三角形面积相等
C. 角平分线上的点到角两边的距离相等
D. 如果，则或

8. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点已知的周长为，且，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，平分，于点，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为．

A.  B.  C.  D.

11. 我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如：，根据上述方法，解决问题：已知、、是的三边，且满足，则的形状是

A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

12. 如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 分解因式： ______ ．
14. 如图，在中，，为的中点，且，则的度数是______
    
    
     

15. 某大型超市从生产基地购进千克水果，每千克元，运输过程中质量损失了不计超市其他费用，如果超市至少要获得元的利润，那么这种水果的售价最低应在进价的基础上提高______
16. 如图，中，，，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的长为______．
    
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）

17. 分解因式；
    解方程：．
18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
    ；
    ．
19. 化简
    ；
    ．
20. 如图，在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为，的位置如图所示，的三个顶点都在格点上，解答下列问题：
    画出向右平移个单位，向下平移个单位得到．
    画出关于点为对称中心的中心对称图形．
    画出绕着点逆时针旋转的，并求出点到点走过的路径长．

21. 如图，中，，．
    尺规作图：作线段的垂直平分线，交于，交于保留作图痕迹，不写作法
    求证：．
22. 新冠肺炎疫情发生后，口罩市场出现热销，运输公司接到任务，要把一批口罩运到市．公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装箱口罩，且甲种货车装运箱口罩所用车辆与乙种货车装运箱口罩所用车辆相等．
    求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱口罩？
    如果这批口罩有箱，用甲、乙两种汽车共辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的口罩不超过箱，其它装满，求甲种货车最少有多少辆？
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于、两点．
    求、两点的坐标；
    将线段向左平移个单位，再向下平移个单位得到线段，如图所示．
    点的坐标为______，并求出线段所在直线的解析式；
    连接、，若直线的解析式为，直线的解析式为，直接写出关于的不等式组的解集．

24. 根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程组，并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法．
    例：为何值时，多项式有一个因式是？
    解：设它的另一个因式为为常数，
    则．
    比较两边的系数，得，解得．
    已知多项式有一个因式是，求的值；
    已知，其中，为常数，求的值．
25. 如图，在中，，，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转到，连接、，交于点，交于点．
    如图，求证：；
    如图，若，求证：；
    如国，若，以为边构造等边，连接，直接写出的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：观察各选项图形可知，选项的图案可以通过平移得到．
故选：．
根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
本题考查了利用平移设计图案，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．
 

2.【答案】

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据当分式的分母为时，分式无意义，进行计算即可解答．
本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握当分式的分母为时，分式无意义是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于整式乘法，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，也考查了等边三角形的性质．
由 经旋转后到达 的位置，而 ，根据旋转的性质得到 等于旋转角，即旋转角等于 ．
【解答】
解： 是等边三角形，
， ，
经旋转后到达 的位置，
等于旋转角，
即旋转角等于 ．
故选： ．   

5.【答案】

【解析】解：，
，
，
，

不等式的最小整数解是，
故选：．
去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为，求出不等式的解集，即可得出答案．
本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，关键是求出不等式的解集．
 

6.【答案】

【解析】解：若，则，原变形成立，故本选项符合题意；
B.若，则，所以，原变形不成立，故本选项不符合题意；
C.若，则，原变形不成立，故本选项不符合题意；
D.若，则，原变形不成立，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：、逆命题为：两角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题；
B、逆命题为：面积相等的两三角形全等，逆命题是假命题；
C、逆命题为：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上，逆命题是真命题；
D、逆命题为：如果或，则，逆命题是真命题；
故选：．
先写出原命题的逆命题，再根据等腰三角形的判定、全等三角形的判定、角平分线的性质等知识逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握等腰三角形的判定、全等三角形的判定、角平分线的性质等知识是解答此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：如图所示：
的周长为，
．
的垂直平分线交于点，
，
，
即，
，
，，
，
；
故选C．
根据题意可知，然后根据，即可得出的长度．
本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得出是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：延长交于，如图，
平分，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
延长交于，如图，先证明得到，则根据等腰三角形的性质得到，利用三角形面积公式得到，则．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的判定与性质．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
、、是三角形的三边，
，
，
即，
的形状是等腰三角形，
故选：．
先分解因式，即可得出，根据等腰三角形的判定得出即可．
本题考查等腰三角形的判定和分解因式，能正确分解因式是解此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：解不等式组得：，
不等式组至少有个整数解，
，
解分式方程得：，
且，
且，
解得：且，
且，
符合条件的所有整数为：，，，，
符合条件的所有整数的和为：，
故选：．
解不等式组得出，由不等式组至少有个整数解，得出，解分式方程得：，由且，得出且，进而得出且，即可求出符合条件的所有整数的和．
本题考查了解分式方程及解一元一次不等式，掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解决问题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．
 

14.【答案】

【解析】解：，为中点，
是的平分线，，
，
，
．
故答案为：．
由等腰三角形的三线合一性质可知，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：这种水果的售价在进价的基础上提高，
由题意可得：，
解得，
这种水果的售价最低应在进价的基础上提高，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以得到相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，将逆时针旋转，得到线段，连接，

，
点落在线段上，
，，
线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
为直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
将逆时针旋转，得到线段，连接，可判断点落在线段上，证明≌，可得，为直角三角形，再求出，然后利用勾股定理即可求解．
本题主要考查图形的旋转，熟练掌握等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等知识是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解．

【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法及分式方程的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
，

解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组解集为．
 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式


．

【解析】先将除化为乘，分解因式约分后，再通分化为同分母分式相加减；
先通分算括号内的，再将除化为乘，分解因式约分．
本题考查分式化简，解题的关键是掌握分式基本性质，将分式通分和约分．
 

20.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
如图，即为所求．

点到点走过的路径长
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可，再利用弧长公式求解．
本题考查作图平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：如图，为所作；

证明：连接，如图，
，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
．

【解析】利用基本作图作的垂直平分线即可；
连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再根据线段垂直平分线的性质得到，所以，则，然后根据含度的直角三角形三边的关系得到结论．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
 

22.【答案】解：设乙种货车每辆车可装箱口罩，则甲种货车每辆车可装箱口罩，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种货车每辆车可装箱口罩，乙种货车每辆车可装箱口罩．
设甲种货车有辆，则乙种货车有辆，
依题意，得：，
解得：，
答：甲种货车最少有辆．

【解析】设乙种货车每辆车可装箱生姜，则甲种货车每辆车可装箱口罩，根据甲种货车装运箱口罩所用车辆与乙种货车装运箱口罩所用车辆相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设甲种货车有辆，则乙种货车有辆，根据货物的总箱数每辆车可装的箱数车的辆数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

23.【答案】

【解析】解：将代入得，
点坐标为，
将代入得，
解得，
点坐标为．
点是由点向左平移个单位，再向下平移个单位得到，
点坐标为，
直线向左平移个单位，再向下平移个单位解析式为．
，，
时，．
分别将，代入解析式求解．
由点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点坐标，由可得解析式．
由图象中点，横坐标求解．
本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象平移的规律，掌握一次函数与方程及不等式的关系．
 

24.【答案】解：设它的另一因式是，
则，
比较两边系数，得，
解得：，；
已知等式整理得：，
比较分子得：，
解得：，
则．

【解析】设它的另一因式是，仿照阅读材料中的方法列出等式，比较两边系数列出方程组，求出的值即可；
已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，比较分子列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可求出所求．
此题考查了解分式方程，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：把线段绕点逆时针旋转到，
，，
，
，
又，，
≌，
；
如图，过点作，交的延长线于，

，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，，
又，
≌，
，
，，，
≌，
，
；
是等边三角形，
，
，
，
点在以点为顶点，与成的直线上运动，
当时，有最小值，
如图，在上取一点，连接，使，

，
，，
，
，，
，
在中，，
，
．

【解析】由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，≌，可得，，可得结论；
由题意可得当时，有最小值，由直角三角形的性质和勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．