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2022年福建省中考数学模拟卷(word版含答案)
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这是一份2022年福建省中考数学模拟卷(word版含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省中考数学模拟卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．在四个数﹣3，0，，﹣1中，最小的是（ ）
A．﹣3 B．0 C． D．﹣1
A．2．如图，该几何体的主视图是
A． B． C． D．
3．如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45° D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
4．下列运算正确的是
A． B． C． D．
5．学校组织“热爱祖国”演讲比赛，小娜演讲内容得90分，语言表达得88分，若按演讲内容占60%、语言表达占40%的比例计算总成绩，则小娜的总成绩是（ ）
A．90分 B．88分 C．89分 D．89.2分
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 （注：其中的丈、尺是长度单位，1丈尺）
A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺
7．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
8．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2
9．如图，PA是⊙O的切线，OP交⊙O于点B，如果，OB＝1，那么BP的长是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
10．设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）是抛物线y＝﹣ax2+2ax﹣1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系可能为（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．计算：（π﹣1）0+|﹣3|﹣＝ ．
12．某市某天的最高气温为﹣3℃，最低气温为﹣5℃，这天的温差是 ．
13．如图是某校举办数学竞赛参赛同学的决赛成绩，则该决赛成绩的中位数为 分．
14．已知扇形的弧长为2πcm，半径为4cm，则此扇形的面积为 cm2．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tan∠ADE＝，M为ED的中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组成的三角形与△AED相似，则PN的长为 ．
16．如图，点A在x轴正半轴上，B（5，4），四边形AOCB为平行四边形，反比例函数y＝的图象经过点C，交AB边于点D，则点D的坐标为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解不等式组：．
18．先化简，再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．
19．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．如图．
（1）∠BEC＝ °；（2）在图中已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
20．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6
（1）尺规作图：作AB边上的中点D和△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
21．某商场购进A、B两种商品共200件进行销售，其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于50件，A、B两种商品的进价、售价如表：
A
B
进价（元/件）
150
130
售价（元/件）
220
195
（1）设商场购进A商品的件数为x（件），购进A、B两种商品全部售出后获得的利润为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）在（1）条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中捐给慈善基金m（5＜m≤10）元，求该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润．
22．菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．
23．某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元．（1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，四边形OABC为矩形，AB＝4，cos∠ACB＝，点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF＝∠ACB．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）当△CEF是等腰三角形时，求DE的长；（3）当CF的长最小时，求△CED的内切圆圆心G的坐标．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．在四个数﹣3，0，，﹣1中，最小的是（ ）
A．﹣3 B．0 C． D．﹣1
解：∵|﹣3|＝3，|﹣1|＝1，3＞1，∴﹣3＜﹣1，
∴﹣3＜﹣1＜0＜，∴在﹣3，0，，﹣1这四个数中，最小的是﹣3．答案：A．
2．如图，该几何体的主视图是
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看，底层是一个矩形，上层的右边是一个矩形．故选：．
3．如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45° D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
解：如图，由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，则AB＝6km，
如图所示，过P点作AB的垂线PC，则PC＝3km，
则从点P向北偏西45°走3km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；
则从点P向北走3km后到达BP中点D，此时CD为△PAB的中位线，故CD＝AP＝3，故再向西走3km到达l，选项D正确．答案：A．
4．下列运算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：选项，故选项错误，选项，故选项错误，
选项，故选项错误，选项，故选项正确，故选：．
5．学校组织“热爱祖国”演讲比赛，小娜演讲内容得90分，语言表达得88分，若按演讲内容占60%、语言表达占40%的比例计算总成绩，则小娜的总成绩是（ ）
A．90分 B．88分 C．89分 D．89.2分
解：＝89.2（分），答案：D．
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 （注：其中的丈、尺是长度单位，1丈尺）
A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺
【解答】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．解得：，
答：折断处离地面的高度为4.55尺．故选：．
7．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝10°．答案：B．
8．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2
解：从图象可知：两直线的图象交点坐标是（﹣1，2），
∴关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为x＞﹣1，答案：B．
9．如图，PA是⊙O的切线，OP交⊙O于点B，如果，OB＝1，那么BP的长是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，
∵sinP＝，OB＝1，∴AO＝1，则OP＝2，故BP＝2﹣1＝1．答案：C．
10．设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）是抛物线y＝﹣ax2+2ax﹣1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系可能为（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
解：∵抛物线y＝﹣ax2+2ax﹣1，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∵A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）是抛物线y＝﹣ax2+2ax﹣1上的三点，
∴点C关于对称轴x＝1的对称点是（﹣，y3），
∵﹣2＜﹣＜﹣1，若﹣a＞0时，则y2＞y3＞y1，若﹣a＜0时，则y1＞y3＞y2，答案：B
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．计算：（π﹣1）0+|﹣3|﹣＝ ．
解：原式＝1+3﹣2＝4﹣2，答案：4﹣2．
12．某市某天的最高气温为﹣3℃，最低气温为﹣5℃，这天的温差是 ．
解：（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3+5＝2（℃）．答案：2℃．
13．如图是某校举办数学竞赛参赛同学的决赛成绩，则该决赛成绩的中位数为 分．
解：2+7+5+3＝17（人），17个参赛学生成绩的中位数为第9个，
∴所有参赛学生成绩的中位数落在98分这个组内，中位数是98分，答案：98．
14．已知扇形的弧长为2πcm，半径为4cm，则此扇形的面积为 cm2．
解：∵扇形的弧长为2πcm，半径为4cm，∴该扇形的面积为×2π×4＝4π（cm2），答案：4π．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tan∠ADE＝，M为ED的中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组成的三角形与△AED相似，则PN的长为 ．
解：∵正方形ABCD的边长为4，tan∠ADE＝，∴DE＝＝5，
∵M为ED的中点，∴DM＝EM＝，在Rt△PMD中，PM＝DM•tan∠ADE＝×＝，
如图：
①若点N在线段PM上，△EMN1∽△DAE时，
∴，即，解得：MN1＝，∴PN1＝PM﹣MN1＝0；
②若点N在线段PM延长线上，△EMN2∽△DAE时，
∴，即，解得：MN2＝，∴PN2＝PM+MN2＝；
③若点N在线段PM延长线上，△EMN3∽△EAD时，
∴，即，解得：MN3＝，∴PN3＝PM+MN3＝．
答案：0或或．
16．如图，点A在x轴正半轴上，B（5，4），四边形AOCB为平行四边形，反比例函数y＝的图象经过点C，交AB边于点D，则点D的坐标为 ．
解：作CE⊥OA于E，
∵B（5，4），四边形AOCB为平行四边形，∴C的纵坐标为4，
∵反比例函数y＝的图象经过点C，∴4＝，∴x＝2，
∴C（2，4），OA＝BC＝5﹣2＝3，∴A（3，0），设直线OC为y＝kx，
把C（2，4）代入得，4＝2k，解得k＝2，∵AB∥OC，
∴设直线AB的解析式为y＝2x+b，代入A（3，0）解得，b＝﹣6，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣6，
由得或，∴点D的坐标为（4，2），答案：（4，2）．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解不等式组：．
解：，由①得：x≥﹣5，由②得：x＜3，
∴不等式组的解集是﹣5≤x＜3．
18．先化简，再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．
解：＝÷＝•
＝•＝﹣＝﹣，
∵a2﹣2a﹣1＝0，∴a2﹣2a＝1，当a2﹣2a＝1时，原式＝﹣＝﹣1．
19．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．如图．
（1）∠BEC＝ °；（2）在图中已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝45°，∴∠BEC＝45°，答案：45；
（2）△ADE≌△ECF，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC．
∵FE⊥AE，∴∠AEF＝90°．∴∠AED+∠FEC＝180°﹣∠AEF＝90°．
∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠FEC＝∠EAD，
∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC＝45°．
∴∠BEC＝45°．∴∠EBC＝∠BEC．∴BC＝EC．∴AD＝EC．
在△ADE和△ECF中，，∴△ADE≌△ECF（ASA）．
20．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6
（1）尺规作图：作AB边上的中点D和△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
解：（1）中点D如图所示，△ADE即为所求．
（2）由题意AE＝BC＝6，∴6﹣4＜EC＜4+6，∴2＜EC＜10，
∵EC＝2CD，∴1＜CD＜5．
21．某商场购进A、B两种商品共200件进行销售，其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于50件，A、B两种商品的进价、售价如表：
A
B
进价（元/件）
150
130
售价（元/件）
220
195
（1）设商场购进A商品的件数为x（件），购进A、B两种商品全部售出后获得的利润为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）在（1）条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中捐给慈善基金m（5＜m≤10）元，求该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润．
解：（1）由题意可得，y＝（220﹣150）x+（195﹣130）（200﹣x）＝5x+13000，
∵A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于50件，
∴50≤x≤200﹣x，解得50≤x≤100，
即y与x之间的函数关系式是y＝5x+13000（50≤x≤100）；
（2）设最后获得的利润为w元，
由题意可得：w＝y﹣mx＝（5x+13000）﹣mx＝（5﹣m）x+13000，
∵5＜m≤10，∴5﹣m＜0，∴w随x的增大而减小，
∵50≤x≤100，∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝13250﹣50m，
答：该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润是（13250﹣50m）元．
22．菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．
（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC，
∵点E为AD的中点，∴AE＝AD＝3，
∵AD∥BC，∴△AOE∽△COB，∴＝＝＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠EAC＝60°＝∠B，
∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，∴AE＝BF，
在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，
即∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形．
23．某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元．（1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由．
解：（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞83时，y＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700，
∴乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系为：y＝；
（2）①甲公司产品销售数量不超过87件的概率为：＝；
②设甲公司的给超市的日利润为x元，则x的所有可能的值为：171，174，177，180，183，
＝（171×5+174×10+177×5+180×20+183×10）＝178.2（元），
设乙公司的给超市的日利润为y元，则y的所有可能的值为：130，140，170，200，230，
＝×（130×50+0×5+10×5+40×10+70×15+100×15）＝190（元），
∵＜，∴超市应代理销售乙公司的产品较为合适．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，四边形OABC为矩形，AB＝4，cos∠ACB＝，点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF＝∠ACB．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）当△CEF是等腰三角形时，求DE的长；（3）当CF的长最小时，求△CED的内切圆圆心G的坐标．
（1）证明：如图，∵四边形OABC为矩形，∴OA∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，
∵点D与点A关于y轴对称，∴AC＝CD，∴∠CDA＝∠CAD＝∠ACB，
∵∠CEF＝∠ACB，∴∠CEF＝∠CDA，∴∠CED+∠AEF＝∠CED+∠DCE，
∴∠AEF＝∠DCE，∴△AEF∽△DCE；
（2）解：∵点E与点D不重合，∴点F与点A不重合，
∴∠CFE＞∠CAD，∴∠CFE＞∠CEF，∴CE≠CF，
①若CE＝EF，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE，∴CD＝AE，
∵cos∠ACB＝，设BC＝3k，则AC＝5k，由勾股定理得AB＝4k，
∵AB＝4，∴k＝1，∴BC＝3，AC＝5，
∴OA＝OD＝3，AD＝6，CD＝5，∴AE＝5，∴DE＝1；
②若CF＝EF，则∠ECF＝∠CEF＝∠CDA＝∠CAD，∴△CEF∽△DAC，∴＝＝，
∵△AEF∽△DCE，∴＝，∴＝，∴＝，∴DE＝，
综上，DE的长为1或；
（3）解：设DE＝x，CD＝y，∵△AEF∽△DCE，∴＝，∴＝，
∴y＝x2﹣x+5（0＜x＜6），∴y＝（x﹣3）2+，∴当x＝3时，y有最小值，
即当DE的长为3时，CF长最小，最小值为，此时，点E与点O重合，
设⊙G切△DCE三边于M、N、P，如图，连接GM，GN，
设EN＝EM＝半径r，则CP＝CN＝4﹣r，DP＝DM＝3﹣r，
∵CP+DP＝CD，∴4﹣r+3﹣r＝5，∴r＝1，∴点G的坐标是（﹣1，1）．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
解：（1）抛物线过A（﹣1，0），对称轴为x＝2，
∴，解得，∴抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
∵∠CAB＝45°，∴AE＝CE，
设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc+1，∴C（xc，xc+1），
代入y＝x2﹣4x﹣5得，xc+1＝﹣4xc﹣5，解得xc＝﹣1（舍去），xc＝6，∴yc＝7，
∴点C的坐标是（6，7）；
（3）由（2）得C的坐标是（6，7），
∵对称轴x＝2，∴点D的坐标是（﹣2，7），∴CD＝8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，设△PCD以CD为底边的高为h，则h＝|yp|+7，
∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，∵1≤xp≤a，1≤a≤5，
①当1≤a＜2时，1≤xp≤a，此时y＝x2﹣4x﹣5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，
∴|yp|max＝|a2﹣4a﹣5|＝5+4a﹣a2，∴h＝|yp|+7＝12+4a﹣a2，∴△PCD的最大面积为：
Smax＝×CD×h＝×8×（12+4a﹣a2）＝48+16a﹣4a2；
②当2≤a≤5时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp＜a内，
∴|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9，∴h＝9+7＝16，
∴△PCD的最大面积为Smax＝×CD×h＝×8×16＝64，
综上所述：当1≤a＜2时，△PCD的最大面积为48+16a﹣4a2；
当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64
福建省中考数学模拟卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．在四个数﹣3，0，，﹣1中，最小的是（ ）
A．﹣3 B．0 C． D．﹣1
A．2．如图，该几何体的主视图是
A． B． C． D．
3．如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45° D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
4．下列运算正确的是
A． B． C． D．
5．学校组织“热爱祖国”演讲比赛，小娜演讲内容得90分，语言表达得88分，若按演讲内容占60%、语言表达占40%的比例计算总成绩，则小娜的总成绩是（ ）
A．90分 B．88分 C．89分 D．89.2分
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 （注：其中的丈、尺是长度单位，1丈尺）
A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺
7．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
8．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2
9．如图，PA是⊙O的切线，OP交⊙O于点B，如果，OB＝1，那么BP的长是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
10．设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）是抛物线y＝﹣ax2+2ax﹣1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系可能为（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．计算：（π﹣1）0+|﹣3|﹣＝ ．
12．某市某天的最高气温为﹣3℃，最低气温为﹣5℃，这天的温差是 ．
13．如图是某校举办数学竞赛参赛同学的决赛成绩，则该决赛成绩的中位数为 分．
14．已知扇形的弧长为2πcm，半径为4cm，则此扇形的面积为 cm2．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tan∠ADE＝，M为ED的中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组成的三角形与△AED相似，则PN的长为 ．
16．如图，点A在x轴正半轴上，B（5，4），四边形AOCB为平行四边形，反比例函数y＝的图象经过点C，交AB边于点D，则点D的坐标为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解不等式组：．
18．先化简，再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．
19．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．如图．
（1）∠BEC＝ °；（2）在图中已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
20．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6
（1）尺规作图：作AB边上的中点D和△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
21．某商场购进A、B两种商品共200件进行销售，其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于50件，A、B两种商品的进价、售价如表：
A
B
进价（元/件）
150
130
售价（元/件）
220
195
（1）设商场购进A商品的件数为x（件），购进A、B两种商品全部售出后获得的利润为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）在（1）条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中捐给慈善基金m（5＜m≤10）元，求该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润．
22．菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．
23．某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元．（1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，四边形OABC为矩形，AB＝4，cos∠ACB＝，点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF＝∠ACB．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）当△CEF是等腰三角形时，求DE的长；（3）当CF的长最小时，求△CED的内切圆圆心G的坐标．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．在四个数﹣3，0，，﹣1中，最小的是（ ）
A．﹣3 B．0 C． D．﹣1
解：∵|﹣3|＝3，|﹣1|＝1，3＞1，∴﹣3＜﹣1，
∴﹣3＜﹣1＜0＜，∴在﹣3，0，，﹣1这四个数中，最小的是﹣3．答案：A．
2．如图，该几何体的主视图是
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看，底层是一个矩形，上层的右边是一个矩形．故选：．
3．如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45° D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
解：如图，由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，则AB＝6km，
如图所示，过P点作AB的垂线PC，则PC＝3km，
则从点P向北偏西45°走3km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；
则从点P向北走3km后到达BP中点D，此时CD为△PAB的中位线，故CD＝AP＝3，故再向西走3km到达l，选项D正确．答案：A．
4．下列运算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：选项，故选项错误，选项，故选项错误，
选项，故选项错误，选项，故选项正确，故选：．
5．学校组织“热爱祖国”演讲比赛，小娜演讲内容得90分，语言表达得88分，若按演讲内容占60%、语言表达占40%的比例计算总成绩，则小娜的总成绩是（ ）
A．90分 B．88分 C．89分 D．89.2分
解：＝89.2（分），答案：D．
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是 （注：其中的丈、尺是长度单位，1丈尺）
A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺
【解答】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．解得：，
答：折断处离地面的高度为4.55尺．故选：．
7．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝10°．答案：B．
8．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2
解：从图象可知：两直线的图象交点坐标是（﹣1，2），
∴关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为x＞﹣1，答案：B．
9．如图，PA是⊙O的切线，OP交⊙O于点B，如果，OB＝1，那么BP的长是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，
∵sinP＝，OB＝1，∴AO＝1，则OP＝2，故BP＝2﹣1＝1．答案：C．
10．设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）是抛物线y＝﹣ax2+2ax﹣1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系可能为（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
解：∵抛物线y＝﹣ax2+2ax﹣1，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∵A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）是抛物线y＝﹣ax2+2ax﹣1上的三点，
∴点C关于对称轴x＝1的对称点是（﹣，y3），
∵﹣2＜﹣＜﹣1，若﹣a＞0时，则y2＞y3＞y1，若﹣a＜0时，则y1＞y3＞y2，答案：B
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．计算：（π﹣1）0+|﹣3|﹣＝ ．
解：原式＝1+3﹣2＝4﹣2，答案：4﹣2．
12．某市某天的最高气温为﹣3℃，最低气温为﹣5℃，这天的温差是 ．
解：（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3+5＝2（℃）．答案：2℃．
13．如图是某校举办数学竞赛参赛同学的决赛成绩，则该决赛成绩的中位数为 分．
解：2+7+5+3＝17（人），17个参赛学生成绩的中位数为第9个，
∴所有参赛学生成绩的中位数落在98分这个组内，中位数是98分，答案：98．
14．已知扇形的弧长为2πcm，半径为4cm，则此扇形的面积为 cm2．
解：∵扇形的弧长为2πcm，半径为4cm，∴该扇形的面积为×2π×4＝4π（cm2），答案：4π．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tan∠ADE＝，M为ED的中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组成的三角形与△AED相似，则PN的长为 ．
解：∵正方形ABCD的边长为4，tan∠ADE＝，∴DE＝＝5，
∵M为ED的中点，∴DM＝EM＝，在Rt△PMD中，PM＝DM•tan∠ADE＝×＝，
如图：
①若点N在线段PM上，△EMN1∽△DAE时，
∴，即，解得：MN1＝，∴PN1＝PM﹣MN1＝0；
②若点N在线段PM延长线上，△EMN2∽△DAE时，
∴，即，解得：MN2＝，∴PN2＝PM+MN2＝；
③若点N在线段PM延长线上，△EMN3∽△EAD时，
∴，即，解得：MN3＝，∴PN3＝PM+MN3＝．
答案：0或或．
16．如图，点A在x轴正半轴上，B（5，4），四边形AOCB为平行四边形，反比例函数y＝的图象经过点C，交AB边于点D，则点D的坐标为 ．
解：作CE⊥OA于E，
∵B（5，4），四边形AOCB为平行四边形，∴C的纵坐标为4，
∵反比例函数y＝的图象经过点C，∴4＝，∴x＝2，
∴C（2，4），OA＝BC＝5﹣2＝3，∴A（3，0），设直线OC为y＝kx，
把C（2，4）代入得，4＝2k，解得k＝2，∵AB∥OC，
∴设直线AB的解析式为y＝2x+b，代入A（3，0）解得，b＝﹣6，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣6，
由得或，∴点D的坐标为（4，2），答案：（4，2）．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解不等式组：．
解：，由①得：x≥﹣5，由②得：x＜3，
∴不等式组的解集是﹣5≤x＜3．
18．先化简，再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．
解：＝÷＝•
＝•＝﹣＝﹣，
∵a2﹣2a﹣1＝0，∴a2﹣2a＝1，当a2﹣2a＝1时，原式＝﹣＝﹣1．
19．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．如图．
（1）∠BEC＝ °；（2）在图中已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝45°，∴∠BEC＝45°，答案：45；
（2）△ADE≌△ECF，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC．
∵FE⊥AE，∴∠AEF＝90°．∴∠AED+∠FEC＝180°﹣∠AEF＝90°．
∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠FEC＝∠EAD，
∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC＝45°．
∴∠BEC＝45°．∴∠EBC＝∠BEC．∴BC＝EC．∴AD＝EC．
在△ADE和△ECF中，，∴△ADE≌△ECF（ASA）．
20．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6
（1）尺规作图：作AB边上的中点D和△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
解：（1）中点D如图所示，△ADE即为所求．
（2）由题意AE＝BC＝6，∴6﹣4＜EC＜4+6，∴2＜EC＜10，
∵EC＝2CD，∴1＜CD＜5．
21．某商场购进A、B两种商品共200件进行销售，其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于50件，A、B两种商品的进价、售价如表：
A
B
进价（元/件）
150
130
售价（元/件）
220
195
（1）设商场购进A商品的件数为x（件），购进A、B两种商品全部售出后获得的利润为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）在（1）条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中捐给慈善基金m（5＜m≤10）元，求该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润．
解：（1）由题意可得，y＝（220﹣150）x+（195﹣130）（200﹣x）＝5x+13000，
∵A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于50件，
∴50≤x≤200﹣x，解得50≤x≤100，
即y与x之间的函数关系式是y＝5x+13000（50≤x≤100）；
（2）设最后获得的利润为w元，
由题意可得：w＝y﹣mx＝（5x+13000）﹣mx＝（5﹣m）x+13000，
∵5＜m≤10，∴5﹣m＜0，∴w随x的增大而减小，
∵50≤x≤100，∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝13250﹣50m，
答：该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润是（13250﹣50m）元．
22．菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．
（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC，
∵点E为AD的中点，∴AE＝AD＝3，
∵AD∥BC，∴△AOE∽△COB，∴＝＝＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠EAC＝60°＝∠B，
∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，∴AE＝BF，
在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，
即∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形．
23．某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元．（1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由．
解：（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞83时，y＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700，
∴乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系为：y＝；
（2）①甲公司产品销售数量不超过87件的概率为：＝；
②设甲公司的给超市的日利润为x元，则x的所有可能的值为：171，174，177，180，183，
＝（171×5+174×10+177×5+180×20+183×10）＝178.2（元），
设乙公司的给超市的日利润为y元，则y的所有可能的值为：130，140，170，200，230，
＝×（130×50+0×5+10×5+40×10+70×15+100×15）＝190（元），
∵＜，∴超市应代理销售乙公司的产品较为合适．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，四边形OABC为矩形，AB＝4，cos∠ACB＝，点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF＝∠ACB．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）当△CEF是等腰三角形时，求DE的长；（3）当CF的长最小时，求△CED的内切圆圆心G的坐标．
（1）证明：如图，∵四边形OABC为矩形，∴OA∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，
∵点D与点A关于y轴对称，∴AC＝CD，∴∠CDA＝∠CAD＝∠ACB，
∵∠CEF＝∠ACB，∴∠CEF＝∠CDA，∴∠CED+∠AEF＝∠CED+∠DCE，
∴∠AEF＝∠DCE，∴△AEF∽△DCE；
（2）解：∵点E与点D不重合，∴点F与点A不重合，
∴∠CFE＞∠CAD，∴∠CFE＞∠CEF，∴CE≠CF，
①若CE＝EF，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE，∴CD＝AE，
∵cos∠ACB＝，设BC＝3k，则AC＝5k，由勾股定理得AB＝4k，
∵AB＝4，∴k＝1，∴BC＝3，AC＝5，
∴OA＝OD＝3，AD＝6，CD＝5，∴AE＝5，∴DE＝1；
②若CF＝EF，则∠ECF＝∠CEF＝∠CDA＝∠CAD，∴△CEF∽△DAC，∴＝＝，
∵△AEF∽△DCE，∴＝，∴＝，∴＝，∴DE＝，
综上，DE的长为1或；
（3）解：设DE＝x，CD＝y，∵△AEF∽△DCE，∴＝，∴＝，
∴y＝x2﹣x+5（0＜x＜6），∴y＝（x﹣3）2+，∴当x＝3时，y有最小值，
即当DE的长为3时，CF长最小，最小值为，此时，点E与点O重合，
设⊙G切△DCE三边于M、N、P，如图，连接GM，GN，
设EN＝EM＝半径r，则CP＝CN＝4﹣r，DP＝DM＝3﹣r，
∵CP+DP＝CD，∴4﹣r+3﹣r＝5，∴r＝1，∴点G的坐标是（﹣1，1）．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
解：（1）抛物线过A（﹣1，0），对称轴为x＝2，
∴，解得，∴抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
∵∠CAB＝45°，∴AE＝CE，
设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc+1，∴C（xc，xc+1），
代入y＝x2﹣4x﹣5得，xc+1＝﹣4xc﹣5，解得xc＝﹣1（舍去），xc＝6，∴yc＝7，
∴点C的坐标是（6，7）；
（3）由（2）得C的坐标是（6，7），
∵对称轴x＝2，∴点D的坐标是（﹣2，7），∴CD＝8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，设△PCD以CD为底边的高为h，则h＝|yp|+7，
∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，∵1≤xp≤a，1≤a≤5，
①当1≤a＜2时，1≤xp≤a，此时y＝x2﹣4x﹣5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，
∴|yp|max＝|a2﹣4a﹣5|＝5+4a﹣a2，∴h＝|yp|+7＝12+4a﹣a2，∴△PCD的最大面积为：
Smax＝×CD×h＝×8×（12+4a﹣a2）＝48+16a﹣4a2；
②当2≤a≤5时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp＜a内，
∴|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9，∴h＝9+7＝16，
∴△PCD的最大面积为Smax＝×CD×h＝×8×16＝64，
综上所述：当1≤a＜2时，△PCD的最大面积为48+16a﹣4a2；
当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64
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