高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程学案

双曲线的标准方程

【学习目标】

1．通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养．

2．借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．

【学习重难点】

1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．（重点）

2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．（重点）

3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．（难点）

【学习过程】

一、新知初探

1．双曲线定义

一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．

2．双曲线的标准方程

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线．（    ）

（2）在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b．（    ）

（3）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b．（    ）

2．双曲线－y2＝1的焦距为（    ）

A．4 B．8

C． D．2

3．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于（    ）

A．2 B．4

C．8 D．12

4．点P到两定点F1（－2,0），F2（2,0）的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹方程为_________．

三、合作探究

类型1：双曲线定义的应用

【例1】已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积．

类型2：求双曲线的标准方程

【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．

（1）一个焦点是（0，－6），经过点A（－5,6）；

（2）经过点P1和P2（，4）两点．

类型3：与双曲线有关的轨迹问题

【例3】在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．

【学习小结】

1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a（2a＜|F1F2|）不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．

2．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2．

3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．

如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1（mn＜0）的形式求解．

【精炼反馈】

1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为（    ）

A． B．1或－2

C．1或 D．1

3．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是（    ）

A．（1,2） B．（2，＋∞）

C．（－∞，－2） D．（－2,2）

4．已知双曲线的两个焦点分别为F1（－，0），F2（，0），P是双曲线上的一点且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为_________．

5．已知动圆M与圆C1：（x＋3）2＋y2＝9外切且与圆C2：（x－3）2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．