数学选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程导学案

双曲线的标准方程

【学习目标】

1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.

2．掌握双曲线的标准方程.

3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.

【学习过程】

本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程.

1．双曲线的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的             等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做               ，                 叫做双曲线的焦距.

2．双曲线的标准方程

【学习拓展】

探究点一　双曲线的定义

问题1　取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭笼拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？

问题2　双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？

问题3　双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常2a,2a<|F1F2|?

问题4　已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？

（1）；

（2）

探究点二　双曲线的标准方程

问题1　类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？

问题2　两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？

问题3　如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使|OB|＝b吗？

例1　（1）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；

（2）求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程.

跟踪训练1　

（1）过点(1,1)且＝的双曲线的标准方程是 (　)

A．  B．－x2＝1   C．x2－＝1  D．－y2＝1或－x2＝1

（2）若双曲线以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______

探究点三　与双曲线定义有关的应用问题

例2　已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点).

跟踪训练2　如图，从双曲线－＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝3的切线FP交双曲线右支于点P， T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于                                          (　　)

A．    B．    C．－  D．＋

例3　已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.

　2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所

示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA、PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.

【达标检测】

1．已知A(0，－5)、B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为 (　　)

A．双曲线或一条直线    B．双曲线或两条直线

C．双曲线一支或一条直线    D．双曲线一支或一条射线

2．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是 (　　)

A．焦点在x轴上的椭圆   B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在y轴上的双曲线   D．焦点在x轴上的双曲线

3．双曲线－＝1上一点P到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 (　　)

A．7    B．23    C．5或25     D．7或23

4．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程.

【学习小结】

1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a (2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线.

2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.

3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解.

【达标检测】

1．已知方程的图形是双曲线，那么k的取值范围是（      ）

A．k>5    B．k>5，或    C．k>2，或        D．

2．（    ）

A．2            B．22          C．4或22           D．2或22

3．已知双曲线 ，为过左焦点的直线与双曲线左支的两个交点，为右焦点，则△的周长为           

4．根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）过点P，Q且焦点在坐标轴上；

（2）c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．

（3）

5．已知双曲线的两个焦点,点在双曲线上，

（1）求双曲线的方程

（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，

若△的面积为求直线的方程