人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质教案

双曲线的几何性质

【教学目标】

1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。

2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。

【教学重难点】

重点：双曲线的几何性质及初步运用。

难点：双曲线的渐近线。

【教学过程】

一、复习提问引入新课

1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？

2．双曲线的两种标准方程是什么？

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质。

二、类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)

引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格。

三、渐近线

双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么从x，y的变化趋势看，双曲线与直线具有怎样的关系呢？

根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系。

双曲线在第一象限的部分可写成：

当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON。

在其他象限内也可以证明类似的情况。

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字母对调所得，所以，双曲线的渐近线方程是，即。

定义：直线叫做双曲线 的渐近线；直线叫做双曲线 的渐近线。

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确地画出双曲线。例如：画双曲线，先作渐近线，再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线。

四、离心率

由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。

这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变。

五、例题讲解

例1．求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。

分析：由双曲线的标准方程，容易求出。引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是。

例2．已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程。

例3．求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率。

分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；方法二：可直接设所求的双曲线的方程为。

例4．求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。

例5．如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程。

分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程。

例6．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为。试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到）。

六、课堂练习

1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程。

（1）16x2－9y2=144；

（2）16x2－9y2=－144。

2．求双曲线的标准方程：

（1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；

（2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；

曲线的方程。

点到两准线及右焦点的距离。