数学选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程导学案

抛物线的标准方程

【学习目标】

1．使学生掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程；
2．根据定义画出抛物线的草图  
3．使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平

【学习过程】

一、求抛物线的标准方程

活动与探究1

根据下列条件写出抛物线的标准方程：

(1)经过点(－3，－1)；

(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．

迁移与应用

动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．

求抛物线方程的方法：

(1)定义法：直接利用定义求解；

(2)待定系数法：若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．

二、由抛物线方程求焦点坐标、准线方程

活动与探究2

已知下列抛物线的方程，分别求其焦点坐标和准线方程：

(1)y2＝8x；(2)2x2＋5y＝0；(3)y2＝ax(a＞0)．

迁移与应用

1．抛物线y＝4x2的焦点坐标为(　　)

A．(1,0)          B．

C．        D．

2．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．

如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．注意焦点与准线在原点的两侧，它们与原点的距离均等于一次项系数的绝对值的．

三、抛物线定义的应用

活动与探究3

(1)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)

A．抛物线        B．双曲线

C．椭圆          D．圆

(2)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)

A．(0,2)          B．[0,2]

C．(2，＋∞)      D．[2，＋∞)

       迁移与应用

1．若抛物线y2＝4x上有一点P到焦点F的距离为5，且点P在直线x＋y－3＝0的上方，则P的坐标为__________．

2．抛物线x2＝ay过点A，则点A到此抛物线焦点的距离为__________．

在解答有关抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离(常称为焦半径)的问题时，我们有以下结论(p＞0)：

(1)对于抛物线y2＝2px，|PF|＝＋x0；

(2)对于抛物线y2＝－2px，|PF|＝－x0；

(3)对于抛物线x2＝2py，|PF|＝＋y0；

(4)对于抛物线x2＝－2py，|PF|＝－y0．

四、与抛物线有关的最值问题

活动与探究4

已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．

迁移与应用

1．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　)

A．        B．

C．(1,2)            D．(1，－2)

2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．

解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等．

四、参考答案

课前·预习导学

预习导引

1．距离相等　焦点　准线

预习交流1　(1)提示：轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．

(2)提示：B

2．y2＝2px(p＞0)　　x＝－　y2＝－2px(p＞0)　　x＝　x2＝2py(p＞0)　　y＝－　x2＝－2py(p＞0)　　y＝

预习交流2　(1)提示：以y2＝2px(p＞0)为例，焦点是，准线方程是x＝－，所以p是焦点到准线的距离．

(2)提示：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上；焦点确定，开口方向也随之确定．

(3)提示：(－1,0)　x＝1　左

【合作探究】

问题导学

活动与探究1　思路分析：(1)点在第三象限，则抛物线的焦点可能在x轴的负半轴上，也可能在y轴的负半轴上，按这两种情况进行讨论；(2)直线与坐标轴的交点有两个，分情况讨论焦点的位置，从而确定抛物线的标准方程．

解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限，

∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．

若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，

则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；

若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，

则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝．

∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y．

(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，

∴所求抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．

当焦点为(0，－3)时，＝3，

∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；

当焦点为(4,0)时，＝4，

∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x．

∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．

迁移与应用　1．

解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA．

设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1．

∵圆P与圆A外切，

∴|PA|＝R＋r＝R＋1．

又∵圆P与直线l：x＝1相切，

∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1．

∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′距离相等，

∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．

设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，

可知p＝4，

∴所求的轨迹方程为y2＝－8x．

活动与探究2　思路分析：解答本题可先把原方程转化为标准方程，求得参数p，再求焦点坐标和准线方程．

解：(1)∵p＝4，∴所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是x＝－2．

(2)2x2＋5y＝0化为x2＝－y，且抛物线开口向下，

∴p＝．

∴抛物线的焦点坐标为，准线方程是y＝．

(3)由于a＞0，∴p＝，

∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－．

迁移与应用　1．D　解析：原方程化为标准方程为x2＝y，焦点在y轴上，且p＝，∴抛物线的焦点坐标为．

2．解：由已知设抛物线的标准方程是x2＝－2py(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)，

把P(－2，－4)代入x2＝－2py或y2＝－2px得p＝或p＝4，故所求的抛物线的标准方程是x2＝－y或y2＝－8x．

当抛物线方程是x2＝－y时，焦点坐标是F，准线方程是y＝．

当抛物线方程是y2＝－8x时，焦点坐标是F(－2,0)，准线方程是x＝2．

活动与探究3　(1)思路分析：利用圆与圆外切、直线与圆相切的几何条件求轨迹．

A　解析：由题意知动圆圆心C到点(0,3)距离与到定直线y＝－1的距离相等，

∴C的圆心轨迹是抛物线．

(2)思路分析：利用抛物线的定义将|FM|转化为点M到准线的距离，再利用直线与圆相交的条件求解．

C　解析：由抛物线方程为x2＝8y，得焦点坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2，

则|FM|等于点M到准线y＝－2的距离，

∴|FM|＝y0＋2．

又圆与准线相交，

∴|FM|＝y0＋2＞4．∴y0＞2．

迁移与应用　1．(4,4)　解析：设P的坐标为(x0，y0)，

∵抛物线方程为y2＝4x，

∴准线方程为x＝－1．

∴|PF|＝x0＋1＝5．∴x0＝4．

代入抛物线方程，得y＝4x0＝16，

∴y0＝±4．

又∵P在直线x＋y－3＝0的上方，

∴P的坐标为(4,4)．

2．　解析：把点A代入抛物线方程得a＝4，即抛物线方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1．由抛物线定义，得|AF|＝1＋＝．

活动与探究4　思路分析：根据抛物线的定义把|PF|转化为点P到准线的距离，画出图形，通过观察图形，利用“数形结合”的思想即可求出点P的坐标．

解：∵(－2)2＜8×4，

∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．

如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，

由抛物线的定义可知：|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|．

∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝．

故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为．

迁移与应用　1．A

解析：点Q(2，－1)在抛物线内部，如图所示．

由抛物线的定义知，抛物线上的点P到点F的距离等于点P到准线x＝－1的距离，过Q点作x＝－1的垂线，与抛物线交于K，则K为所求，当y＝－1时，x＝，∴P为．

2．解：(1)当点A在抛物线内部时，42＜2p·，

即p＞时，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|．

当A，M，A′共线时(如图中A，M′，A″共线时)，(|MF|＋|MA|)min＝5．

故＝5－＝p＝3，满足3＞，

所以抛物线方程为y2＝6x．

(2)当点A在抛物线外部或在抛物线上时，42≥2p·，

即0＜p≤时，连接AF交抛物线于点M，

此时(|MA|＋|MF|)最小，

即|AF|min＝5，2＋42＝25，

－＝±3p＝1或p＝13(舍去)．

故抛物线方程为y2＝2x．

综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x．

当堂检测

1．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离为(　　)

A．1        B．2        C．4        D．8

答案：B　解析：由y2＝4x得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，

∴焦点到准线的距离为2．

2．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)

A．y2＝16x         B．y2＝12x

C．y2＝－20x       D．y2＝20x

答案：A　解析：由已知抛物线的焦点为(4,0)，

则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)．

∴，p＝8．

∴所求方程为y2＝16x．

3．已知动点M(x，y)的坐标满足，则动点M的轨迹是(　　)

A．椭圆

B．双曲线

C．抛物线

D．以上均不对

答案：C　解析：设F(2,0)，l：x＝－2，则M到F的距离为，M到直线l：x＝－2的距离为|x＋2|，又＝|x＋2|，所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点，l：x＝－2为准线的抛物线．

4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是__________．

答案：6　解析：由题意知P到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6，

由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6．

5．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为__________．

答案：5　解析：由x2＝4y知其准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，点A与焦点的距离等于点A到准线的距离，其距离为4－(－1)＝5．