2022天津河东区高三下学期二模试卷数学试题含解析

2022年河东区高考第二次模拟考试

数学试卷

一、选择题：（本题共9个小题，每小题5分，共5分，每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．）

1. 设集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用交集和补集的定义可求得结果.

【详解】由已知可得，.

故选：D.

2. 已知命题，命题，则命题p是命题q成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式，再根据充分、必要条件的判定方法，即可得到结果.

【详解】解不等式，可得，

又，

所以命题是命题成立的充分不必要条件.

故选：A．

3. 函数在的图象大致为

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】，为偶函数，则B、D错误；

又当时，，

当时，得，则

则极值点，故选C．

点睛：复杂函数的图象选择问题，首先利用对称性排除错误选项，如本题中得到为偶函数，排除B、D选项，在A、C选项中，由图可知，虽然两个图象在第一象限都是先增后减，但两个图象的极值点位置不同，则我们采取求导来判断极值点的位置，进一步找出正确图象．

4. 为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数n是

A. 30 B. 60

C. 70 D. 80

【答案】C

【解析】

【详解】解：由图可知：则底部周长小于110cm段的频率为（0.01+0.02+0.04）×10=0.7，

则频数为100×0.7=70人．

故选C．

5. 设，，，则a，b，c大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数函数的性质，比较的大小即可.

【详解】由，即，

又，可得，即，

∴.

故选：D.

6. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式计算即可得解.

【详解】依题意，该圆形攒尖的底面圆半径，高，则()，

所以该屋顶的体积约为.

故选：B

7. 已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别是，若点是抛物线的准线与的渐近线的一个交点，且满足，则双曲线的方程是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出四个选项中双曲线的离心率，判断是否为，利用排除法可得结果.

【详解】对于，的离心率为，不合题意；

对于，的离心率为，不合题意；

对于，的离心率为，不合题意；

对于，的离心率为，符合题意.

故选C.

【点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查了抛物线的方程与性质，考查了选择题的特殊解法，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.

8. 已知函数的最小正周期为，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为（ ）

①将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象； 

②的图象经过点；

③的图象的一个对称中心是；                             

④在上是减函数；

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函数的性质得出，再根据正弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】由最小正周期为，得；

由为对称轴，得，，

故取1，，所以；

①的图象向右平移个单位长度后，得，错误；

②,正确；

③，正确；

④，不单调，错误

故选：B

9. 已知函数，若方程有4个实根，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】当时，，当时，，当时， ， 所以设，当时，函数单调递减， 当时，，函数单调递减， ，当时， ，单调递增， ，如图，画出函数的图象，此时 ，若有四个不同的交点，需满足 ，故选D.

【点睛】本题考查了函数的性质以及根据函数图象求零点个数的问题，也是高考常考到的题型，本题的难点是含绝对值的问题怎么处理，一般来说，需要去绝对值时，根据零点分段法先去绝对值，得到分段函数，若是画的图象，需先画，再将函数在轴的下部分翻上去，根据图象求与其交点个数，求参数取值范围.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）

10. i是虚数单位，则复数___________.

【答案】

【解析】

【分析】对复数进行分母实数化即可化简.

【详解】

11. 在的二项展开式中，含的项的系数是_______．（用数字作答）

【答案】240

【解析】

【分析】先得到通项，再根据系数得到项数，然后计算即可.

【详解】根据二项式定理,的通项为，

当时,即时,可得.

即项的系数为.

故答案为：.

12. 圆与圆的公共弦长为________．

【答案】

【解析】

【分析】两圆方程相减得公共弦据直线方程，然后求出一个圆心到该直线距离，由勾股定理得弦长．

【详解】两圆方程相减得，即，

原点到此直线距离为，圆半径为，

所以所求公共弦长为．

故答案为：．

【点睛】本题考查两圆公共弦长，解题关键是求出公共弦所在直线方程．

13. 甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为，，，现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率为______；记三人命中总次数为，则______.

【答案】    ①. ；    ②.

【解析】

【分析】根据相互对立事件概率及相互独立事件的概率公式可求至少有一人命中的概率；

先求出随机变量的取值情况及相应的概率，然后结合期望公式可求．

【详解】解：由题意得，至少有一人命中的概率，

由题意得的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

．

故答案为：，．

14. 设正实数满足，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】将中的值进行代换，再结合均值不等式性质，即可求解

【详解】由，

则

故最小值为

【点睛】要熟悉均值不等式的一般形式和变形式，涉及拼凑法时，一定要注意等价性，不可多项或少项

15. 在中，点M，N是线段上的两点，，，则_______________，的取值范围是______________.

【答案】    ①. ；    ②. .

【解析】

【分析】由题意，先算出的值，再根据，即可得的值；然后由向量数量积的定义及，可得，对点利用极端分析，算出，的值，即可得到的取值范围．

【详解】解：由题意，，

，

，

又，，，

，

由题意，，则为外接圆的圆心，则.

因为点在线段上，所以

①假设点与点重合，则，与矛盾，

所以

②假设点与点重合，

则，，，

，

，

，即，，

假设点与点重合，

则，，，

此时，，

综上，，，

，，

，即，

故答案为：；．

【点睛】关键点点睛：根据点在线段上，所以分点与三个特殊点、、重合进行极端分析，从而求解.

三、解答题：（本大题5个题，共75分）

16. 在中，角的对边分别为，，，的面积为．

（1）求及的值； 

（2）求的值．

【答案】（1）,；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）由，，的面积为可求得的值，利用余弦定理可求得，再利用正弦定理可求得的值；（2）利用（1）的结论，由同角三角函数之间的关系可求得,再利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可得的值.

试题解析：（1）由已知，，，且

    ， ，                        

  在中，，

  .

（2） ，     又，，，

.

17. 如图所示，直角梯形ABCD中，，AD垂直AB，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．

（1）求证：∥平面ABE；

（2）求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；

（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）存在，且，理由见解析

【解析】

【分析】（1）取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，求得，由，即可求证平面；

（2）求得平面的一个法向量，根据，可求得答案；

（3）设，求向量与平面的法向量所成角的余弦值，列出方程求解，即可得出的值，从而可求出结果.

【小问1详解】

取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，

所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

由得，

不妨设，则，

，

又，

，

，

又平面，

平面.

【小问2详解】

，，

设平面的一个法向量为，

由得，

不妨设，则，，

，

则

，

，

平面与平面所成二面角的正弦值为.

【小问3详解】

存在，理由如下，

设，

则，所以，

又平面的一个法向量为，

即直线与平面所成角为，

则，

整理得，解得或，

当时，，则；

当时，，则；

综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为.

18. 已知等比数列前n项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列及数列的前n项和．

（3）设，求的前2n项和．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由及可得q的值，由可得的值，可得数列的通项公式；

（2）由可得，可得=，利用错位相减法即得；

（3）可得，利用裂项相消法即得.

【小问1详解】

由题意得：，可得，

∴，

由，可得，

由，可得，

∴，

可得；

【小问2详解】

由，可得，

由，可得，

∴，

可得的通项公式：=，

可得：，

，

∴

，

∴；

【小问3详解】

由，可得

，

可得：

.

19. 椭圆C：的离心率，．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由椭圆的离心率求得，由，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入化简整理即可得到为定值．

【小问1详解】

由椭圆离心率，则，

又，

解得：，，

则椭圆的标准方程为：；

【小问2详解】

证明：因为，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为

联立整理得．

则，故，则．

所以

又直线AD的方程为．

联立，解得

由三点，共线，

得，所以．

的斜率为．

则．

为定值．

20. 已知函数（且）．

（1），求函数在处的切线方程．

（2）讨论函数的单调性；

（3）若函数有两个零点，且，证明：．

【答案】（1）；   

（2）答案见解析；    （3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；

（2）求出导函数，对a分类讨论： a<0和a>0分别讨论单调性；

（3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)>0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e- x2)>0.

【小问1详解】

当时，，所以.

，所以.

所以函数在处的切线方程为，即.

【小问2详解】

的定义域为(0，+∞)， .

当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；

当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.

【小问3详解】

当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.

由题意可得：.由及得：.

欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.

由得 .所以

令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.

综上x1+x2>2e.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．