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2020-2021学年宁夏吴忠市同心县八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年宁夏吴忠市同心县八年级（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年宁夏吴忠市同心县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．＝﹣5 C．（﹣）2＝2 D．2×3＝6
3．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，6 D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，3）到原点的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．无法确定
5．（3分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学党史知识迎建党百年”为主题的党史知识竞赛，并将所有参赛学生的成绩进行统计整理，绘制成如图统计图（每个小组含前一个边界值，不含后一个边界值）．根据图中的信息判断：关于这次知识竞赛成绩的中位数的结论正确的是（ ）
A．中位数在60分～70分之间
B．中位数在70分～80分之间
C．中位数在80分～90分之间
D．中位数在90分～100分之间
6．（3分）2021年4月23日是第25个世界读书日，某中学为了解九年级学生假期的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
1
6
7
3
3
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数是（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
7．（3分）一次函数y＝kx+2中，若k＞0，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
9．（3分）如图，下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，∠B＝∠D
10．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）化简：＝ ．
12．（3分）要使二次根式有意义，则x应满足条件 ．
13．（3分）如果一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，那么x是 ．
14．（3分）甲、乙两个样本，甲的方差为0.102，乙的方差是0.06， 的数据波动大．
15．（3分）已知点（2，3）在一次函数的解析式为y＝kx﹣3的图象上，则k＝ ．
16．（3分）已知P1（1，y1），P2（2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，则y1 y2（填“＞”或“＜”）．
17．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边AB的中线长为 ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝ ．
19．（3分）在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥BD于点F，则EF的长度 ．
20．（3分）如图，矩形ABCD中，DE平分∠BDC，EF⊥BD于点F，若∠ABD＝60°，AB＝，则EF的长为 ．
三、解答题（每小题5分，共25分）
21．（5分）计算：÷．
22．（5分）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，标志着我国首次地外采样返回任务圆满完成．某校以此为契机，组织了“中国梦•航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
项目/班次
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
甲
85
91
88
乙
90
84
87
如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲乙两班谁将获胜．
23．（5分）已知，一次函数的图象经过点（﹣3，7）和点（2，﹣3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求该函数图象与x轴的交点坐标．
24．（5分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．
25．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，连接EF，分别与BC，AD交于点G，H，EG＝FH．求证：BE＝DF．
四、解答题（26题、27题各6分，28题、29题各7分，30题9分，共35分）
26．（6分）已知x＝1+，求代数式（3﹣2）x2+（1﹣）x+的值．
27．（6分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？
28．（7分）“共抗疫情，爱国力行”，为加强抗击疫情的爱国主义教育宣传，某中学开展防疫知识线上竞赛活动，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）请你计算两个班的平均成绩各是多少分；
（2）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．
29．（7分）“五一”假期，小明一家随团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：25人以内（含25人），每人30元；超过25人的，超过部分每人10元．
（1）写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式；
（2）若小明一家所在的旅游团购门票花了1050元，则该旅游团共有多少人？
30．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）试判断四边形DEBF的形状．并说明理由；
（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF平分∠DAB．
2020-2021学年宁夏吴忠市同心县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、＝2，故原数不是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝，故原数不是最简二次根式，不合题意；
D、＝，故原数不是最简二次根式，不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．＝﹣5 C．（﹣）2＝2 D．2×3＝6
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项的计算错误；
B、原式＝5，所以B选项的计算错误；
C、原式＝2，所以C选项的计算正确；
D、原式＝6×3＝18，所以D选项的计算错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，6 D．
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：12+22≠32，故选项A中三条线段不能组成直角三角形；
22+32≠42，故选项B中三条线段不能组成直角三角形；
32+52≠62，故选项C中三条线段不能组成直角三角形；
12+（）2＝22，故选项D中三条线段能组成直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，3）到原点的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．无法确定
【分析】利用勾股定理直接求解．
【解答】解：由勾股定理得：PO＝．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的计算，属于简单题．
5．（3分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学党史知识迎建党百年”为主题的党史知识竞赛，并将所有参赛学生的成绩进行统计整理，绘制成如图统计图（每个小组含前一个边界值，不含后一个边界值）．根据图中的信息判断：关于这次知识竞赛成绩的中位数的结论正确的是（ ）
A．中位数在60分～70分之间
B．中位数在70分～80分之间
C．中位数在80分～90分之间
D．中位数在90分～100分之间
【分析】求出调查总人数，再根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：调查总人数为：30+90+90+60＝270（人），
将这270人的得分从小到大排列后，处在第135、136位的两个数都落在80～90分之间，
因此中位数在80分～90分之间．
故选：C．
【点评】本题考查中位数的意义和计算方法，理解中位数的意义是解决问题的前提．
6．（3分）2021年4月23日是第25个世界读书日，某中学为了解九年级学生假期的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
1
6
7
3
3
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数是（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【分析】根据众数的定义判断即可．
【解答】解：因为3出现了7次，次数最多，
所以这20名同学读书册数的众数是3．
故选：C．
【点评】本题考查众数的定义，解题的关键是理解一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
7．（3分）一次函数y＝kx+2中，若k＞0，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当k＞0时，图象过一，三象限，k＜0时，图象过二，四象限，当b＞0图象与y轴交于正半轴，当b＞0图象与y轴交于正半轴，据此可求解．
【解答】解：∵k＞0，b＝2＞0，
∴图象过一，二，三象限，
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
8．（3分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＜2时，kx+b＞0，
所以关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．（3分）如图，下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，∠B＝∠D
【分析】根据两平行四边形判定定理进行判断即可得到结论．
【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由AB＝AD，∠B＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定；熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
10．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝2EF＝6，即可求解．
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）化简：＝ ．
【分析】直接化简二次根式，进而相乘求出即可．
【解答】解；5＝5×＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
12．（3分）要使二次根式有意义，则x应满足条件 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．
13．（3分）如果一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，那么x是 5 ．
【分析】直接利用算术平均数的求法计算得出答案．
【解答】解：∵一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，
∴(4+x+2+3+6)＝4,
解得：x＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了算术平均数，正确掌握算术平均数的求法是解题关键．
14．（3分）甲、乙两个样本，甲的方差为0.102，乙的方差是0.06， 甲 的数据波动大．
【分析】根据方差的意义即方差越大，波动越大即可得出答案．
【解答】解：∵甲的方差为0.102，乙的方差是0.06，
∴S2甲＞S2乙，
∴甲样本的数据波动大，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15．（3分）已知点（2，3）在一次函数的解析式为y＝kx﹣3的图象上，则k＝ 3 ．
【分析】将（2，3）代入一次函数的解析式即可求出答案．
【解答】解：把（2，3）代入y＝kx﹣3，
∴3＝2k﹣3，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查待定系数法求解析式，解题的关键是将（2，3）代入解析式中求出k的值，本题属于基础题型．
16．（3分）已知P1（1，y1），P2（2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）．
【分析】根据一次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
17．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边AB的中线长为 5 ．
【分析】由在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，利用勾股定理即可求得斜边AB的长，又由在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求得斜边AB的中线长．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∴斜边AB的中线长：CD＝AB＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝ 2 ．
【分析】根据直角三角形30°的角对的直角边是斜边的一半，利用勾股定理即可求出各边．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．
∴AB＝2AC．
设AC＝x．则AB＝2x．
∴x2+32＝（2x）2
∴x＝．
∴．
故答案为：2．
【点评】本题考查勾股定理的知识，利用直角三角形30°的角对的直角边是斜边的一半是关键，属于基础题．
19．（3分）在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥BD于点F，则EF的长度 ．
【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∵AB＝2，点E是AB的中点，
∴BE＝AB＝1，
∵EF⊥BD，
∴∠EFB＝90°，
∴EF＝BE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
20．（3分）如图，矩形ABCD中，DE平分∠BDC，EF⊥BD于点F，若∠ABD＝60°，AB＝，则EF的长为 1 ．
【分析】根据矩形性质可得DC⊥BC，AB∥DC，根据角平分线的性质可得EF＝CE，∠CDE＝30°，根据勾股定理即可得CE的长，进而可得EF的长．
【解答】解：在矩形ABCD中，DC⊥BC，AB∥DC，
∴∠BDC＝∠ABD＝60°，
∵DE平分∠BDC，EF⊥BD，
∴EF＝CE，∠CDE＝30°，
∵DC＝AB＝，
∴CE＝1．
则EF的长为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
三、解答题（每小题5分，共25分）
21．（5分）计算：÷．
【分析】直接利用二次根式除法运算法则、二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣2+
＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式除法运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22．（5分）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，标志着我国首次地外采样返回任务圆满完成．某校以此为契机，组织了“中国梦•航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
项目/班次
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
甲
85
91
88
乙
90
84
87
如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲乙两班谁将获胜．
【分析】将甲、乙两人的总成绩按比例求出最后成绩，再进行比较，即可得出结果．
【解答】解：甲班的平均成绩是＝87.4（分），
乙班的平均成绩是＝87.6（分），
∵87.6＞87.4，
∴乙班将获胜．
【点评】本题考查了加权成绩的计算．解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．
23．（5分）已知，一次函数的图象经过点（﹣3，7）和点（2，﹣3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求该函数图象与x轴的交点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）解方程即可得到该函数图象与x轴的交点坐标．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把点（﹣3，7）和点（2，﹣3）代入得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x+1；
（2）令y＝0，则﹣2x+1＝0，
解得：x＝，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为（，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与坐标轴的交点问题，求得一次函数的解析式是解题的关键．
24．（5分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】依据AD为BC边上的高，依据勾股定理即可得到Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝36，Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝45，再根据AB2+AC2＝BC2，即可得到△ABC是直角三角形．
【解答】解：△ABC是直角三角形．理由：
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝20+16＝36，
Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝20+25＝45，
又∵BC2＝81，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
25．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，连接EF，分别与BC，AD交于点G，H，EG＝FH．求证：BE＝DF．
【分析】由“AAS”可证△BEG≌△DFH，可得BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠E＝∠F，∠EBG＝∠FDH，
在△BEG和△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（AAS），
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
四、解答题（26题、27题各6分，28题、29题各7分，30题9分，共35分）
26．（6分）已知x＝1+，求代数式（3﹣2）x2+（1﹣）x+的值．
【分析】将x的值代入代数式，然后利用完全平方公式和平方差公式进行化简求值即可．
【解答】解：把x＝1+代入，得
（3﹣2）x2+（1﹣）x+
＝（3﹣2）（1+）2+（1﹣）（1+）+
＝（3﹣2）（3+2）﹣（）2+1+
＝32﹣（2）2﹣2+1+
＝9﹣8﹣2+1+
＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题时，需要熟练运用完全平方公式和平方差公式，难度不大．
27．（6分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？
【分析】（1）连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，
在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，
而52+122＝132，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝AC•BC﹣AD•CD
＝×5×12﹣×4×3＝24（m2）．
（2）需费用24×300＝7200（元），
答：总共需投入7200元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
28．（7分）“共抗疫情，爱国力行”，为加强抗击疫情的爱国主义教育宣传，某中学开展防疫知识线上竞赛活动，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）请你计算两个班的平均成绩各是多少分；
（2）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．
【分析】（1）根据算术平均数的概念求解可得；
（2）先计算出两个班的方差，再根据方差的意义求解可得．
【解答】解：（1）八（1）班的平均成绩是：×（80+80+90+80+100）＝86（分）；
八（2）班的平均成绩是：×（80+100+95+70+85）＝86（分）；
∵八（1）班的平均成绩是86分，八（2）班的平均成绩是86分；
（2）八（1）班的方差是：×[（80﹣86）2+（80﹣86）2+（90﹣86）2+（80﹣86）2+（100﹣86）2]＝64，
八（2）班的方差是：×[（80﹣86）2+（100﹣86）2+（95﹣86）2+（70﹣86）2+（85﹣86）2]＝114，
∵八（1）班的方差小于八（2）班的方差，
∴八（1）班的成绩较为整齐．
【点评】本题考查平均数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
29．（7分）“五一”假期，小明一家随团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：25人以内（含25人），每人30元；超过25人的，超过部分每人10元．
（1）写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式；
（2）若小明一家所在的旅游团购门票花了1050元，则该旅游团共有多少人？
【分析】（1）分x≤25和x＞25两种情况分别计算；
（2）根据1050＞30×25，知道该旅行团的人数超过了25人，根据函数关系式即可得出答案．
【解答】解：（1）当x≤25时，y＝30x；
当x＞25时，y＝30×25+10（x﹣25）＝10x+500；
综上所述，y＝；
（2）∵1050＞30×25，
∴该旅行团的人数超过了25人，
∴10x+500＝1050，
∴x＝55，
答：该旅行团共有55人．
【点评】本题考查了函数解析式，体现了分类讨论的数学思想，求出函数的关系式是解题的关键．
30．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）试判断四边形DEBF的形状．并说明理由；
（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF平分∠DAB．
【分析】（1）先证四边形DEBF是平行四边形，再由DE⊥AB，可得结论；
（2）根据矩形的性质求出∠BFC＝90°，根据勾股定理求出BC，求出AD＝DF，推出∠DAF＝∠DFA，求出∠DAF＝∠BAF，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴CD﹣CF＝AB﹣AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠BFC＝90°，
∵CF＝6，BF＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴AD＝BC＝10，
∴AD＝DF＝10，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
2020-2021学年宁夏吴忠市同心县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．＝﹣5 C．（﹣）2＝2 D．2×3＝6
3．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，6 D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，3）到原点的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．无法确定
5．（3分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学党史知识迎建党百年”为主题的党史知识竞赛，并将所有参赛学生的成绩进行统计整理，绘制成如图统计图（每个小组含前一个边界值，不含后一个边界值）．根据图中的信息判断：关于这次知识竞赛成绩的中位数的结论正确的是（ ）
A．中位数在60分～70分之间
B．中位数在70分～80分之间
C．中位数在80分～90分之间
D．中位数在90分～100分之间
6．（3分）2021年4月23日是第25个世界读书日，某中学为了解九年级学生假期的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
1
6
7
3
3
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数是（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
7．（3分）一次函数y＝kx+2中，若k＞0，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
9．（3分）如图，下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，∠B＝∠D
10．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）化简：＝ ．
12．（3分）要使二次根式有意义，则x应满足条件 ．
13．（3分）如果一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，那么x是 ．
14．（3分）甲、乙两个样本，甲的方差为0.102，乙的方差是0.06， 的数据波动大．
15．（3分）已知点（2，3）在一次函数的解析式为y＝kx﹣3的图象上，则k＝ ．
16．（3分）已知P1（1，y1），P2（2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，则y1 y2（填“＞”或“＜”）．
17．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边AB的中线长为 ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝ ．
19．（3分）在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥BD于点F，则EF的长度 ．
20．（3分）如图，矩形ABCD中，DE平分∠BDC，EF⊥BD于点F，若∠ABD＝60°，AB＝，则EF的长为 ．
三、解答题（每小题5分，共25分）
21．（5分）计算：÷．
22．（5分）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，标志着我国首次地外采样返回任务圆满完成．某校以此为契机，组织了“中国梦•航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
项目/班次
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
甲
85
91
88
乙
90
84
87
如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲乙两班谁将获胜．
23．（5分）已知，一次函数的图象经过点（﹣3，7）和点（2，﹣3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求该函数图象与x轴的交点坐标．
24．（5分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．
25．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，连接EF，分别与BC，AD交于点G，H，EG＝FH．求证：BE＝DF．
四、解答题（26题、27题各6分，28题、29题各7分，30题9分，共35分）
26．（6分）已知x＝1+，求代数式（3﹣2）x2+（1﹣）x+的值．
27．（6分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？
28．（7分）“共抗疫情，爱国力行”，为加强抗击疫情的爱国主义教育宣传，某中学开展防疫知识线上竞赛活动，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）请你计算两个班的平均成绩各是多少分；
（2）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．
29．（7分）“五一”假期，小明一家随团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：25人以内（含25人），每人30元；超过25人的，超过部分每人10元．
（1）写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式；
（2）若小明一家所在的旅游团购门票花了1050元，则该旅游团共有多少人？
30．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）试判断四边形DEBF的形状．并说明理由；
（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF平分∠DAB．
2020-2021学年宁夏吴忠市同心县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、＝2，故原数不是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝，故原数不是最简二次根式，不合题意；
D、＝，故原数不是最简二次根式，不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．＝﹣5 C．（﹣）2＝2 D．2×3＝6
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项的计算错误；
B、原式＝5，所以B选项的计算错误；
C、原式＝2，所以C选项的计算正确；
D、原式＝6×3＝18，所以D选项的计算错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，6 D．
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：12+22≠32，故选项A中三条线段不能组成直角三角形；
22+32≠42，故选项B中三条线段不能组成直角三角形；
32+52≠62，故选项C中三条线段不能组成直角三角形；
12+（）2＝22，故选项D中三条线段能组成直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，3）到原点的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．无法确定
【分析】利用勾股定理直接求解．
【解答】解：由勾股定理得：PO＝．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的计算，属于简单题．
5．（3分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学党史知识迎建党百年”为主题的党史知识竞赛，并将所有参赛学生的成绩进行统计整理，绘制成如图统计图（每个小组含前一个边界值，不含后一个边界值）．根据图中的信息判断：关于这次知识竞赛成绩的中位数的结论正确的是（ ）
A．中位数在60分～70分之间
B．中位数在70分～80分之间
C．中位数在80分～90分之间
D．中位数在90分～100分之间
【分析】求出调查总人数，再根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：调查总人数为：30+90+90+60＝270（人），
将这270人的得分从小到大排列后，处在第135、136位的两个数都落在80～90分之间，
因此中位数在80分～90分之间．
故选：C．
【点评】本题考查中位数的意义和计算方法，理解中位数的意义是解决问题的前提．
6．（3分）2021年4月23日是第25个世界读书日，某中学为了解九年级学生假期的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
1
6
7
3
3
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数是（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【分析】根据众数的定义判断即可．
【解答】解：因为3出现了7次，次数最多，
所以这20名同学读书册数的众数是3．
故选：C．
【点评】本题考查众数的定义，解题的关键是理解一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
7．（3分）一次函数y＝kx+2中，若k＞0，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当k＞0时，图象过一，三象限，k＜0时，图象过二，四象限，当b＞0图象与y轴交于正半轴，当b＞0图象与y轴交于正半轴，据此可求解．
【解答】解：∵k＞0，b＝2＞0，
∴图象过一，二，三象限，
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
8．（3分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＜2时，kx+b＞0，
所以关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．（3分）如图，下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，∠B＝∠D
【分析】根据两平行四边形判定定理进行判断即可得到结论．
【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由AB＝AD，∠B＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定；熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
10．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝2EF＝6，即可求解．
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）化简：＝ ．
【分析】直接化简二次根式，进而相乘求出即可．
【解答】解；5＝5×＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
12．（3分）要使二次根式有意义，则x应满足条件 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．
13．（3分）如果一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，那么x是 5 ．
【分析】直接利用算术平均数的求法计算得出答案．
【解答】解：∵一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，
∴(4+x+2+3+6)＝4,
解得：x＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了算术平均数，正确掌握算术平均数的求法是解题关键．
14．（3分）甲、乙两个样本，甲的方差为0.102，乙的方差是0.06， 甲 的数据波动大．
【分析】根据方差的意义即方差越大，波动越大即可得出答案．
【解答】解：∵甲的方差为0.102，乙的方差是0.06，
∴S2甲＞S2乙，
∴甲样本的数据波动大，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15．（3分）已知点（2，3）在一次函数的解析式为y＝kx﹣3的图象上，则k＝ 3 ．
【分析】将（2，3）代入一次函数的解析式即可求出答案．
【解答】解：把（2，3）代入y＝kx﹣3，
∴3＝2k﹣3，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查待定系数法求解析式，解题的关键是将（2，3）代入解析式中求出k的值，本题属于基础题型．
16．（3分）已知P1（1，y1），P2（2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）．
【分析】根据一次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
17．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边AB的中线长为 5 ．
【分析】由在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，利用勾股定理即可求得斜边AB的长，又由在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求得斜边AB的中线长．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∴斜边AB的中线长：CD＝AB＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝ 2 ．
【分析】根据直角三角形30°的角对的直角边是斜边的一半，利用勾股定理即可求出各边．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．
∴AB＝2AC．
设AC＝x．则AB＝2x．
∴x2+32＝（2x）2
∴x＝．
∴．
故答案为：2．
【点评】本题考查勾股定理的知识，利用直角三角形30°的角对的直角边是斜边的一半是关键，属于基础题．
19．（3分）在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥BD于点F，则EF的长度 ．
【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∵AB＝2，点E是AB的中点，
∴BE＝AB＝1，
∵EF⊥BD，
∴∠EFB＝90°，
∴EF＝BE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
20．（3分）如图，矩形ABCD中，DE平分∠BDC，EF⊥BD于点F，若∠ABD＝60°，AB＝，则EF的长为 1 ．
【分析】根据矩形性质可得DC⊥BC，AB∥DC，根据角平分线的性质可得EF＝CE，∠CDE＝30°，根据勾股定理即可得CE的长，进而可得EF的长．
【解答】解：在矩形ABCD中，DC⊥BC，AB∥DC，
∴∠BDC＝∠ABD＝60°，
∵DE平分∠BDC，EF⊥BD，
∴EF＝CE，∠CDE＝30°，
∵DC＝AB＝，
∴CE＝1．
则EF的长为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
三、解答题（每小题5分，共25分）
21．（5分）计算：÷．
【分析】直接利用二次根式除法运算法则、二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣2+
＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式除法运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22．（5分）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，标志着我国首次地外采样返回任务圆满完成．某校以此为契机，组织了“中国梦•航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
项目/班次
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
甲
85
91
88
乙
90
84
87
如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲乙两班谁将获胜．
【分析】将甲、乙两人的总成绩按比例求出最后成绩，再进行比较，即可得出结果．
【解答】解：甲班的平均成绩是＝87.4（分），
乙班的平均成绩是＝87.6（分），
∵87.6＞87.4，
∴乙班将获胜．
【点评】本题考查了加权成绩的计算．解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．
23．（5分）已知，一次函数的图象经过点（﹣3，7）和点（2，﹣3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求该函数图象与x轴的交点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）解方程即可得到该函数图象与x轴的交点坐标．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把点（﹣3，7）和点（2，﹣3）代入得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x+1；
（2）令y＝0，则﹣2x+1＝0，
解得：x＝，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为（，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与坐标轴的交点问题，求得一次函数的解析式是解题的关键．
24．（5分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】依据AD为BC边上的高，依据勾股定理即可得到Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝36，Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝45，再根据AB2+AC2＝BC2，即可得到△ABC是直角三角形．
【解答】解：△ABC是直角三角形．理由：
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝20+16＝36，
Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝20+25＝45，
又∵BC2＝81，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
25．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，连接EF，分别与BC，AD交于点G，H，EG＝FH．求证：BE＝DF．
【分析】由“AAS”可证△BEG≌△DFH，可得BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠E＝∠F，∠EBG＝∠FDH，
在△BEG和△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（AAS），
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
四、解答题（26题、27题各6分，28题、29题各7分，30题9分，共35分）
26．（6分）已知x＝1+，求代数式（3﹣2）x2+（1﹣）x+的值．
【分析】将x的值代入代数式，然后利用完全平方公式和平方差公式进行化简求值即可．
【解答】解：把x＝1+代入，得
（3﹣2）x2+（1﹣）x+
＝（3﹣2）（1+）2+（1﹣）（1+）+
＝（3﹣2）（3+2）﹣（）2+1+
＝32﹣（2）2﹣2+1+
＝9﹣8﹣2+1+
＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题时，需要熟练运用完全平方公式和平方差公式，难度不大．
27．（6分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？
【分析】（1）连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，
在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，
而52+122＝132，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝AC•BC﹣AD•CD
＝×5×12﹣×4×3＝24（m2）．
（2）需费用24×300＝7200（元），
答：总共需投入7200元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
28．（7分）“共抗疫情，爱国力行”，为加强抗击疫情的爱国主义教育宣传，某中学开展防疫知识线上竞赛活动，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）请你计算两个班的平均成绩各是多少分；
（2）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．
【分析】（1）根据算术平均数的概念求解可得；
（2）先计算出两个班的方差，再根据方差的意义求解可得．
【解答】解：（1）八（1）班的平均成绩是：×（80+80+90+80+100）＝86（分）；
八（2）班的平均成绩是：×（80+100+95+70+85）＝86（分）；
∵八（1）班的平均成绩是86分，八（2）班的平均成绩是86分；
（2）八（1）班的方差是：×[（80﹣86）2+（80﹣86）2+（90﹣86）2+（80﹣86）2+（100﹣86）2]＝64，
八（2）班的方差是：×[（80﹣86）2+（100﹣86）2+（95﹣86）2+（70﹣86）2+（85﹣86）2]＝114，
∵八（1）班的方差小于八（2）班的方差，
∴八（1）班的成绩较为整齐．
【点评】本题考查平均数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
29．（7分）“五一”假期，小明一家随团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：25人以内（含25人），每人30元；超过25人的，超过部分每人10元．
（1）写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式；
（2）若小明一家所在的旅游团购门票花了1050元，则该旅游团共有多少人？
【分析】（1）分x≤25和x＞25两种情况分别计算；
（2）根据1050＞30×25，知道该旅行团的人数超过了25人，根据函数关系式即可得出答案．
【解答】解：（1）当x≤25时，y＝30x；
当x＞25时，y＝30×25+10（x﹣25）＝10x+500；
综上所述，y＝；
（2）∵1050＞30×25，
∴该旅行团的人数超过了25人，
∴10x+500＝1050，
∴x＝55，
答：该旅行团共有55人．
【点评】本题考查了函数解析式，体现了分类讨论的数学思想，求出函数的关系式是解题的关键．
30．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）试判断四边形DEBF的形状．并说明理由；
（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF平分∠DAB．
【分析】（1）先证四边形DEBF是平行四边形，再由DE⊥AB，可得结论；
（2）根据矩形的性质求出∠BFC＝90°，根据勾股定理求出BC，求出AD＝DF，推出∠DAF＝∠DFA，求出∠DAF＝∠BAF，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴CD﹣CF＝AB﹣AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠BFC＝90°，
∵CF＝6，BF＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴AD＝BC＝10，
∴AD＝DF＝10，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
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