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2020-2021学年北京人大附中八年级（下）期末数学模拟练习试卷（14）
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这是一份2020-2021学年北京人大附中八年级（下）期末数学模拟练习试卷（14），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京人大附中八年级（下）期末数学模拟练习试卷（14）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边，如果满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
3．（3分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC；AB＝AD＝DC＝1，BD⊥CD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（ ）
A．EF B．DE C．PH D．PE
7．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
8．（3分）如图，矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2
10．（3分）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ）
A．120 B．110 C．100 D．90
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为 cm．
12．（3分）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ．
13．（3分）若一组数据6，x，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是 ．
14．（3分）如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴交于A，B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点P是矩形ABCD内一动点，且S△ABP＝S△CDP，则PC+PD的最小值为 ．
16．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．AD＝10，EF＝4，则BG的长 ．
三、解答题（共52分）
17．计算：
（1）（5﹣6+4）÷；
（2）．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
19．某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为 ，图1中m的值是 ．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
20．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球x盒．（x≥8）
（1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出y与x的函数关系式；
（2）试讨论在哪家商店购买合算？
21．已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF
（1）求证：FB＝AO；
（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．
22．已知：如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）若一次函数y1与y2的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围．
2020-2021学年北京人大附中八年级（下）期末数学模拟练习试卷（14）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解答】解：A、＝3，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、＝2，不是最简二次根式，故C错误；
D、＝，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边，如果满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】通过给出的条件化简变形，分解因式，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状．
【解答】解：∵a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2．
（a2+b2）（a2﹣b2）＝c2（a2﹣b2），
（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，
a2﹣b2＝0，a2+b2﹣c2＝0，
a＝b或a2+b2＝c2，
故为直角三角形或等腰三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解和勾股定理的逆定理等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．
3．（3分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．
【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，利用相似三角形的性质依次判断即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴△CHF∽△BEF，
∴，
∴，故选项A不合题意；
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DGH，
∴，故选项B不合题意；
∵AD∥BC，
∴△AEG∽△BEF，
∴，故选项C不合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，利用相似三角形的性质判断线段的数量关系是解题的关键．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC；AB＝AD＝DC＝1，BD⊥CD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点D作DE∥AB交BC于点E，先证明四边形ABED是平行四边形，得出DE＝BE＝CD＝1，进而得出∠CBD＝∠BDE，∠C＝∠CED，再由BD⊥CD，利用直角三角形性质得出∠C＝∠CDE，即可求出BC＝2，运用勾股定理求得BD，即可求得S△BCD，再利用平行四边形对角线和三角形中线性质即可求得答案．
【解答】解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE＝AB，BE＝AD，
∵AB＝AD＝DC＝1，
∴DE＝AB＝DC＝1，BE＝AD＝1，
∴DE＝BE＝CD＝1，
∴∠CBD＝∠BDE，∠C＝∠CED，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠CBD+∠C＝∠BDE+∠CDE＝90°，
∴∠C＝∠CDE，
∴CE＝BE＝1，
∴BC＝2，
∴BD＝＝＝，
∴S△BCD＝BD•CD＝××1＝，
∵CE＝BE＝1，
∴S△BDE＝S△BCD＝×＝，
∵S△ABD＝S△BDE＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝+＝．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积，平行四边形的判定与性质等，添加辅助线构造平行四边形是解题关键．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（ ）
A．EF B．DE C．PH D．PE
【分析】过点P作PM⊥EF于点M，由“ASA”可证△PMQ≌△DCE，可得PQ＝DE，由面积关系可求解．
【解答】解：过点P作PM⊥EF于点M，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠C＝90°，
∵EF∥AB，
∴EF∥DC，
∴∠EDC＝∠DEF，
∵PH⊥DE，PM⊥EF，
∴∠PMQ＝∠EHQ＝90°，
又∵∠PQM＝∠EQH，
∴∠QPM＝∠DEF＝∠EDC，
在△PMQ和△DCE中，
，
∴△PMQ≌△DCE（ASA），
∴PQ＝DE，
∴阴影部分的面积＝S△PDE﹣S△QED＝×DE×PH﹣DE×QH＝DE2，
∴故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
7．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：C．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．
8．（3分）如图，矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，可得长是宽的2倍，又由矩形的周长是36，即可求得矩形长与宽，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：如图，∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴∠DAE＝∠90°﹣45°＝45°，
∴Rt△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，
∵点E是中点，
∴CD＝2AD，
又∵（AD+CD）×2＝36，
∴AD＝6，CD＝12，
∴对角线的长＝＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求出CD＝2AD是解题的关键．
9．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2
【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b＜0的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【解答】解：因为直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），
由函数的图象可知当y＞0时，x的取值范围是x＜2．
故选：C．
【点评】此题考查一次函数的图象，运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得解．
10．（3分）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ）
A．120 B．110 C．100 D．90
【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OALP是矩形．
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC＝AB，
∴OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；通过作出辅助线证明三角形全等得出正方形是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为 18 cm．
【分析】首先根据面积即可求得三角形的底边．根据等腰三角形的三线合一，即可求得底边的一半．再运用勾股定理求得等腰三角形的腰长，从而求得等腰三角形的周长．
【解答】解：设底为a，则a•3＝12，a＝8，
∴BD＝＝4，根据勾股定理得，AB＝＝＝5cm，
∴腰为5，
∴周长为5+5+8＝18cm．
【点评】熟悉等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．
12．（3分）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 3或 ．
【分析】因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析．
【解答】解：①当第三边为斜边时，第三边＝＝；
②当边长为5的边为斜边时，第三边＝＝3．
【点评】本题利用了勾股定理求解，注意要分两种情况讨论．
13．（3分）若一组数据6，x，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是 4 ．
【分析】根据一组数据6，x，3，5，4的众数是3，可以得到x的值，从而可以求得这组数据的中位数，本题得以解决．
【解答】解：∵一组数据6，x，3，5，4的众数是3，
∴x＝3，
∴这组数据从小到大排列是：3，3，4，5，6，
∴这组数据的中位数是：4，
故答案为：4．
【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，会求一组数据的中位数．
14．（3分）如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴交于A，B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是 y＝﹣x+3 ．
【分析】对于已知直线，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接MB′，由AM为∠BAO的平分线，得到∠BAM＝∠B′AM，利用SAS得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM＝B′M，设BM＝B′M＝x，可得出OM＝8﹣x，在Rt△B′OM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y＝kx+b，将A与M坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AM解析式．
【解答】解：对于直线y＝﹣x+8，
令x＝0，求出y＝8；令y＝0求出x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），即OA＝6，OB＝8，
根据勾股定理得：AB＝10，
在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接MB′，
∵AM为∠BAO的平分线，
∴∠BAM＝∠B′AM，
∵在△ABM和△AB′M中，
，
∴△ABM≌△AB′M（SAS），
∴BM＝B′M，
设BM＝B′M＝x，则OM＝OB﹣BM＝8﹣x，
在Rt△B′OM中，B′O＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，
根据勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴OM＝3，即M（0，3），
设直线AM解析式为y＝kx+b，
将A与M坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AM解析式为y＝﹣x+3．
故答案为：y＝﹣x+3．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点P是矩形ABCD内一动点，且S△ABP＝S△CDP，则PC+PD的最小值为 3 ．
【分析】依据S△PAB＝S△PCD，即可得出点P在BC的垂直平分线上，进而得到PB＝PC，当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，依据勾股定理求得BD的长，即可得到PC+PD的最小值为3．
【解答】解：∵点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，AB＝CD，
∴点P到AB的距离等于点P到CD的距离，
∴点P在BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∴PC+PD＝BP+PD，
当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，
又∵AB＝CD＝6，BC＝9，
∴对角线BD＝＝＝3，
∴PC+PD的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及最短路线问题，解题时注意：矩形的对边相等，四个角都是直角．
16．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．AD＝10，EF＝4，则BG的长 2 ．
【分析】由三角形中位线定理可得OE∥AB，可证四边形OEFG是矩形，由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，由直角三角形的性质可求OE＝AE＝AD＝5，由矩形的性质可求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝3，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（共52分）
17．计算：
（1）（5﹣6+4）÷；
（2）．
【分析】（1）先分别化简每个二次根式，然后按照二次根式混合运算的运算顺序进行计算，先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的；
（2）先分别化简每个二次根式，然后按照二次根式混合运算的运算顺序进行计算，先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的．
【解答】解：（1）原式＝（20）÷
＝（2）÷
＝2+4；
（2）原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据勾股定理得出AC即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，进而解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝13，BC＝5，AC⊥BC，
∴AC＝，
（2）∵AC＝12，CD＝15，AD＝9，
∴CD2＝AC2+AD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝．
【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出AC解答．
19．某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为 50人 ，图1中m的值是 32 ．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【分析】（1）由捐款5元的人数及其所占百分比可得总人数，再用捐款10元的人数除以总人数可得m的值；
（2）根据平均数、众数和中位数的概念求解可得答案；
（3）用总人数乘以样本中捐款10元的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次接受随机调查的学生人数为4÷8%＝50（人），
∴m%＝×100%＝32%，即m＝32，
故答案为：50人，32；
（2）本次调查获取的样本数据的平均数是：×（4×5+16×10+12×15+10×20+8×30）＝16（元），
本次调查获取的样本数据的众数是：10元，
本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；
（3）估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为3000×＝960（人）．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球x盒．（x≥8）
（1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出y与x的函数关系式；
（2）试讨论在哪家商店购买合算？
【分析】（1）根据题意和两种优惠政策分别列出函数关系式即可；
（2）根据（1）得出的关系式，联立方程，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：（1）在甲店购买需付款：y甲＝5x+120，
在乙店购买需付款：y乙＝144+4.5x；
（2）5x+120＝144+4.5x，
解得：x＝48，
8≤x＜48时，在甲商店购买合算，
x＝48时，在甲乙商店购买一样合算，
x＞48时，在乙商店购买合算．
【点评】此题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解两家商店的优惠条件，能用代数式表示甲店的费用和乙店的费用．
21．已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF
（1）求证：FB＝AO；
（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．
【分析】（1）直接判断出△BEF≌△OEC，即可得出结论；
（2）若四边形AFBO是菱形，则OB＝OA．故当平行四边形ABCD的对角线相等，即平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．
【解答】证明：（1）
∵E是BO的中点，
∴OE＝BE，
∵BF∥AC，
∴∠BFE＝∠OCE，
在△BEF和△OEC中，，
∴△BEF≌△OEC，
∴BF＝OC，
∵平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，
∴OA＝OC，
∴FB＝AO；
（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：
∵平行四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∴平行四边形AFBO是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；矩形的对角线相等．
22．已知：如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）若一次函数y1与y2的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围．
【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求点A的坐标；
（2）分别求出B、C两点坐标，然后可得△ABC的面积；
（3）根据图象可直接得到y1≤y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）联立两函数解析式可得方程组，
解得：，
∴点A的坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
当y2＝0时，x﹣4＝0，解得：x＝4，
∴C（4，0），
∴CB＝6，
∴△ABC的面积为：6×3＝9；
（3）由图象可得：y1≤y2时x的取值范围是x≥1．
【点评】此题主要考查了一次函数和一元一次不等式，二元一次方程组，关键是正确求出两函数图象与x轴交点，掌握数形结合思想．
2020-2021学年北京人大附中八年级（下）期末数学模拟练习试卷（14）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边，如果满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
3．（3分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC；AB＝AD＝DC＝1，BD⊥CD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（ ）
A．EF B．DE C．PH D．PE
7．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
8．（3分）如图，矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2
10．（3分）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ）
A．120 B．110 C．100 D．90
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为 cm．
12．（3分）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ．
13．（3分）若一组数据6，x，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是 ．
14．（3分）如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴交于A，B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点P是矩形ABCD内一动点，且S△ABP＝S△CDP，则PC+PD的最小值为 ．
16．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．AD＝10，EF＝4，则BG的长 ．
三、解答题（共52分）
17．计算：
（1）（5﹣6+4）÷；
（2）．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
19．某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为 ，图1中m的值是 ．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
20．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球x盒．（x≥8）
（1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出y与x的函数关系式；
（2）试讨论在哪家商店购买合算？
21．已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF
（1）求证：FB＝AO；
（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．
22．已知：如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）若一次函数y1与y2的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围．
2020-2021学年北京人大附中八年级（下）期末数学模拟练习试卷（14）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解答】解：A、＝3，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、＝2，不是最简二次根式，故C错误；
D、＝，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边，如果满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】通过给出的条件化简变形，分解因式，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状．
【解答】解：∵a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2．
（a2+b2）（a2﹣b2）＝c2（a2﹣b2），
（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，
a2﹣b2＝0，a2+b2﹣c2＝0，
a＝b或a2+b2＝c2，
故为直角三角形或等腰三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解和勾股定理的逆定理等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．
3．（3分）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．
【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，利用相似三角形的性质依次判断即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴△CHF∽△BEF，
∴，
∴，故选项A不合题意；
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DGH，
∴，故选项B不合题意；
∵AD∥BC，
∴△AEG∽△BEF，
∴，故选项C不合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，利用相似三角形的性质判断线段的数量关系是解题的关键．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC；AB＝AD＝DC＝1，BD⊥CD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点D作DE∥AB交BC于点E，先证明四边形ABED是平行四边形，得出DE＝BE＝CD＝1，进而得出∠CBD＝∠BDE，∠C＝∠CED，再由BD⊥CD，利用直角三角形性质得出∠C＝∠CDE，即可求出BC＝2，运用勾股定理求得BD，即可求得S△BCD，再利用平行四边形对角线和三角形中线性质即可求得答案．
【解答】解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE＝AB，BE＝AD，
∵AB＝AD＝DC＝1，
∴DE＝AB＝DC＝1，BE＝AD＝1，
∴DE＝BE＝CD＝1，
∴∠CBD＝∠BDE，∠C＝∠CED，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠CBD+∠C＝∠BDE+∠CDE＝90°，
∴∠C＝∠CDE，
∴CE＝BE＝1，
∴BC＝2，
∴BD＝＝＝，
∴S△BCD＝BD•CD＝××1＝，
∵CE＝BE＝1，
∴S△BDE＝S△BCD＝×＝，
∵S△ABD＝S△BDE＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝+＝．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积，平行四边形的判定与性质等，添加辅助线构造平行四边形是解题关键．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（ ）
A．EF B．DE C．PH D．PE
【分析】过点P作PM⊥EF于点M，由“ASA”可证△PMQ≌△DCE，可得PQ＝DE，由面积关系可求解．
【解答】解：过点P作PM⊥EF于点M，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠C＝90°，
∵EF∥AB，
∴EF∥DC，
∴∠EDC＝∠DEF，
∵PH⊥DE，PM⊥EF，
∴∠PMQ＝∠EHQ＝90°，
又∵∠PQM＝∠EQH，
∴∠QPM＝∠DEF＝∠EDC，
在△PMQ和△DCE中，
，
∴△PMQ≌△DCE（ASA），
∴PQ＝DE，
∴阴影部分的面积＝S△PDE﹣S△QED＝×DE×PH﹣DE×QH＝DE2，
∴故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
7．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：C．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．
8．（3分）如图，矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，可得长是宽的2倍，又由矩形的周长是36，即可求得矩形长与宽，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：如图，∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴∠DAE＝∠90°﹣45°＝45°，
∴Rt△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，
∵点E是中点，
∴CD＝2AD，
又∵（AD+CD）×2＝36，
∴AD＝6，CD＝12，
∴对角线的长＝＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求出CD＝2AD是解题的关键．
9．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2
【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b＜0的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【解答】解：因为直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），
由函数的图象可知当y＞0时，x的取值范围是x＜2．
故选：C．
【点评】此题考查一次函数的图象，运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得解．
10．（3分）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ）
A．120 B．110 C．100 D．90
【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OALP是矩形．
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC＝AB，
∴OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；通过作出辅助线证明三角形全等得出正方形是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为 18 cm．
【分析】首先根据面积即可求得三角形的底边．根据等腰三角形的三线合一，即可求得底边的一半．再运用勾股定理求得等腰三角形的腰长，从而求得等腰三角形的周长．
【解答】解：设底为a，则a•3＝12，a＝8，
∴BD＝＝4，根据勾股定理得，AB＝＝＝5cm，
∴腰为5，
∴周长为5+5+8＝18cm．
【点评】熟悉等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．
12．（3分）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 3或 ．
【分析】因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析．
【解答】解：①当第三边为斜边时，第三边＝＝；
②当边长为5的边为斜边时，第三边＝＝3．
【点评】本题利用了勾股定理求解，注意要分两种情况讨论．
13．（3分）若一组数据6，x，3，5，4的众数是3，则这组数据的中位数是 4 ．
【分析】根据一组数据6，x，3，5，4的众数是3，可以得到x的值，从而可以求得这组数据的中位数，本题得以解决．
【解答】解：∵一组数据6，x，3，5，4的众数是3，
∴x＝3，
∴这组数据从小到大排列是：3，3，4，5，6，
∴这组数据的中位数是：4，
故答案为：4．
【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，会求一组数据的中位数．
14．（3分）如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴交于A，B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是 y＝﹣x+3 ．
【分析】对于已知直线，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接MB′，由AM为∠BAO的平分线，得到∠BAM＝∠B′AM，利用SAS得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM＝B′M，设BM＝B′M＝x，可得出OM＝8﹣x，在Rt△B′OM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y＝kx+b，将A与M坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AM解析式．
【解答】解：对于直线y＝﹣x+8，
令x＝0，求出y＝8；令y＝0求出x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），即OA＝6，OB＝8，
根据勾股定理得：AB＝10，
在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接MB′，
∵AM为∠BAO的平分线，
∴∠BAM＝∠B′AM，
∵在△ABM和△AB′M中，
，
∴△ABM≌△AB′M（SAS），
∴BM＝B′M，
设BM＝B′M＝x，则OM＝OB﹣BM＝8﹣x，
在Rt△B′OM中，B′O＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，
根据勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴OM＝3，即M（0，3），
设直线AM解析式为y＝kx+b，
将A与M坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AM解析式为y＝﹣x+3．
故答案为：y＝﹣x+3．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点P是矩形ABCD内一动点，且S△ABP＝S△CDP，则PC+PD的最小值为 3 ．
【分析】依据S△PAB＝S△PCD，即可得出点P在BC的垂直平分线上，进而得到PB＝PC，当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，依据勾股定理求得BD的长，即可得到PC+PD的最小值为3．
【解答】解：∵点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，AB＝CD，
∴点P到AB的距离等于点P到CD的距离，
∴点P在BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∴PC+PD＝BP+PD，
当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，
又∵AB＝CD＝6，BC＝9，
∴对角线BD＝＝＝3，
∴PC+PD的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及最短路线问题，解题时注意：矩形的对边相等，四个角都是直角．
16．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．AD＝10，EF＝4，则BG的长 2 ．
【分析】由三角形中位线定理可得OE∥AB，可证四边形OEFG是矩形，由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，由直角三角形的性质可求OE＝AE＝AD＝5，由矩形的性质可求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝3，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（共52分）
17．计算：
（1）（5﹣6+4）÷；
（2）．
【分析】（1）先分别化简每个二次根式，然后按照二次根式混合运算的运算顺序进行计算，先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的；
（2）先分别化简每个二次根式，然后按照二次根式混合运算的运算顺序进行计算，先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的．
【解答】解：（1）原式＝（20）÷
＝（2）÷
＝2+4；
（2）原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据勾股定理得出AC即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，进而解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝13，BC＝5，AC⊥BC，
∴AC＝，
（2）∵AC＝12，CD＝15，AD＝9，
∴CD2＝AC2+AD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝．
【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出AC解答．
19．某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为 50人 ，图1中m的值是 32 ．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【分析】（1）由捐款5元的人数及其所占百分比可得总人数，再用捐款10元的人数除以总人数可得m的值；
（2）根据平均数、众数和中位数的概念求解可得答案；
（3）用总人数乘以样本中捐款10元的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次接受随机调查的学生人数为4÷8%＝50（人），
∴m%＝×100%＝32%，即m＝32，
故答案为：50人，32；
（2）本次调查获取的样本数据的平均数是：×（4×5+16×10+12×15+10×20+8×30）＝16（元），
本次调查获取的样本数据的众数是：10元，
本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；
（3）估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为3000×＝960（人）．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球x盒．（x≥8）
（1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出y与x的函数关系式；
（2）试讨论在哪家商店购买合算？
【分析】（1）根据题意和两种优惠政策分别列出函数关系式即可；
（2）根据（1）得出的关系式，联立方程，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：（1）在甲店购买需付款：y甲＝5x+120，
在乙店购买需付款：y乙＝144+4.5x；
（2）5x+120＝144+4.5x，
解得：x＝48，
8≤x＜48时，在甲商店购买合算，
x＝48时，在甲乙商店购买一样合算，
x＞48时，在乙商店购买合算．
【点评】此题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解两家商店的优惠条件，能用代数式表示甲店的费用和乙店的费用．
21．已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF
（1）求证：FB＝AO；
（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．
【分析】（1）直接判断出△BEF≌△OEC，即可得出结论；
（2）若四边形AFBO是菱形，则OB＝OA．故当平行四边形ABCD的对角线相等，即平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．
【解答】证明：（1）
∵E是BO的中点，
∴OE＝BE，
∵BF∥AC，
∴∠BFE＝∠OCE，
在△BEF和△OEC中，，
∴△BEF≌△OEC，
∴BF＝OC，
∵平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，
∴OA＝OC，
∴FB＝AO；
（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：
∵平行四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∴平行四边形AFBO是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；矩形的对角线相等．
22．已知：如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）若一次函数y1与y2的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围．
【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求点A的坐标；
（2）分别求出B、C两点坐标，然后可得△ABC的面积；
（3）根据图象可直接得到y1≤y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）联立两函数解析式可得方程组，
解得：，
∴点A的坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
当y2＝0时，x﹣4＝0，解得：x＝4，
∴C（4，0），
∴CB＝6，
∴△ABC的面积为：6×3＝9；
（3）由图象可得：y1≤y2时x的取值范围是x≥1．
【点评】此题主要考查了一次函数和一元一次不等式，二元一次方程组，关键是正确求出两函数图象与x轴交点，掌握数形结合思想．
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