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2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区博才培圣学校八年级（下）期末数学复习试卷
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这是一份2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区博才培圣学校八年级（下）期末数学复习试卷，共27页。试卷主要包含了下列方程中，一元二次方程是，二次函数y＝2等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区博才培圣学校八年级（下）期末数学复习试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x﹣2y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．
2．下列曲线中，不表示y是x的函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，平行四边形ABCD中，若∠A＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
4．二次函数y＝2（x﹣3）2﹣6的顶点是（ ）
A．（﹣3，6） B．（﹣3，﹣6） C．（3，﹣6） D．（3，6）
5．在一次“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分数都是92分，甲的成绩方差是10，乙的成绩方差是2，下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙二人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
6．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，关于x的方程3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
7．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
8．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上（不与端点重合），且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ）
A．BE＝AF B．∠AFB+∠BEC＝90°
C．∠DAF＝∠ABE D．AG⊥BE
9．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝240 B．x（x﹣1）＝240
C．x（x+1）＝240 D．x（x+1）＝240
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＞0
二．填空题（共6小题）
11．一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是 ．
12．菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于 ．
13．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ ．
14．某商场今年4月的营业额为2500万元，预计到6月的营业额可达到3600万元，如果5、6两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意列出的方程为 ．
15．若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在一次函数y＝3x﹣1的图象上，则n1﹣n2的值为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF＝CE，连接DF、DE、EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①△DEF为等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF＝2，则MC＝；其中正确结论的有 ．
三、简答题
17．计算：×+|﹣3|﹣（）0．
18．先化简：÷（a﹣），再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
20．为了参加青少年校园足球比赛，某学校组织了一次体育知识竞赛．每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分．学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示．
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）写出如表中a，b，c的值．
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
（1）班
a
90
c
（2）班
88
b
100
21．已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．
（2）求直线CM的解析式．
22．为巩固抗疫成果，“就地过年”成为一种新风尚．某社区居委会为让“留深过年”居民度过一个非同寻常的春节，感受浓浓深圳年味，计划开展“赠年花，迎春节”活动．已知每支百合花的进价比每支富贵竹的进价高7元，用150元购进的百合花数量比用160元购进的富贵竹数量少10只．
（1）百合花和富贵竹的进货单价分别是多少？
（2）受活动经费限制，居委会拟购进两种年花数量共200支，其中百合花的数量不小于富贵竹的3倍．问居委会应如何进货使得购买年花所需费用最小．
23．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．
24．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
25．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区博才培圣学校八年级（下）期末数学复习试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x﹣2y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．属于一元二次方程，符合题意；
B．属于二元二次方程，不符合题意；
C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；
D．属于分式方程，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
2．下列曲线中，不表示y是x的函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义即可求出答案．
【解答】解：显然B、C、D选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
A选项对于x取值时，y可能有2个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
3．如图，平行四边形ABCD中，若∠A＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝60°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角性质是解题关键．
4．二次函数y＝2（x﹣3）2﹣6的顶点是（ ）
A．（﹣3，6） B．（﹣3，﹣6） C．（3，﹣6） D．（3，6）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣3）2﹣6，
∴该函数的顶点坐标为（3，﹣6），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由二次函数的顶点式，可以直接写出函数的顶点坐标．
5．在一次“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分数都是92分，甲的成绩方差是10，乙的成绩方差是2，下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙二人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵甲，乙两位同学的平均分都是92分，
而甲的成绩方差是10，乙的成绩方差是2，
即甲的成绩方差大于乙的成绩方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定．
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，关于x的方程3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】利于交点坐标满足两函数解析式可确定方程3x＝ax+b的解．
【解答】解：∵直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），
∴关于x的方程3x＝ax+b的解为x＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：两直线的交点坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解．
7．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣4＝0，然后解关于b的方程即可．
【解答】解：把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣4＝0，
解得b＝±2，
∵b﹣1≥0，
∴b≥1，
∴b＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上（不与端点重合），且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ）
A．BE＝AF B．∠AFB+∠BEC＝90°
C．∠DAF＝∠ABE D．AG⊥BE
【分析】根据正方形证明△ABF≌△BCE，利用三角形全等可证明．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE（A正确），∠BAF＝∠CBE，∠AFB＝∠BEC（B错误），
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE（C正确），
∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CBE+∠AFB＝90°，
∴AG⊥BE（D正确），
所以不正确的是B，
故选：B．
【点评】此题主要考查了学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况．
9．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝240 B．x（x﹣1）＝240
C．x（x+1）＝240 D．x（x+1）＝240
【分析】根据比赛的场数＝参加比赛的球队数量×（参加比赛的球队数量﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝240．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＞0
【分析】根据抛物线的开口方向，与x轴交点，与y轴的交点，以及当x＝1时y值的符号进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，故A错误；
∵抛物线与y轴交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，故B错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故C错误；
∵由图象可知当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴a+b+c＞0，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二．填空题（共6小题）
11．一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是 2 ．
【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列：1，1，2，2，3，4，处于中间位置的两个数是2，2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（2+2）÷2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
12．菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于 ．
【分析】由题意得，菱形的面积＝×AC•BD＝×10×24＝120，设菱形的高为h，则菱形的面积＝BC•h＝13h＝120，即可求解。
【解答】解：由题意得，菱形的面积＝×AC•BD＝×10×24＝120，
则AO＝5，BO＝12，
则AB＝＝13，
设菱形的高为h，
则菱形的面积＝BC•h＝13h＝120，
解得h＝，
故答案为．
【点评】本题考查的是菱形面积的计算方法，利用两种不同方法求解菱形面积是本题解题的关键。
13．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ 12 ．
【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．
【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2BO＝12．
故答案为12．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
14．某商场今年4月的营业额为2500万元，预计到6月的营业额可达到3600万元，如果5、6两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意列出的方程为 2500（1+x）2＝3600 ．
【分析】根据6月份的营业额＝4月份的营业额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：2500（1+x）2＝3600．
故答案为：2500（1+x）2＝3600．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在一次函数y＝3x﹣1的图象上，则n1﹣n2的值为 ﹣6 ．
【分析】把点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）代入一次函数y＝3x﹣1的关系式，即可求解．
【解答】解：∵点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在一次函数y＝3x﹣1的图象上，
∴，
∴n1﹣n2＝3（m﹣1）﹣1﹣3（m+1）+1＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确理解题意是解题的关键．
16．如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF＝CE，连接DF、DE、EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①△DEF为等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF＝2，则MC＝；其中正确结论的有 ①②③④ ．
【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得DE＝DF,∠ADF＝∠CDE，然后求出∠EDF＝∠ADC＝90°，判断出△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；由△DEF是等腰直角三角形和正方形的性质可得∠NBE＝∠DFE＝45°，利用三角形内角和为180°即可判断②正确；连接BM、DM．根据直角三角形的性质可得BM＝EF＝MD．运用“SSS”证明△BCM≌△DCM，得∠BCM＝∠DCM；最后由正方形的性质推知MC垂直平分BD，故③成立；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，根据三角形中位线定理得到MH＝BF＝1，求得CM＝MH＝，故④正确．
【解答】解：正方形ABCD中，AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，
∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∴∠DFE＝45°,
∵正方形ABCD,BD为对角线，
∴∠NBE＝45°,
∵∠FDN+∠DFN+∠DNF＝∠NBE+∠BNE+∠NEB＝180°,∠NBE＝∠DFE＝45°,∠DNF＝∠BNE,
∴∠FDB＝∠FEB,故②正确；
连接BM、DM，
∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形，
∴BM＝DM＝EF，
又∵BC＝CD，
∴直线CM是BD的垂直平分线，
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴MH＝BF＝1，
∴CM＝MH＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．
三、简答题
17．计算：×+|﹣3|﹣（）0．
【分析】先利用二次根式的乘法法则计算、取绝对值符号、计算零指数幂，再计算加减即可．
【解答】解：原式＝+（3﹣）﹣1
＝+3﹣﹣1
＝2+3﹣﹣1
＝4﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的性质、零指数幂．
18．先化简：÷（a﹣），再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
由原式可知，a不能取1，0，﹣1，
∴a＝2时，原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
【分析】（1）先证CD＝AD＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝OA＝OC，然后由勾股定理得OA＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝AC＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，
∴OA＝＝6，
∴OE＝OA＝6．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．为了参加青少年校园足球比赛，某学校组织了一次体育知识竞赛．每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分．学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示．
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）写出如表中a，b，c的值．
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
（1）班
a
90
c
（2）班
88
b
100
【分析】（1）根据总人数为25人，求出等级C的人数，补全条形统计图即可；
（2）求出一班的平均分与方差得到a与c的值，求出二班得中位数得到b的值即可．
【解答】解：（1）一班C等级人数为25﹣（6+12+4）＝3（人），
补全条形图如下：
（2）一班成绩的平均数a＝（分），
一班成绩的方差c＝[6×（100﹣88）2+12×（90﹣88）2+3×（80﹣88）2+4×（70﹣88）2]＝96，
二班A等级人数为25×44%＝11（人），C等级人数为25×32%＝8（人），D等级人数为25×16%＝4（人），
二班成绩的中位数是第13个数据，在B等级，即中位数b＝90分，
∴a＝88，b＝90，c＝96．
【点评】本题考查了众数、方差、中位数、平均数和统计图，理解众数、方差、中位数、平均数的意义是正确求解的前提．
21．已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．
（2）求直线CM的解析式．
【分析】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴顶点坐标M（2，﹣1），
（2）设直线CM的解析式为y＝kx+b，
将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：
，
∴．
∴y＝﹣2x+3．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是根据题意设合适的二次函数表达式．
22．为巩固抗疫成果，“就地过年”成为一种新风尚．某社区居委会为让“留深过年”居民度过一个非同寻常的春节，感受浓浓深圳年味，计划开展“赠年花，迎春节”活动．已知每支百合花的进价比每支富贵竹的进价高7元，用150元购进的百合花数量比用160元购进的富贵竹数量少10只．
（1）百合花和富贵竹的进货单价分别是多少？
（2）受活动经费限制，居委会拟购进两种年花数量共200支，其中百合花的数量不小于富贵竹的3倍．问居委会应如何进货使得购买年花所需费用最小．
【分析】（1）设富贵竹的进货单价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设购买富贵竹m支，则购买百合花（200﹣m）支，购买年花费用为W元，根据题意列出求出m的范围，再求出W与m的函数关系即可求出答案．
【解答】解：（1）设富贵竹的进货单价为x元，则百合花进货单价为（x+7）元．
根据题意得：，
解得x1＝8，x2＝﹣14（不符题意，舍去），
经检验，x＝8是原方程的解，
∴百合花的进货单价为x+7＝8+7＝15（元），
答：百合花进货单价为15元，富贵竹进货单价为8元；
（2）设购买富贵竹m支，则购买百合花（200﹣m）支，购买年花费用为W元．
∵200﹣m≥3m，
∴m≤50，
根据题意得：W＝8m+15（200﹣m）＝﹣7m+3000，
∵﹣7＜0，
∴W随m的增大而减小，
∵m≤50，
∴当m＝50时，W有最小值，
此时，购买百合花数量为200﹣m＝200﹣50＝150（支），
答：当购买富贵竹50支，百合花150支时，所需总费用最小．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确求出百合花和富贵竹的进货单价，以及列出买年花费用与富贵竹数量之间的函数关系．
23．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）由|x1|＝|x2|，可得x1＝x2或x1＝﹣x2，当x1＝x2时，利用Δ＝0可求出m的值，利用x1＝x2＝﹣可求出方程的解；当x1＝﹣x2时，由根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣＝0，解之即可得出m的值，结合（1）可知此情况不存在．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2，
∴，
解得：m≥﹣且m≠2．
（2）由|x1|＝|x2|，可得：x1＝x2或x1＝﹣x2．
当x1＝x2时，Δ＝（2m+1）2﹣4m（m﹣2）＝0，
解得：m＝﹣，
此时x1＝x2＝﹣＝；
当x1＝﹣x2时，x1+x2＝﹣＝0，
∴m＝﹣，
∵m≥﹣且m≠2，
∴此时方程无解．
综上所述：若|x1|＝|x2|，m的值为﹣，方程的根为x1＝x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于m的一元一次不等式组；（2）分x1＝x2或x1＝﹣x2两种情况求出m的值．
24．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 菱形和正方形 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
【分析】（1）根据垂美四边形的定义即可判断；
（2）结论：AD2+BC2＝AB2+CD2．利用勾股定理即可证明；
（3）连接CG、BE，只要证明四边形CGEB是垂美四边形，利用（2）中结论即可解决问题．
【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形和正方形．
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，设AB，CE交于点M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，CG＝AC＝3，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，
∴GE＝2，
∴OH＝GE＝．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据AAS证明△BOC≌△CED即可；
（2）由△BOC≌△CED可得：BO＝CE＝3，设OC＝ED＝m，则D（m+3，m），将D代入直线得到m＝1，则D（4，1），再利用待定系数即可解决问题；
（3）由线段CD是已知，可得CD为平行四边形的边和对角线两种，当CD为边时，CD∥P1Q1和CD∥P2Q2时，借助平移可求得坐标．
【解答】（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE，
在△BOC和△CED中，
，
∴△BOC≌△CED（AAS）
（2）∵△BOC≌△CED，
∴BO＝CE＝3，
设OC＝ED＝m，
∴D（m+3，m），
将D（m+3，m）代入直线，
∴m＝1，
∴D（4，1），
（3）解：当CD为平行四边形的边时，如图：
当CD∥P1Q1时，
此时P1的横坐标为0，
∴Q1的横坐标为3，
∴y＝，
∴，
当CD∥P2Q2时，
由D平移到P2，水平向左平移4个单位，
∴将C水平向左平移4个单位得Q2的横坐标为﹣3，
∴y＝，
∴，
当CD为平行四边形的对角线时，如图：
由P3平移到C可知，水平向右平移1个单位，
∴Q3的横坐标为5，
∴，
综上：Q（）或Q（）或Q（5，）
【点评】本题主要以一次函数图象为背景，考查了线段旋转的性质，以及三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，解决本题的关键是对CD为平行四边形的对角线和边长进行分类．属于压轴题．
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区博才培圣学校八年级（下）期末数学复习试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x﹣2y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．
2．下列曲线中，不表示y是x的函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，平行四边形ABCD中，若∠A＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
4．二次函数y＝2（x﹣3）2﹣6的顶点是（ ）
A．（﹣3，6） B．（﹣3，﹣6） C．（3，﹣6） D．（3，6）
5．在一次“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分数都是92分，甲的成绩方差是10，乙的成绩方差是2，下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙二人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
6．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，关于x的方程3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
7．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
8．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上（不与端点重合），且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ）
A．BE＝AF B．∠AFB+∠BEC＝90°
C．∠DAF＝∠ABE D．AG⊥BE
9．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝240 B．x（x﹣1）＝240
C．x（x+1）＝240 D．x（x+1）＝240
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＞0
二．填空题（共6小题）
11．一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是 ．
12．菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于 ．
13．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ ．
14．某商场今年4月的营业额为2500万元，预计到6月的营业额可达到3600万元，如果5、6两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意列出的方程为 ．
15．若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在一次函数y＝3x﹣1的图象上，则n1﹣n2的值为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF＝CE，连接DF、DE、EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①△DEF为等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF＝2，则MC＝；其中正确结论的有 ．
三、简答题
17．计算：×+|﹣3|﹣（）0．
18．先化简：÷（a﹣），再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
20．为了参加青少年校园足球比赛，某学校组织了一次体育知识竞赛．每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分．学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示．
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）写出如表中a，b，c的值．
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
（1）班
a
90
c
（2）班
88
b
100
21．已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．
（2）求直线CM的解析式．
22．为巩固抗疫成果，“就地过年”成为一种新风尚．某社区居委会为让“留深过年”居民度过一个非同寻常的春节，感受浓浓深圳年味，计划开展“赠年花，迎春节”活动．已知每支百合花的进价比每支富贵竹的进价高7元，用150元购进的百合花数量比用160元购进的富贵竹数量少10只．
（1）百合花和富贵竹的进货单价分别是多少？
（2）受活动经费限制，居委会拟购进两种年花数量共200支，其中百合花的数量不小于富贵竹的3倍．问居委会应如何进货使得购买年花所需费用最小．
23．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．
24．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
25．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区博才培圣学校八年级（下）期末数学复习试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x﹣2y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．属于一元二次方程，符合题意；
B．属于二元二次方程，不符合题意；
C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；
D．属于分式方程，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
2．下列曲线中，不表示y是x的函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义即可求出答案．
【解答】解：显然B、C、D选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
A选项对于x取值时，y可能有2个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
3．如图，平行四边形ABCD中，若∠A＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝60°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角性质是解题关键．
4．二次函数y＝2（x﹣3）2﹣6的顶点是（ ）
A．（﹣3，6） B．（﹣3，﹣6） C．（3，﹣6） D．（3，6）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣3）2﹣6，
∴该函数的顶点坐标为（3，﹣6），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由二次函数的顶点式，可以直接写出函数的顶点坐标．
5．在一次“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分数都是92分，甲的成绩方差是10，乙的成绩方差是2，下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙二人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵甲，乙两位同学的平均分都是92分，
而甲的成绩方差是10，乙的成绩方差是2，
即甲的成绩方差大于乙的成绩方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定．
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，关于x的方程3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】利于交点坐标满足两函数解析式可确定方程3x＝ax+b的解．
【解答】解：∵直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），
∴关于x的方程3x＝ax+b的解为x＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：两直线的交点坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解．
7．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣4＝0，然后解关于b的方程即可．
【解答】解：把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣4＝0，
解得b＝±2，
∵b﹣1≥0，
∴b≥1，
∴b＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上（不与端点重合），且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（ ）
A．BE＝AF B．∠AFB+∠BEC＝90°
C．∠DAF＝∠ABE D．AG⊥BE
【分析】根据正方形证明△ABF≌△BCE，利用三角形全等可证明．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE（A正确），∠BAF＝∠CBE，∠AFB＝∠BEC（B错误），
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE（C正确），
∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CBE+∠AFB＝90°，
∴AG⊥BE（D正确），
所以不正确的是B，
故选：B．
【点评】此题主要考查了学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况．
9．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝240 B．x（x﹣1）＝240
C．x（x+1）＝240 D．x（x+1）＝240
【分析】根据比赛的场数＝参加比赛的球队数量×（参加比赛的球队数量﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝240．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＞0
【分析】根据抛物线的开口方向，与x轴交点，与y轴的交点，以及当x＝1时y值的符号进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，故A错误；
∵抛物线与y轴交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，故B错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故C错误；
∵由图象可知当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴a+b+c＞0，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二．填空题（共6小题）
11．一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是 2 ．
【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列：1，1，2，2，3，4，处于中间位置的两个数是2，2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（2+2）÷2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
12．菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于 ．
【分析】由题意得，菱形的面积＝×AC•BD＝×10×24＝120，设菱形的高为h，则菱形的面积＝BC•h＝13h＝120，即可求解。
【解答】解：由题意得，菱形的面积＝×AC•BD＝×10×24＝120，
则AO＝5，BO＝12，
则AB＝＝13，
设菱形的高为h，
则菱形的面积＝BC•h＝13h＝120，
解得h＝，
故答案为．
【点评】本题考查的是菱形面积的计算方法，利用两种不同方法求解菱形面积是本题解题的关键。
13．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝ 12 ．
【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．
【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2BO＝12．
故答案为12．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
14．某商场今年4月的营业额为2500万元，预计到6月的营业额可达到3600万元，如果5、6两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意列出的方程为 2500（1+x）2＝3600 ．
【分析】根据6月份的营业额＝4月份的营业额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：2500（1+x）2＝3600．
故答案为：2500（1+x）2＝3600．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在一次函数y＝3x﹣1的图象上，则n1﹣n2的值为 ﹣6 ．
【分析】把点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）代入一次函数y＝3x﹣1的关系式，即可求解．
【解答】解：∵点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在一次函数y＝3x﹣1的图象上，
∴，
∴n1﹣n2＝3（m﹣1）﹣1﹣3（m+1）+1＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确理解题意是解题的关键．
16．如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF＝CE，连接DF、DE、EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①△DEF为等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF＝2，则MC＝；其中正确结论的有 ①②③④ ．
【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得DE＝DF,∠ADF＝∠CDE，然后求出∠EDF＝∠ADC＝90°，判断出△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；由△DEF是等腰直角三角形和正方形的性质可得∠NBE＝∠DFE＝45°，利用三角形内角和为180°即可判断②正确；连接BM、DM．根据直角三角形的性质可得BM＝EF＝MD．运用“SSS”证明△BCM≌△DCM，得∠BCM＝∠DCM；最后由正方形的性质推知MC垂直平分BD，故③成立；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，根据三角形中位线定理得到MH＝BF＝1，求得CM＝MH＝，故④正确．
【解答】解：正方形ABCD中，AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，
∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∴∠DFE＝45°,
∵正方形ABCD,BD为对角线，
∴∠NBE＝45°,
∵∠FDN+∠DFN+∠DNF＝∠NBE+∠BNE+∠NEB＝180°,∠NBE＝∠DFE＝45°,∠DNF＝∠BNE,
∴∠FDB＝∠FEB,故②正确；
连接BM、DM，
∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形，
∴BM＝DM＝EF，
又∵BC＝CD，
∴直线CM是BD的垂直平分线，
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴MH＝BF＝1，
∴CM＝MH＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．
三、简答题
17．计算：×+|﹣3|﹣（）0．
【分析】先利用二次根式的乘法法则计算、取绝对值符号、计算零指数幂，再计算加减即可．
【解答】解：原式＝+（3﹣）﹣1
＝+3﹣﹣1
＝2+3﹣﹣1
＝4﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的性质、零指数幂．
18．先化简：÷（a﹣），再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
由原式可知，a不能取1，0，﹣1，
∴a＝2时，原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
【分析】（1）先证CD＝AD＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝OA＝OC，然后由勾股定理得OA＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝AC＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，
∴OA＝＝6，
∴OE＝OA＝6．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．为了参加青少年校园足球比赛，某学校组织了一次体育知识竞赛．每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分．学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示．
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）写出如表中a，b，c的值．
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
（1）班
a
90
c
（2）班
88
b
100
【分析】（1）根据总人数为25人，求出等级C的人数，补全条形统计图即可；
（2）求出一班的平均分与方差得到a与c的值，求出二班得中位数得到b的值即可．
【解答】解：（1）一班C等级人数为25﹣（6+12+4）＝3（人），
补全条形图如下：
（2）一班成绩的平均数a＝（分），
一班成绩的方差c＝[6×（100﹣88）2+12×（90﹣88）2+3×（80﹣88）2+4×（70﹣88）2]＝96，
二班A等级人数为25×44%＝11（人），C等级人数为25×32%＝8（人），D等级人数为25×16%＝4（人），
二班成绩的中位数是第13个数据，在B等级，即中位数b＝90分，
∴a＝88，b＝90，c＝96．
【点评】本题考查了众数、方差、中位数、平均数和统计图，理解众数、方差、中位数、平均数的意义是正确求解的前提．
21．已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．
（2）求直线CM的解析式．
【分析】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴顶点坐标M（2，﹣1），
（2）设直线CM的解析式为y＝kx+b，
将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：
，
∴．
∴y＝﹣2x+3．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是根据题意设合适的二次函数表达式．
22．为巩固抗疫成果，“就地过年”成为一种新风尚．某社区居委会为让“留深过年”居民度过一个非同寻常的春节，感受浓浓深圳年味，计划开展“赠年花，迎春节”活动．已知每支百合花的进价比每支富贵竹的进价高7元，用150元购进的百合花数量比用160元购进的富贵竹数量少10只．
（1）百合花和富贵竹的进货单价分别是多少？
（2）受活动经费限制，居委会拟购进两种年花数量共200支，其中百合花的数量不小于富贵竹的3倍．问居委会应如何进货使得购买年花所需费用最小．
【分析】（1）设富贵竹的进货单价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设购买富贵竹m支，则购买百合花（200﹣m）支，购买年花费用为W元，根据题意列出求出m的范围，再求出W与m的函数关系即可求出答案．
【解答】解：（1）设富贵竹的进货单价为x元，则百合花进货单价为（x+7）元．
根据题意得：，
解得x1＝8，x2＝﹣14（不符题意，舍去），
经检验，x＝8是原方程的解，
∴百合花的进货单价为x+7＝8+7＝15（元），
答：百合花进货单价为15元，富贵竹进货单价为8元；
（2）设购买富贵竹m支，则购买百合花（200﹣m）支，购买年花费用为W元．
∵200﹣m≥3m，
∴m≤50，
根据题意得：W＝8m+15（200﹣m）＝﹣7m+3000，
∵﹣7＜0，
∴W随m的增大而减小，
∵m≤50，
∴当m＝50时，W有最小值，
此时，购买百合花数量为200﹣m＝200﹣50＝150（支），
答：当购买富贵竹50支，百合花150支时，所需总费用最小．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确求出百合花和富贵竹的进货单价，以及列出买年花费用与富贵竹数量之间的函数关系．
23．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）由|x1|＝|x2|，可得x1＝x2或x1＝﹣x2，当x1＝x2时，利用Δ＝0可求出m的值，利用x1＝x2＝﹣可求出方程的解；当x1＝﹣x2时，由根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣＝0，解之即可得出m的值，结合（1）可知此情况不存在．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2，
∴，
解得：m≥﹣且m≠2．
（2）由|x1|＝|x2|，可得：x1＝x2或x1＝﹣x2．
当x1＝x2时，Δ＝（2m+1）2﹣4m（m﹣2）＝0，
解得：m＝﹣，
此时x1＝x2＝﹣＝；
当x1＝﹣x2时，x1+x2＝﹣＝0，
∴m＝﹣，
∵m≥﹣且m≠2，
∴此时方程无解．
综上所述：若|x1|＝|x2|，m的值为﹣，方程的根为x1＝x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于m的一元一次不等式组；（2）分x1＝x2或x1＝﹣x2两种情况求出m的值．
24．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 菱形和正方形 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
【分析】（1）根据垂美四边形的定义即可判断；
（2）结论：AD2+BC2＝AB2+CD2．利用勾股定理即可证明；
（3）连接CG、BE，只要证明四边形CGEB是垂美四边形，利用（2）中结论即可解决问题．
【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形和正方形．
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，设AB，CE交于点M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，CG＝AC＝3，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，
∴GE＝2，
∴OH＝GE＝．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据AAS证明△BOC≌△CED即可；
（2）由△BOC≌△CED可得：BO＝CE＝3，设OC＝ED＝m，则D（m+3，m），将D代入直线得到m＝1，则D（4，1），再利用待定系数即可解决问题；
（3）由线段CD是已知，可得CD为平行四边形的边和对角线两种，当CD为边时，CD∥P1Q1和CD∥P2Q2时，借助平移可求得坐标．
【解答】（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE，
在△BOC和△CED中，
，
∴△BOC≌△CED（AAS）
（2）∵△BOC≌△CED，
∴BO＝CE＝3，
设OC＝ED＝m，
∴D（m+3，m），
将D（m+3，m）代入直线，
∴m＝1，
∴D（4，1），
（3）解：当CD为平行四边形的边时，如图：
当CD∥P1Q1时，
此时P1的横坐标为0，
∴Q1的横坐标为3，
∴y＝，
∴，
当CD∥P2Q2时，
由D平移到P2，水平向左平移4个单位，
∴将C水平向左平移4个单位得Q2的横坐标为﹣3，
∴y＝，
∴，
当CD为平行四边形的对角线时，如图：
由P3平移到C可知，水平向右平移1个单位，
∴Q3的横坐标为5，
∴，
综上：Q（）或Q（）或Q（5，）
【点评】本题主要以一次函数图象为背景，考查了线段旋转的性质，以及三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，解决本题的关键是对CD为平行四边形的对角线和边长进行分类．属于压轴题．
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