2022年浙江省杭州市萧山区朝晖中学中考数学一模试卷（含解析）

2022年浙江省杭州市萧山区朝晖中学中考数学一模试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

A.  B.  C.  D.

2. 如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是

A. 正方体
B. 长方体
C. 三棱柱
D. 四棱锥

3. 二次函数的对称轴为

A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线

4. 一个不透明的盒子中装有个大小相同的乒乓球，做了次摸球试验，摸到黄球的频数为，则估计其中的黄球个数为

A.  B.  C.  D.

5. 在的内部任取一点，作射线，那么有

A.  B.
C.  D.

6. 我校在举办“书香文化节”的活动中，将本图书分给了名学生，若每人分本，则剩余本；若每人分本，则还缺本，下列方程正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，直线，在某平面直角坐标系中，轴，轴，点的坐标为，点的坐标为，则坐标原点为

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

8. 已知点在直线上，且，则

A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值

9. 如图，已知切于点，点在上，且，连结并延长交于点，的半径为，设，
   当时，是等腰直角三角形；
   若，则；
   当时，与相切．
   以上选项正确的有

A.  B.  C.  D.

10. 已知代数式化简后为一个完全平方式，且当时此代数式的值为，则下列式子中正确的是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 十边形的内角和是          度．
12. 化简：______．
13. 小明上下学的交通工，具是公交车，上学、放学都可以坐路、路和路这三路车中的一路，则小明当天上学、放学坐的是同一路车的概率为______．
14. 如图，在中，，，，则的长为______．

15. 已知反比例函数的表达式为，和是反比例函数图象上两点，若时，，则的取值范围是______．
16. 如图，已知矩形，将绕点顺时针旋转至，连结，，若点，，恰好在同一条直线上，则______．

三．解答题（本题共7小题，共66分）

17. 下面是小明同学解不等式的过程，
    解不等式：
    解：
    
    
    
    
    你认为正确吗？错误的话，请你写出正确的做法．
18. 农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高单位：进行了测量根据统计的结果，绘制出如图的统计图和图．
    请根据相关信息，解答下列问题：
    本次抽取的麦苗的株数为______ ，图中的值为______ ；
    求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数

19. 如图，为锐角，射线射线，作和的平分线分别交和于点和，连接，求证：四边形为菱形．

20. 已知：一次函数的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为．
    求该反比例函数的解析式；
    将一次函数的图象向上平移个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标．
21. 如图，中，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，连结，则：
    求证：；
    若，求证：．
    
     

22. 在平面直角坐标系中，设二次函数是实数．
    当时，若点在该函数图象上，求的值．
    已知，，，从中选择一个点作为该二次函数图象的顶点，判断此时是否在该二次函数的图象上，
    已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
23. 如图，、是的两条弦，的延长线交于点，连结、，若，则：
    求证：；
    当时，求；
    若，且面积为，求的面积．
     

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故选：．
根据特殊角的三角函数值可得答案．
此题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决此题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：由图得，这个几何体为三棱柱．
故选：．
由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱．
考查了几何体的展开图，有两个底面的为柱体，有一个底面的为锥体．
 

3.【答案】

【解析】解：，
二次函数的对称轴为直线，
故选：．
将二次函数配方成顶点式后即可确定对称轴．
本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式确定二次函数的顶点坐标是解决二次函数的有关题目的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：做了次摸球试验，摸到黄球的频数为，
摸到黄球的频率是：，
估计其中的黄球个数为：个；
故选B．
根据概率公式先求出摸到黄球的概率，然后乘以总球的个数即可得出答案．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
 

5.【答案】

【解析】解：如图：
点是内部任一点，
与的大小无法确定，
由图可知必大于，
故选：．
根据题意画出图，观察图即可得答案．
本题考查角的大小比较，能够根据题意画出图是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据每人分本，则剩余本可以得到方程，根据每人分本，则还缺本，可以得到方程，从而可以写出相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程组．
 

7.【答案】

【解析】解：点的坐标为，
在第二象限，
原点在点的右方个单位，下方个单位处，
点的坐标为，
点位于第三象限，
原点在点的右方个单位，上方个单位处，
由此可知点符合．
故选：．
依据点的坐标为，点的坐标为，即可得到原点在点的右方个单位，下方个单位处，原点在点的右方个单位，上方个单位处，进而得出点符合题意．
本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握坐标的概念以及不同象限内点的符号特征．
 

8.【答案】

【解析】解：点在直线上，
．
，即，
．
，
，
，
有最大值．
故选：．
由一次函数图象上点的坐标特征及，可求出，再在不等式的两边同时除以，即可得出，解之即可得出有最大值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，利用一次函数图象上点的坐标特征用含的代数式表示出的值．
 

9.【答案】

【解析】解：当是等腰直角三角形时，
，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
切于点，
，
，
，
，即时，是等腰直角三角形，故错误；
当时，过点作于，

，，
，，
，
，，
，故正确；
如图，当与相切时，切点为，连接，

，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，即，
，
故当时，与相切，故正确．
故选：．
利用等腰直角三角形和等腰三角形的性质可得，根据切线的性质及角的和差关系可判断；
过点作于，利用含度角的直角三角形的性质及勾股定理可判断；
当与相切时，切点为，连接，利用切线的性质及全等三角形的判定与性质可得，然后利用勾股定理计算可判断．
此题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直线与圆的关系等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，
，



，
，即．
故选：．
根据题意可得，再根据完全平方公式可得，依此即可求解．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个．
 

11.【答案】

【解析】解：十边形的内角和是．
边形的内角和是，代入公式就可以求出十边形的内角和．
正确记忆多边形的内角和公式是解决本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：

，
故答案为：．
先去括号，然后合并同类项即可．
本题考查整式的的加减，解答本题的关键是明确去括号和合并同类项的方法．
 

13.【答案】

【解析】解：根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中小明当天上学、放学坐的是同一路车的有种，
则小明当天上学、放学坐的是同一路车的概率为；
故答案为：．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】

【解析】解：过点作，垂足为，

在中，，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据勾股定理求出的长即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：反比例函数的图象上两点，，当时，有，
，
解得，
故答案为：．
根据反比例函数的性质，可以得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

16.【答案】

【解析】解：设，，
由旋转性质得，，，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
故答案为：．
设，，由旋转性质得，，再由∽得，进而解方程用表示，便可求得结果．
本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，关键是利用相似三角形求得与的数量关系．
 

17.【答案】解：小明的解法有错误．
正确的做法：
，
，
，
，
．

【解析】根据解一元一次不等式的基本步骤去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为，依此即可求解．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：本次抽取的麦苗的株数为：株，
，
故答案为：，；
平均数是：，
出现的次数最多，
苗高的众数是：，
按从小到大排列后，第个数在组中，
苗高的中位数是：．
可根据条形图计算麦苗株数，根据扇形图及各部分百分比的和为计算的值；
根据平均数、众数及中位数的定义计算即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数及众数，题目难度不大，看懂统计图掌握平均数、中位数及众数的求法是解决本题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是菱形，理由是：
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
四边形是菱形．

【解析】先根据角平分线的定义和平行线的性质证明，，由，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得结论．
主要考查了菱形的判定，解本题的关键是根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
 

20.【答案】解：把代入，得，
设反比例函数的解析式为，
把，代入得，，
该反比例函数的解析式为；

平移后的图象对应的解析式为，
解方程组，得或．
平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为和．

【解析】先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
平移后的图象对应的解析式为，联立两函数解析式，进而求得交点坐标．
考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，解题的关键是待定系数法求函数解析式，掌握各函数的图象和性质．
 

21.【答案】证明：，点是边的中点，
，
，
，
，
；
过点作，垂足为，设与交于点，

，点是边的中点，
，
，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．

【解析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，进而可得，即可解答；
过点作垂足为，设与交于点，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再利用的结论可得，，从而可得是的垂直平分线，进而可得，然后利用等腰三角形的性质可证，即可解答．
本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：时，，
将代入得．
，
抛物线顶点坐标为，
当为抛物线顶点时，，，不符合题意．
当为抛物线顶点时，，，不符合题意，
当，为抛物线顶点时，，，符合题意，
此时，
将代入得，
在函数图象上．
，关于抛物线对称轴对称，
，
解得，
，
将代入得，
．

【解析】由可得抛物线解析式，将代入解析式求解．
分别讨论，，为顶点，求出的值，然后将代入解析式求解．
由抛物线对称轴为直线及点，关于对称轴对称可得的值，用含代数式表示，配方求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

23.【答案】证明：，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，，
，
；
解：如图中，

，，
，
，
是等边三角形，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
负值舍去，
，
，，
≌，
，
，
的面积．

【解析】根据已知条件得到，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，于是得到；
根据垂直平分线的性质得到，推出是等边三角形，于是得到；
根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，求得负值舍去，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．