2021-2022学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）

1. 在二次根式中，的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算错误的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列数组中，是勾股数的是

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

4. 若正方形的面积与长为，宽为的矩形面积相等，则该正方形的边长为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在矩形纸片中，为上一点，将沿翻折至若点恰好落在上，，，则

A.  B.  C.  D.

6. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形一定是

A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形

7. 下列三个命题：平行四边形的两组对边分别相等；矩形的对角线相等；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，它们的逆命题是真命题的个数是

A.  B.  C.  D.

8. 顺次连结菱形四边中点所得的四边形一定是

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

9. 如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和若，，则的周长是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

10. 计算： ______ ．
11. 边长为的等边三角形面积是______．
12. 如图，已知正方形和等边，连接，则______
    
     

13. 在中，，，边上的高为，则的面积为______．
14. 如图，在中，，、分别为和的中点，下列四个结论：；；；，其中正确的是______．
15. 如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是______；若，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

16. 计算：
    ；
    ．
17. 已知：，．
    直接写出：______，______；
    求的值．
18. 我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：如图，有一个水池，其横截面是矩形，边长为尺，在水池正中央有一根垂直于水面的芦苇，它的顶端高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面处，求水池里水的深度是多少尺？
19. 如图，在正方形中，，是的中点，是上一点，且．
    求证：；
    求四边形的面积．
     

20. 如图，、是▱对角线上的两点，且，连接、、、，求证：四边形是平行四边形．
    如图，在梯形中，，，求证：．

21. 无刻度直尺作图：
    直接写出四边形的形状．
    在图中，先过点画一条直线平分四边形的面积，再在上画点，使得．
    在图中，先在上画一点，使得；连接，再在上画点，使得．

22. 如图，以▱的邻边和为边向外作正方形和正方形，连接、，线段和之间存在怎样的数量关系和位置关系？
    先将问题特殊化，如图，当时，直接写出和之间的数量关系和位置关系．
    再探究一般情况，当时，证明中的结论依然成立．
    在的条件下，连接，为的中点，连接，试给出和的数量关系并证明．

在菱形中，，为上一点．

如图，若，求证：．
为上一点，．
如图，连接，求证：平分．
如图，若，求的值．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根据题意，得
，解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于，列不等式求解．
此题考查了二次根式有意义的条件．
 

2.【答案】

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的相应的运算法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】

【解析】解：、，三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意．
B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：．
三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
此题主要考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：
三个数必须是正整数，例如：、、满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：，，；，，；，，；
 

4.【答案】

【解析】解：设正方形的边长为，由题意得：
，
解得：负值不合题意舍去，
即正方形的边长为．
故选：．
根据题意可得等量关系：正方形的面积长方形的面积，再利用正方形与长方形的面积公式列出方程，解方程即可．
此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
 

5.【答案】

【解析】解：设，则，
沿翻折至，
，
在中，，
，
解得，
，
故选：．
设，则，在中，由勾股定理列方程即可解得答案
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理．
 

6.【答案】

【解析】解：如图，

，，
四边形是平行四边形，
作于点，于点，
两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
，
，
，
▱是菱形．
故选：．
作于点，于点，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得，再根据等面积法证明，进而证明四边形的形状一定是菱形．
本题考查了菱形的判定与性质，利用等面积法解决本题是关键．
 

7.【答案】

【解析】解：平行四边形的两组对边分别相等的逆命题为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
矩形的对角线相等的逆命题为对角线相等的四边形是矩形，错误，是假命题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，正确，是真命题，符合题意，
逆命题为真命题的有个，
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了中点四边形．能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，根据三角形的中位线定理首先可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．再根据对角线互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解答】
解：如图，四边形 是菱形，且 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，

则 ， ； ， ， ．
故四边形 是平行四边形，
又 ，
，
四边形 是矩形．
故选 B ．   

9.【答案】

【解析】解：由勾股定理得，，
，
，
，
，
负值舍去，
的周长，
故选：．
根据勾股定理得到，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

10.【答案】

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题较简单，主要考查了学生开平方的运算能力．
 

11.【答案】

【解析】解：过点作于点，如图所示：

是等边三角形，
是的中点，
等边三角形边长为，
，
，
根据勾股定理，得，
的面积为，
故答案为：．
过点作于点，根据等边三角形的性质可得是的中点，再根据勾股定理，求出的值，即可求出的面积．
本题考查了等边三角形的性质，涉及勾股定理与三角形的面积，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：在正方形中，，．
是等边三角形，
，，
，，
，
．
故答案为：．
在正方形中，是等边三角形，可求出、的大小以及推断出，从而可求出，再根据角的和差关系求出的度数．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质．根据正方形和等边三角形的性质推知是解题的关键．
 

13.【答案】或

【解析】解：分两种情况：
当为锐角时，如图所示，

在中，
，
，则，
在中，
，
，则，
，
的面积为；
当为钝角时，如图所示，

在中，
，
所以的面积为；
故答案为：或．
分两种情况：为锐角；为钝角；利用勾股定理求出、，即可求出的长．
本题主要考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，分别是和的中点，
是的中位线，
，，，
，故正确；
，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，故错误．
故答案为：．
由三角形的中位线及直角三角形的性质可得，，，进而可判定正确；利用勾股定理可得，进而可判定；由勾股定理可得，，变形后可判定．
本题主要考查三角形的中位线，勾股定理，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：作点的对称点，作点关于的对称点，连接，，，

则，
当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长．
过点作的垂线，交的延长线于点，
，
为的中点，，
，，
，
．
故答案为：．
过点作于，
，
，
，
则，
求的最小值即先求的最小值．
过点作，且，

，
当，，三点共线时，最小．
此时，
，，
∽，
，
设，则．
，
解得，
，，
，，
，
的最小值为．
故答案为：．
作点的对称点，作点关于的对称点，连接，，，则所求的最小值即为，利用勾股定理求解即可．
过点作于，可得，则，故求的最小值即先求的最小值．
过点作，且，可知当，，三点共线时，最小．利用∽，可求得，进而可求得，，即可得出答案．
本题考查轴对称最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；



．

【解析】先化简，再进行加减运算即可；
先化简，再进行加法运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：，；
，，
，
的值为．
把，的值，代入进行计算即可解答；
利用的结论，再根据异分母的分式加减法法则进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：设水池里水的深度是尺
由题意得，，
解得：，
答：水池里水的深度是尺．

【解析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，，
在中，根据勾股定理可得：
，
是的中点，
，
，
同理，
，，
，
是直角三角形，
．
；
解：



．
四边形的面积为．

【解析】根据正方形的性质，利用勾股定理分别求出、、的值，通过，可判定是直角三角形，进而可以解决问题；
结合根据，即可解决问题．
主要考查了正方形的性质和直角三角形的判定．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形为平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形；
过作，交于点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】由平行四边形的性质则可知，，又，所以，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
过作，可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再由条件可得，根据等边对等角可得，再根据平行线的性质可得，利用等量代换可得．
此题主要考查了平行四边形的判定和性质，梯形的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：四边形是菱形理由是边长都是；
如图中，直线，点即为所求；
如图中，点，点即为所求．
 

【解析】根据菱形的判定即可解决问题；
连接，交于点，作直线即可，取格点，，连接交于点，点即为所求利用平行线分线段成比例定理，可知，再利用平行线分线段成比例定理，使得即可；
如图中，取格点，连接交于点，取格点，，连接交于点，连接交于点，点，点即为所求因为，只要即可，利用对称性作出，使得即可．
本题考查作图复杂作图，三角形的面积，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：如图，

，，理由如下：
延长交于点，
四边形和四边形是正方形，
，
，，
四边形是平行四边形，，
▱是矩形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
；
综上，，；
如图，

中的结论依然成立，理由如下：
延长交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形和四边形是正方形，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
；
解：如图，

连接，延长至，使，连接，延长交于，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在四边形中，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．

【解析】可证明≌，进而得出结论；
延长交于，可证明≌，进一步得出结论；
连接，延长至，使，连接，延长交于，≌，进而证明≌，进一步得出结论．
本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

23.【答案】证明：如图，四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
．
证明：如图，在上截取，连接、、，
，，
和都是等边三角形，
，，
≌，
，，
，
，
，
垂直平分，
，
，
平分．
解：如图，在上截取，连接、、、，
由得，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
作于点，交的延长线于点，则，设，
，，
，
，，
，
，
，，
，，
，
≌，
，，
，
，，，
，
解得，
，，
，
的值是．

【解析】由四边形是菱形得，，则，而，所以，根据“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”得，则，所以；
在上截取，连接、、，先证明和都是等边三角形，再证明≌，得，，则，因为，所以，则垂直平分，所以，得，所以平分；
在的基础上，作于点，交的延长线于点，则，设，证明≌，可推导出，，，，在在根据勾股定理列方形即可求得，则，，所以．
此题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．