安徽省合肥市第一中学2022届高三下学期冲刺最后一卷文科数学试题-

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安徽省合肥市第一中学2022届高三下学期冲刺最后一卷文科数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．设全集，，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，a为实数，复数在复平面内对应的点在y轴上，则a的值是（       ）

A．-2 B． C． D．2

3．已知向量，，向量与垂直，则实数的值为（       ）

A． B．2 C． D．1

4．已知函数，则函数的零点为（       ）

A． B．，0 C． D．0

5．在△ABC中,AB=2BC=2,,则△ABC的面积为（       ）

A． B． C．1 D．

6．如图为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（       ）

A． B．6 C． D．

7．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（       ）

A． B． C．3 D．

8．函数，的图像可能是下列图形中的

A． B．

C． D．

9．设圆的圆心在双曲线的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆被直线截得的弦长等于，则的值为（       ）

A． B． C． D．

10．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为,设两条直线平行的概率为，相交的概率为，试问点与直线的位置关系是（ ）

A．P在直线的右下方 B．P在直线的左下方

C．P在直线的右上方 D．P在直线上

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

11．函数的定义域是___________.

12．若实数满足不等式组，则的最大值为__________．

13．如图所示的程序框图，若输入n＝5，则输出的n值为__

14．已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是，，的中点.下列命题正确的是___________（写出所有正确命题的编号）.

①以正方形的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；

②P在直线上运动时，；

③Q在直线上运动时，三棱锥的体积不变；

④M是正方体的面内到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段.

15．青年歌手大赛共有10名选手参赛，并请了7名评委，如茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲､乙评定的成绩，依照此茎叶图，对甲乙两人成绩作比较，写出两个统计结论：

①___________.

②___________.

16．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，

(1)若，求角B.

(2)设，，试求的最大值.

17．某县有甲､乙､丙､丁四所高中的5000学生参加了高三调研考试，为了考察数学学科的成绩情形，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩作为样本（其中甲学校抽取了30人），制作如下频率分布直方表并得到相应的频率分布直方图：

(1)该次统计中抽取样本的合理方法是什么，甲学校共有多少人参加了调研考试；

(2)从样本在的个体中任意抽取2个个体，求至少有一个个体落在的概率.

18．已知四棱锥,其中面为的中点.

（1）求证：面；

（2）求证：面面；

（3）求四棱锥的体积.

19．已知，数列的前n项和为，点在曲线上（）且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)数列的前n项和为，且满足，确定的值使得数列是等差数列.

20．已知椭圆C：（）的离心率，左､右焦点分别为，，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知圆M：的切线l与椭圆相交于A，B两点，那么以为直径的圆是否通过定点？假如是求出定点的坐标；假如不是请说明理由.

21．已知

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，讨论函数的单调递增区间；

（3）是否存在负实数，使时，函数有最小值？

参考答案：

1．C

【解析】

解一元二次不等式可得，再由补集、并集的概念即可得解.

【详解】

由题意，，，

所以，.

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.

2．A

【解析】

【分析】

化简复数，因为复数在复平面内对应的点在y轴上，故实部为零，虚部不为零，即可求参数．

【详解】

由，

因为复数在复平面内对应的点在y轴上，所以

则

故选：A

3．C

【解析】

【分析】

由题得化简即得解.

【详解】

因为与垂直，

所以，

所以.

故选：C.

4．D

【解析】

【分析】

函数的零点，即令分段求解即可.

【详解】

函数

当时，

令，解得

当时，

令，解得（舍去）

综上函数的零点为0

故选：D．

【点睛】

本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.

5．B

【解析】

根据正弦定理可得,再根据面积公式求解即可.

【详解】

由正弦定理得.故.

故.故.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了三角形中正弦定理以及面积公式的运用,属于基础题.

6．C

【解析】

【分析】

根据三视图作出几何体的直观图，结合图中数据可得结果.

【详解】

根据三视图作出几何体的直观图如下图所示：

由图可知，该几何体为三棱锥与直三棱柱拼接而成的几何体，

且平面，，，，

所以，该几何体的体积为.

故选：C.

7．D

【解析】

【分析】

利用等差中项以及等比数列的定义即可求解．

【详解】

设等比数列的公比为，

因为，，成等差数列，所以，

所以，

化为：，解得．

故选：D

8．C

【解析】

【详解】

由 可得函数为偶函数，排除A选项；

且 ，排除D选项；

，排除B选项；

本题选择C选项.

9．A

【解析】

【分析】

先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆C被直线截得的弦长等于2，求出a与圆心到直线的距离d之间的等量关系即可求出a．

【详解】

设圆心坐标为（，0），因为双曲线的渐近线y＝x⇒x﹣ay＝0．

由圆与双曲线的渐近线相切得圆心到直线的距离等于半径，即得r＝＝，

又因为圆C被直线截得的弦长等于2，

故圆心到直线的距离d＝1＝⇒a2＝2，又a＞0，故a＝．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，直线的方程，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力，属于中档题．

10．B

【解析】

【分析】

据两直线相交斜率不等,求出满足的条件,据古典概型概率公式求出，求出点P坐标,判断出与直线的关系.

【详解】

当且仅当时两条直线只有一个交点,

而的情况有三种:(此时两直线重合); (此时两直线平行); (此时两直线平行).

而投掷两次的所有情况有种,

所以两条直线相交的概率;

两条直线平行的概率为,

点为,

在的左下方,故选项为B.

【点睛】

本题融合了直线、线性规划、概率等有关知识,在处理方法上可采用枚举法处理概率问题，属于中档题.

11．

【解析】

【分析】

写出使函数有意义的表达式，求定义域．

【详解】

的定义域需满足，

所以函数的定义域．

故答案为：

12．

【解析】

【详解】

画出不等式组所表示的可行域，如图，由图知平移直线，当直线经过点时，直线在 轴上的截距最大，即在点处取得最大值，故答案为.

【点晴】

本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

13．﹣1

【解析】

【分析】

按照程序框图依次执行，观察函数f（x）单调性的规律和n的关系，确定到哪一步跳出循环，即可求出n．

【详解】

按照程序框图依次执行，

n＝5，则 n＝5﹣2＝3，f（x）＝x3，f（x）在（0，+∞）上不是减函数；继续执行，

n＝3﹣2＝1；f（x）＝x，f（x）在（0，+∞）上不是减函数；继续执行，

n＝1﹣2＝﹣1；f（x）＝x﹣1，f（x）在（0，+∞）上是减函数；跳出循环，输出结果，

故n＝﹣1．

故答案为﹣1．

【点睛】

本题考查循环结构的程序框图、及归纳推理，注意每个变量的运行结果和执行情况．

14．②③④

【解析】

【分析】

以三棱锥为例判断①；根据棱锥的体积公式判断②；根据平面判断③，根据平面判断④．

【详解】

以三棱锥为例（如图（1）），则此三棱锥的4个面均为直角三角形，故①错误；

， 过点、、的截面为矩形，

，， 平面，当在直线上运动时，平面，

，故②正确；

当在直线上运动时，△的面积为定值（如图（2）），到平面的距离为定值， 的体积是定值，故③正确；

连接，则平面，的轨迹是线段，故④正确．

故答案为：②③④．

15．     从平均水平看，乙的平均水平略高一点；     从发挥稳定性上看，乙的发挥更稳定

【解析】

【分析】

根据茎叶图，结合甲乙两名运动员的成绩，可以求出两个人的平均成绩，从而比较出两个人的平均水平；也可计算出两个人的方差（或标准差），从而比较出两个人发挥的稳定性；

【详解】

第一空， ，，

即从平均水平看，乙的平均水平略高一点；

第二空，

，

，

即乙的发挥更稳定，

故答案为：①从平均水平看，乙的平均水平略高一点；②，从发挥稳定性上看，乙的发挥更稳定

16．(1)；

(2)

【解析】

【分析】

(1)       由余弦定理可得角，由两角差的正切公式可得，进而；

(2)       化简后，将看成变量，则为一个开口向下的二次函数，根据可得有最大值.

(1)

，∴，

，

∵,∴，

又∵

∴.

(2)

，

∵，∴，，

∴当时，有最大值.

17．(1)分层抽样，人；

(2)

【解析】

【分析】

（1）由已知得该次统计中抽取样本的合理方法是分层抽样，首先求出样本容量，从而求出甲学校的人数．

（3）样本在，的个体共有9个个体，其中有有3个个体落在，中，6个个体落在，中，由此利用等可能事件概率计算公式能求出至少有一个个体落在，的概率．

(1)

解：甲乙丙丁四所高中的名学生参加了高三的调研测试，为了解数学学科的成绩情况，

现从中随机抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩作为样本，

样本容量为

该次统计中抽取样本的合理方法是分层抽样，

设甲学校共有人参加了调研测试，则，解得，

甲学校共有1250人参加了调研测试．

(2)

解：样本在的个体共有个个体，

其中有个个体落在中，6个个体落在中，

从中任意抽取2个个体，基本事件总数，

至少有一个个体落在的对立事件是两个个体都落在中，

至少有一个个体落在包含的基本事件上个数，

至少有一个个体落在的概率．

18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

【详解】

试题分析：（1）取中点，连接，根据三角形的中位线，得到四边形为平行四边形，进而得到，再结合线面平行的判定定理，即可证明面；（2）根据为等边三角形，为的中点，面，得到，根据线面垂直的判定定理得到面，则面，再由面面垂直的判定定理，可得面面；（3）连接，可得四棱锥分为两个三棱锥和，利用体积公式，即可求解三棱锥的体积.

试题解析：（1）证明：取中点，连接 分别是 的中点，,且与 平行且相等，为平行四边形，，又面面面.

（2）证明：为等边三角形，,又面面垂直于面的两条相交直线面面面面面.

（3）连接,该四棱锥分为两个三棱锥和.

.

19．(1)

(2)1

【解析】

【分析】

（1）根据点在曲线上（），得到，即，利用等差数列的定义求解；

（2）由（1）化简得到，利用等差数列的定义得到，再利用数列通项与前n项和的关系求解.

(1)

解：因为，且点在曲线上（），

所以，即，

所以是以1为首项，以4为公差的等差数列，

所以，即；

(2)

由（1）知：，即为，

整理得：，

所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，

则，即，

当时，，

若是等差数列，则适合上式，

令，得，解得.

20．(1)

(2)是过定点，定点

【解析】

【分析】

（1）求出抛物线的焦点进而得出椭圆的一个顶点，求出a，再根据离心率求出a，c的关系，进而求出,最后求出椭圆方程；

（2）讨论直线斜率①k不存在，②k=0和③k存在且不为0三种情况，第③种情况时，设出直线方程并代入椭圆方程，进而通过根与系数的关系结合平面向量的数量积进行化简，由直线与圆相切可得k,m的关系，最后证明出结论.

(1)

因为椭圆的离心率，所以，即，

因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，

所以，，所以椭圆的方程为.

(2)

以直径的圆经过定点，利用如下：

①当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，故其中一条切线方程为，

由，可得，，

则以为直径的圆的方程为.

②当直线的斜率为零时，因为直线与圆相切，故其中条切线方程为，

由，可得，，

则以为直径的圆的方程为，

显然以上两圆都经过定点.

③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，

由，消去并整理得，

设，，则，，

所以，

所以，

因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理得，于是，

则以直径的圆经过定点，

综上可知，以直径的圆经过定点.

21．（1）的单调递增区间为：；单调递减区间为：，；（2）见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）求导后，根据导函数的符号可确定单调区间；（2）求导后，分别在，，，，的情况下，讨论导函数的符号，从而得到单调递增区间；（3）根据（2）的结论可得单调性，分别在和两种情况下确定最小值点，从而构造方程求得符合题意的结果.

【详解】

（1）当时，       

当和时，；当时，

的单调递增区间为：；单调递减区间为：，

（2）由题意得：

①当时，       当时，

的单调递增区间为：

②当时，令，解得：，

当时，

的单调递增区间为：

③当时，令，解得：，

当和时，

的单调递增区间为：，

④当时，令，解得：

对恒成立       的单调递增区间为：

⑤当时，令，解得：，

当和时，

的单调递增区间为：，

（3）当时，由（2）知的单调递增区间为：

①当，即时，

整理可得：，解得：，不合题意

②，即时，

整理可得：，解得：

综上所述，存在负实数，使时，函数有最小值

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数单调区间的求解、讨论含参数函数的单调性、根据函数在区间内的最值求解参数值的问题；根据最值求解参数的关键是能够确定函数在所求区间内的单调性，从而确定最值取得的点，进而构造方程求得结果.