福建省德化第一中学2022届高三高中毕业班适应性考试数学试题

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福建省德化第一中学2022届高三高中毕业班适应性考试数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知集合，，若有且只有2个元素，则a的取值范围是(       )

A． B． C． D．

2．i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C．z的虚部为－ D．z在复平面内对应的点在第三象限

3．设等差数列的前项和为，若，则的值为（       ）

A．8 B．10 C．12 D．14

4．己知点，直线与圆相切于点，则的值为（       ）

A． B． C． D．

5．已知函数，的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（       ）

A． B．

C． D．

6．2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加

B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差

C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%

D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量

7．设函数，若函数恰有三个零点，，，则的值是（       ）

A． B． C． D．

8．已知正数，，满足，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．以上均不对

9．已知角的终边经过点．则（       ）

A． B．

C． D．

10．设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（       ）

A．， B．是的极大值点

C．是的极小值点 D．是的极小值点

11．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，则下列结论正确的是（       ）

A．圆锥SO的侧面积为

B．三棱锥S-ABC体积的最大值为

C．的取值范围是

D．若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为

12．已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，，，，．则下列选项正确的是（       ）

A． B．以线段为直径的圆与直线相离

C．当时， D．面积的取值范围为

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．的展开式中的系数是______．

14．已知双曲线的左､右焦点分别为，M为C左支上一点，N为线段上一点，且，P为线段的中点.若(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为___________.

15．北京时间2022年4月16日9时56分，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆.东风着陆场着陆面积达到了2万平方公里，相当于内蒙古四子王旗航天着陆场着陆面积的10倍，主着陆场正常的着陆范围是的区域.在神州十三号着陆前，航天科学家们经过了无数次的电子模拟，发现飞船着陆点离标志观察点的距离满足.下图是经过100次模拟实验中的频率分布直方图.可以用图中的平均值代替，，其中是图中的中位数的估计值（每组数据用这一组的中点值代替），则________（用“，，”之一填入）

16．曲线（，）在处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为，则___________，___________.

17．已知数列的前项和为，，当时，.

（1）求证：当，为定值；

（2）把数列和数列中的所有项从小到大排列，组成新数列，求数列的前项和.

18．如图，在三棱锥中，，，平面平面，．

(1)证明：；

(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

19．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为

(1)求;

(2)若求△ABC的周长.

20．现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率约为，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同．在一次演习中，红方的甲、乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为和，两名飞行员各携带4枚空对空导弹．

(1)甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻击相互独立，求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？

(2)蓝方机群共有8架战机，若甲、乙共同攻击（战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，甲，乙不同时攻击同一架战机）．

①若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中，击中蓝方战机数为，求的分布列；

②若实施两轮攻击（用完携带的导弹），记命中蓝方战机数为，求的数学期望．

21．已知椭圆的离心率为，且经过点，，过点作直线与椭圆交于点，（点，异于点，），连接直线，交于点.

(1)求椭圆的方程；

(2)当点位于第二象限时，求的取值范围.

22．已知函数．

(1)当时，判断函数的单调性；

(2)若有两个极值点，证明：．

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

求出集合M，根据有且只有2个元素即可求出a的范围.

【详解】

，

∵有且只有2个元素，∴0＜a≤1.

故选：A.

2．D

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则求得，计算其模，共轭复数，由复数的定义和几何意义判断各选项．

【详解】

由已知，所以，

，A错；

，C错；

的虚部是，C错；

对应点坐标为，在第三象限，D正确．

故选：D．

3．C

【解析】

【分析】

根据等差数列的求和公式，求得，结合等差数列的性质，化简得到，即可求解.

【详解】

因为，由等差数列的性质和求和公式得，即，

则.

故选：C.

4．B

【解析】

【分析】

分析可得，，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.

【详解】

圆的标准方程为，圆心为，半径为，即，

由圆的几何性质可知，

所以，.

故选：B.

5．A

【解析】

【分析】

在各选择支的函数中取特值计算，并与已知图象比较，采用排除方法可作出判定.

【详解】

取x=0,对于A：；对于B：；对于C：；对于D：，结合图象中f(0)=0,故排除BD.

取x=,对于A：,对于C：,结合图象，可排除C.

故选：A.

【点睛】

本题考查根据图象判定解析式，可以利用特殊值法进行排除.

6．C

【解析】

【分析】

根据折线图对选项一一分析即可.

【详解】

对于A，这11天复工指数和复产指数均有升有降，故A错误；

对于B，这11天期间，复产指数的极差为11月与1月的差值，复工指数的极差为10月与2月的差值，易知复产指数的极差小于复工指数的极差，故B错误；

对于C，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；

对于D，第9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量，故D错误；

故选：C

7．B

【解析】

【分析】

先求出在的对称轴和，根据图像判断出，关于对称，，关于对称，即可求得.

【详解】

函数

令，可得：，.

∵

∴令，可得一条对称轴方程.

∴令，可得一条对称轴方程.

函数恰有三个零点，

可知，关于其中一条对称是对称的，即

，关于其中一条对称是对称的.即

那么.

故选：B.

【点睛】

求几个零点的和通常利用对称轴即可求解.

8．A

【解析】

【分析】

将看成常数，然后根据题意表示出，再作差比较出大小即可

【详解】

解：由，得，则，得，

所以，所以，

令，则，

所以函数在上单调递增，所以，

所以，即

所以，

所以，

综上，

故选：A

9．ABD

【解析】

【分析】

根据同终边角的正弦和余弦可知，然后解出方程并判断，逐项代入即可.

【详解】

解：由题意得：

如图所示：

，即

，即

解得：（舍去）或

，故A正确；

，故D正确；

，故B正确；

，故C错误；

故选：ABD

10．BD

【解析】

【分析】

根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

对A. 是的极大值点，并不是最小值点，故A不正确；

对B. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极大值点，故B正确；

对C. 相当于关于轴的对称图象，故应是的极小值点，跟没有关系，故C不正确；

对D. 相当于先关于轴的对称，再关于轴的对称图象.故D正确.

故选：BD.

11．BD

【解析】

【分析】

根据已知条件求出圆锥的侧面积，棱锥的体积判断AB，利用求得后可得其范围判断C，把棱锥的两个面和摊平，利用平面上的性质求的最小值判断D．

【详解】

由已知，圆锥侧面积为，A错；

在圆周上，易得，．B正确；

，又中，，所以，

所以．C错；

时，把和摊平，如图，

的最小值是，此时，，，，

，D正确．

故选：BD．

12．BD

【解析】

【分析】

求出抛物线C的焦点、准线，设出直线l的方程，与抛物线C的方程联立，再逐一分析各个选项，计算判断作答．

【详解】

抛物线的焦点，准线方程为，

设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，

可得，，，故A错误；

由，的中点到准线的距离为

，

可得，即有以为直径的圆与准线相切，则它与直线相离，故B正确；

由，可得，即，又，，

解得，，，，所以，故C错误；

由即的导数为，可得处的切线的方程为，

处的切线的方程为，

联立两条切线的方程，解得，，

即，到的距离为，，

则的面积为，当时，取得等号，

则面积的取值范围为，，故D正确．

故选：BD．

13．

【解析】

【分析】

求得的展开式通项为，根据已知条件求出、的值，代入通项可求得展开式中的系数.

【详解】

，所以，的展开通项为，

的展开式通项为，

所以，的展开式通项可以为，其中且、，

令，解得，

因此，的展开式中的系数是.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：本题考查三项展开式中项的系数的求解，在求解时，的展开式通项可表示为（其中且、）.

14．

【解析】

【分析】

由，可得，再结合双曲线的定义可得，从而可求出，进而可求出渐近线方程

【详解】

因为，所以，所以，又，所以，所以，则.

故的渐近线方程为.

故答案为：

15．

【解析】

【分析】

根据直方图估计出X的平均值为41，中位数为37，所以，，所以.

【详解】

解：，

中位数=，

∴，，

∴，∴.

故答案为：=.

16．         

【解析】

【分析】

根据导数求出切线斜率得到切线方程，求出直线在坐标轴上的截距，即可得出三角形面积公式；设，利用错位相减法，可得，

设，再次利用错位相减法即可得解.

【详解】

①由题意可知，切点为，且，则曲线在处的切线的斜率,所以切线方程为, 令, 解得, 令y=0, 解得，所以；

②，令，则，所以，两式相减得：，设，

则与上式相减得：

，则，

所以，

则，故.

故答案为：；.

17．（1）证明见解析；（2）4594.

【解析】

【分析】

（1）由可求得的值，令由可得出，两式作差可得出，可得出数列是以为首项，以为公比的等比数列，进而可求得数列的通项公式；

（2）确定数列所包含数列中的项，利用分组求和可求得的值.

【详解】

解：（1）当时，，

即，得，

当时，因为，所以，

两式相减得，所以，

，所以，当时，.

所以；

（2）数列前项为、、、、、、，

数列为、、、、、，

所以数列前项含有数列的项为、、、、、，共六项，

所以

.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

18．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用已知条件结合线面垂直的判定定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；

（2）过点在平面内作交于，利用等面积法计算出，证明出平面，利用锥体的体积公式可求出的长，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，可以空间向量法可求得二面角的余弦值.

(1)

证明：因为平面平面，，平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以

又因为，，所以平面，

平面，从而.

(2)

解：过点在平面内作交于，

因为平面平面，平面平面，，平面，

平面，

因为，，则，

由等面积法可得，，，

因为，所以，

又因为，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、，，，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，

易知平面的一个法向量为，，

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

19．(1)(2) .

【解析】

【详解】

试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.

试题解析：（1）由题设得，即.

由正弦定理得.

故.

（2）由题设及（1）得，即.

所以，故.

由题设得，即.

由余弦定理得，即，得.

故的周长为.

点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

20．(1)

(2)①分布列见解析；②数学期望为.

【解析】

【分析】

（1）根据相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；

（2）①依题意的可能取值为，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列；

②记甲命中战机数为，则，记乙命中战机数为，则，则根据二项分布的期望公式计算可得；

(1)

设甲、乙两名飞行员发射的第枚导弹命中对方战机分别为事件，，则，．

设甲飞行员能够击中蓝方战机为事件，则，所以

所以

(2)

解：①依题意的可能取值为，1，2，3，4，

则，

，

，

，

，

所以的分布列为

②记两轮攻击中：甲命中战机数为，则，

乙命中战机数为，则，

所以．

21．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

(1)根据题意确定a、b、c的值，即可求出椭圆的标准方程；

(2)设，联立PQ直线方程与椭圆方程，由韦达定理表示出，利用两点坐标求出直线AQ、PB的斜率，结合两角差的正切公式和基本不等式即可求得的取值范围.

(1)

由题意知，，又，

所以，故椭圆的标准方程为;

(2)

设直线PB倾斜角为，斜率为，直线AQ倾斜角为，斜率为，

直线PQ的方程为：，

则，消去x，得，

，设，

，有，

所以，

即，

则，

因为点P位于第二象限，则，

所以，故.

22．(1)在上单调递减；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)代入，求、，记，求，通过正负判断单调性并求其最值，通过最大值可以判断正负，从而判断的单调性；

(2)由已知有是方程＝0的两根，设，讨论函数的单调性，经分析知，求出的范围；由求出a的表达式，再求出的表达式，通过研究关于的函数即可求其范围.

(1)

当时，，，

记，则，由得，

由得，

即在区间上单调递增，在区间上单调递减，

，对，，

在上单调递减；

(2)

有两个极值点，

关于的方程有两个根，

设，则，

当时，，

即在上单调递减，

最多有一个根，不符题意；

当时，由，得，

由，得，

即在区间上单调递增，在区间上单调递减.

且当时，，当时，，

要使有两个不同的根，

必有，

解得.

，，

，

又，，

，

令，

则，

在区间上单调递减，

，

又，，

.

【点睛】

本题关键是根据f(x)有两个零点，求出a和零点的范围，构造关于零点的函数，通过导数研究其单调性即可求其范围.