人教版初中数学九年级下册期中测试卷（标准）（含答案解析）

人教版初中数学九年级下册期中测试卷

考试范围：第二十六.二十七章； 考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为，若的面积为，则的值为

A.
B.
C.
D.

2. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，、两点在该图象上，下列命题：过点作轴，为垂足，连接若的面积为，则；若，则；若，则，其中真命题个数是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在直角坐标系中，点在函数的图象上，轴于点，的垂直平分线与轴交于点，与函数的图象交于点，连结，，，，则四边形的面积等于

A.
B.
C.
D.

4. 如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为若的面积为，为的中点，则的值为

A.
B.
C.
D.

5. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在四边形中，，，的平分线交于点，，点恰好为的中点，若，，则

A.  B.  C.  D.

7. 如图，将正方形放于平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心把正方形缩小得到正方形，使：：，则点的对应点的坐标是

A.
B. 或
C.
D. 或
 

8. 如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点若，则的长为

A.
B.
C.
D.

9. 已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是

A.  B.  C.  D.

10. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，下列四个选项不一定成立的是

A. ∽
B. ∽
C. ∽
D. ∽
 

12. 已知∽，面积比为：，则与的对应角平分线之比为

A. ： B. ： C. ： D. ：

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在▱中，延长至点，使，连接与于点，则的值是          ．

14. 如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点、、、、都在横格线上，且线段，交于点，则：等于______．
    
     

15. 如图，双曲线经过矩形的顶点，双曲线交，于点、，且与矩形的对角线交于点，连接若：：，则的面积为_____．
     

16. 在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．点在轴负半轴上，，的面积为．
    
    求的值；
    根据图象，当时，写出的取值范围．
18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．点的横坐标为，点的纵坐标为．
    求，的值．
    在反比例第三象限的图象上找一点，使点到直线的距离最短，求点的坐标．
     

19. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点与点、共线．已知，测得，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽．

20. 市煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室．

储存室的底面积单位：与其深度单位：有怎样的函数关系？

公司决定把储存室的底面积定为，施工队施工时应该向地下掘进多深？

当施工队按中的计划掘进到地下时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为相应地，储存室的底面积应改为多少结果保留小数点后两位？

21. 如图，一块砖的，，三个面的面积比是：：如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面和面分别向下放在地上时，地面所受压强各是多少？
22. 两个不同的反比例函数的图象能否相交？为什么？
23. 利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度如图显示了测量旗杆高度的几种方法，你能说出各种方法的道理吗？

用类似的方法，与同学合作，测量校园中一些物体如旗杆、树木等的高度．

如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
求证：是的切线；
求证：∽；
当，时，求线段的长．
答案和解析

1.【答案】

【解析】

【解答】
解： 点 关于直线 的对称点 的坐标为 ，
，
， ，
，
的面积为 ，
，
解得， ，
，
．
故选： ．
【分析】
根据对称性求出 点坐标，进而得 与 的长度，再根据已知三角形的面积列出 的方程求得 ，进而用待定系数法求得 ．
本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得 点坐标及由三角形的面积列出方程．   

2.【答案】

【解析】解：过点作轴，为垂足，连接．
的面积为，
，
反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，
，
，正确，是真命题；
反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，
在所在的每一个象限随着的增大而增大，
若，则，正确，是真命题；
当、两点关于原点对称时，，则，正确，是真命题，
真命题有个，
故选：．
利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可．
本题考查了反比例函数的性质及命题与定理的知识，解题的关键是了解反比例函数的比例系数的几何意义等知识，难度不大．
 

3.【答案】

【解析】解：设，可求出，
垂直平分，
，
故选：．
设，可求出，由于垂直平分，根据计算即可．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点和点的坐标．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是反比例函数系数 的几何意义，熟知反比例函数 图象中任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变是解答此题的关键．
过点 作 轴于点 ，根据 为 的中点可知 是 的中位线，即 ，设 ，则 ， ， ，再由 的面积为 ，求出 的值即可得出结论．  
【解答】
解：过点 作 轴于点 ，

为 的中点，
是 的中位线，即 ．
设 ，则 ， ， ，
的面积为 ，
， ，
解得 ，
故选 B ．   

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割，也考查了等腰三角形的性质．
作 于 ，如图，根据等腰三角形的性质得到 ，则根据勾股定理可计算出 ，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到 ，则计算出 ，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】
解：作 于 ，如图，
，
，
在 中， ，
， 是边 的两个“黄金分割”点，
，
，

．
故选 A ．   

6.【答案】

【解析】解：过作，交于点，
，
，
，
，
为中点，
，
，即，
，
四边形为矩形，
，
平分，，，
，
，
则．
故选：．
过作，交于点，可得，得到与平行，再由为中点，得到，同时得到四边形为矩形，再由角平分线定理得到，进而求出的长，得到的长．
此题考查了矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线分线段成比例，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ．
根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 进行解答．
【解答】
解： 点 ， ，以原点 为位似中心把正方形 缩小得到正方形 ，使 ： ： ，
由图可知点 的坐标是： ，
点 的对应点 的坐标是： 或 ．
故选： ．   

8.【答案】

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答，根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得 的长，本题得以解决．

【解答】

解：如图，过点作，交于点．
因为， ，所以．
因为，所以．
所以所以∽，∽．
所以．
又，所以．
设，则．
由，得 ∽，所以，
即，解得．
故CD．

9.【答案】

【解析】解：直线与双曲线的一个交点坐标为，
，，
解得，，，
，，
，得或，
它们的另一个交点坐标是，
故选：．
根据直线与双曲线的一个交点坐标为，可以求得反比例函数与一次函数的解析式，从而可以求得它们的另一个交点的坐标，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数与一次函数的性质解答．
 

10.【答案】

【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大．
，，
点，位于第二象限，
，，
，
．
，
点位于第四象限，
，
．
故选：．
先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
 

11.【答案】

【解析】解：，，
∽．
同法可证：∽．
，，
，
，
∽，
故选：．
利用圆周角定理、园内接四边形的性质一一判断即可；
本题考查相似三角形的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

12.【答案】

【解析】解：∽，与的面积比为：，
与的相似比为：，
与对应角的角平分线之比为：，
故选：．
根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应角的角平分线之比．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
 

13.【答案】

【解析】解：在▱中，，，
，
，
，
∽，
．
故答案为：．
在▱中，，，根据，可得，再由，可得∽，对应边成比例即可求得结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
 

14.【答案】：

【解析】解：如图，过点作于点，于点，则、、三点共线，

练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
，
故答案为：：．
过点作于点，于点，则、、三点共线，根据平行线分线段成比例可得即可，
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
设 ，根据题意得出 ， ， ，结合两条双曲线的解析式，解得 ，由 ， ，求得 、 的长度，最后根据三角形面积公式得到 ，本题考查了反比例系数 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键。
【解答】
解：设 ，
： ： ，
， ，
，
双曲线 经过矩形 的顶点 ，
，
，
双曲线 经过点 ，
，
双曲线 ，
， ，
， ，

故答案为   

16.【答案】

【解析】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，
点一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，
反比例函数的图象经过，，
，
，
故答案为：．
根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，过点作，

，
，
，
；
联立得：
解得：或，即，，
根据图象得：当时，的范围为或．

【解析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，考查了反比函数系数的几何意义，利用了数形结合的思想，熟练掌握各函数的性质是解本题的关键，属于中档题．
过点作垂直于，由，得到，确定出三角形与三角形面积，即可求出的值；
根据函数图象，找出满足题意的范围即可．
 

18.【答案】解：一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，，
则有，
解得．
过点作直线，
当直线与反比例函数只有一个交点时，点到直线的距离最短，
设直线的解析式为，
由，消去得到，，
由题意，，
，
或舍弃，
解得，
 

【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
首先确定，两点坐标，再利用待定系数法求解即可．
过点作直线，当直线与反比例函数只有一个交点时，点到直线的距离最短，构建方程组把问题转化为一元二次方程，利用判别式等于，构建方程求解即可．
 

19.【答案】解：，
，
∽，
，
，
，
经检验：是分式方程的解，
答：河宽的长为米．

【解析】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
由，可得，构建方程即可解决问题．
 

20.【答案】解：根据圆柱的体积公式，得，

所以关于的函数解析式为．

把代入，得，

解得．

如果把储存室的底面积定为，施工时应向地下掘进深

根据题意，把代入，得，

解得．

当储存室的深度为时，底面积应改为．

【解析】见答案
 

21.【答案】解：设该砖的质量为，则，
面向下放在地上时地面所受压强为帕，，，三个面的面积之比是：：，
把砖的面向下放在地上，
，
把砖的面向下放在地上，
答：把砖的面向下放在地上地面所受压强是，把砖的面向下放在地上地面所受压强是．

【解析】根据题意：设该砖的质量为，其为定值，且有，即与成反比例关系，且面向下放在地上时地面所受压强为帕，则把砖的面向下放在地上，地面所受压强，把砖的面向下放在地上．
此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
 

22.【答案】解：两个不同的反比例函数的图象不能相交，
这是因为若反比例函数和相交，则，
解得，
这与不符，
所以两个不同的反比例函数的图象不能相交．

【解析】根据函数与方程的关系列出方程组，解得，这与不符．
本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
 

23.【答案】解：图左边的图：根据同一时刻物高与影长成正比解答
图中间的图：使人的视线、标杆的顶部、旗杆的顶部在一条直线上，根据两边对应成比例且夹角相等得到相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例解答
图中右边的图：根据反射定律：反射角等于入射角，得到相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例解答．
接下来，采用上述种方法中的任一种，与同学合作，自己试着测量所在校园中旗杆或树木的高度．

【解析】见答案
 

24.【答案】证明：圆心在上，
是圆的直径，
，
连接，
平分，
，
，
，即，
，
，
为圆的半径，
是圆的切线；
证明：，
，
，
，
，，
，
∽；
解：为直角三角形，
，
，
，，
，
垂直平分，
，
为圆的直径，
，
在中，，即，
，
∽，
，
则．

【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
由直径所对的圆周角为直角得到为直角，再由为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证；
由与平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
由三角形为直角三角形，利用勾股定理求出的长，再由垂直平分，得到，根据的相似得出比例式，求出所求即可．